Синус комплексного числа в тригонометрической форме

@Eru Iluvatar · 26.04.2015, 18:37. **Показов** 7557. **Ответов** 6

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Задача: представить в алгебраической форме $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sin (\frac{\pi}{6} - 3i)$ .
Будем использовать формулы:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sin z = \frac{{e}^{iz} - {e}^{-iz}}{2i}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e^z = e^x (\cos y + i\sin y)$
где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z = x + iy$ .

В данном случае $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z = \frac{\pi}{6} - 3i$ .

1) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{e}^{iz} = {e}^{i(\frac{\pi}{6} - 3i)} = {e}^{3+\frac{\pi}{6}i} = {e}^{3}(\cos \frac{\pi}{6} + i\sin \frac{\pi}{6})={e}^{3}(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i)$

2) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{e}^{-iz} = {e}^{-i(\frac{\pi}{6} - 3i)} = {e}^{-3-\frac{\pi}{6}i} = {e}^{-3}(\cos (-\frac{\pi}{6}) + i\sin (-\frac{\pi}{6}))={e}^{-3}(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i)$

3) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sin (\frac{\pi}{6} -3i) = \frac{{e}^{3}(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i) - {e}^{-3}(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i)}{2i}$

А что делать дальше? Как получить результат в алгебраической форме, не совершив слишком много долгих вычислений? Кроме как раскрытия скобок больше ничего нельзя придумать?

@VSI · 26.04.2015, 18:56

Сообщение от Eru Iluvatar

Как получить результат в алгебраической форме, не совершив слишком много долгих вычислений?

Короче не получается... Но можно проверить ручные вычисления

@Eru Iluvatar · 26.04.2015, 19:00 **[ТС]**

Мне что-то уже страшно становится, глядя на последнее выражение. Из-за этих $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{e}^{3}$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{e}^{-3}$ вычисления не растянутся на лист?

@VSI · 26.04.2015, 19:07

Eru Iluvatar, у Вас все правильно получится...

@Eru Iluvatar · 26.04.2015, 19:27 **[ТС]**

Страшновато получилось, но приближение с точностью 5 знаков дает такой же результат:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{({e}^{-3}\sqrt{3} - {e}^{3}\sqrt{3})i+({e}^{3}+{e}^{-3})}{4}$

Добавлено через 8 минут
Странно, а в мейпле вычисление синуса от этого числа дает приблизительно 8.7189+5.0089i. То есть i стоит не там и знак другой. Как здесь можно было ошибиться?

Добавлено через 1 минуту
Ой, нет, все в порядке. Я случайно вычислил косинус вместо синуса.

@VSI · 26.04.2015, 20:07

Не по теме:

Сообщение от Eru Iluvatar

Ой, нет, все в порядке. Я случайно вычислил косинус вместо синуса.

Бывает :D

@jogano · 26.04.2015, 20:11

Если известны соотношения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\cos ib=ch b, \: \: \sin ib=i \cdot sh b$ , то можно вывести общую формулу: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sin \left(a \pm ib \right)=\sin a \cos ib \pm \cos a \sin ib=\sin a ch b \pm i \cos a sh b$ .
В вашем случае это $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sin \frac{\pi}{6} ch 3 - i \cos \frac{\pi}{6} sh 3=\frac{e^3+e^{-3}}{4}-i \sqrt{3}\frac{e^3-e^{-3}}{4}$

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .	Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .	Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .	Ломающие изменения в C#.NStar Alpha Etyuhibosecyu 20.11.2025 Уже можно не только тестировать, но и пользоваться C#. NStar - писать оконные приложения, содержащие надписи, кнопки, текстовые поля и даже изображения, например, моя игра "Три в ряд" написана на этом. . .
Мысли в слух kumehtar 18.11.2025 Кстати, совсем недавно имел разговор на тему медитаций с людьми. И обнаружил, что они вообще не понимают что такое медитация и зачем она нужна. Самые базовые вещи. Для них это - когда просто люди. . .	Создание Single Page Application на фреймах krapotkin 16.11.2025 Статья исключительно для начинающих. Подходы оригинальностью не блещут. В век Веб все очень привыкли к дизайну Single-Page-Application . Быстренько разберем подход "на фреймах". Мы делаем одну. . .	Фото: Daniel Greenwood kumehtar 13.11.2025	Расскажи мне о Мире, бродяга kumehtar 12.11.2025 — Расскажи мне о Мире, бродяга, Ты же видел моря и метели. Как сменялись короны и стяги, Как эпохи стрелою летели. - Этот мир — это крылья и горы, Снег и пламя, любовь и тревоги, И бескрайние. . .	PowerShell Snippets iNNOKENTIY21 11.11.2025 Модуль PowerShell 5. 1+ : Snippets. psm1 У меня модуль расположен в пользовательской папке модулей, по умолчанию: \Documents\WindowsPowerShell\Modules\Snippets\ А в самом низу файла-профиля. . .

@Eru Iluvatar Заблокирован

	Синус комплексного числа в тригонометрической форме 26.04.2015, 18:37. Показов 7557. Ответов 6 Метки нет (Все метки) Задача: представить в алгебраической форме $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sin (\frac{\pi}{6} - 3i)$ . Будем использовать формулы: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sin z = \frac{{e}^{iz} - {e}^{-iz}}{2i}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e^z = e^x (\cos y + i\sin y)$ где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z = x + iy$ . В данном случае $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z = \frac{\pi}{6} - 3i$ . 1) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{e}^{iz} = {e}^{i(\frac{\pi}{6} - 3i)} = {e}^{3+\frac{\pi}{6}i} = {e}^{3}(\cos \frac{\pi}{6} + i\sin \frac{\pi}{6})={e}^{3}(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i)$ 2) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{e}^{-iz} = {e}^{-i(\frac{\pi}{6} - 3i)} = {e}^{-3-\frac{\pi}{6}i} = {e}^{-3}(\cos (-\frac{\pi}{6}) + i\sin (-\frac{\pi}{6}))={e}^{-3}(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i)$ 3) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sin (\frac{\pi}{6} -3i) = \frac{{e}^{3}(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i) - {e}^{-3}(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i)}{2i}$ А что делать дальше? Как получить результат в алгебраической форме, не совершив слишком много долгих вычислений? Кроме как раскрытия скобок больше ничего нельзя придумать? 0

@Eru Iluvatar Заблокирован
	26.04.2015, 19:00 [ТС]
	Мне что-то уже страшно становится, глядя на последнее выражение. Из-за этих $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{e}^{3}$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{e}^{-3}$ вычисления не растянутся на лист? 0

@VSI Модератор $Эксперт по математике/физике$ 5288 / 4070 / 1391 Регистрация: 30.07.2012 Сообщений: 12,482
	26.04.2015, 19:07
	Eru Iluvatar, у Вас все правильно получится... Изображения 1

@Eru Iluvatar Заблокирован
	26.04.2015, 19:27 [ТС]
	Страшновато получилось, но приближение с точностью 5 знаков дает такой же результат: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{({e}^{-3}\sqrt{3} - {e}^{3}\sqrt{3})i+({e}^{3}+{e}^{-3})}{4}$ Добавлено через 8 минут Странно, а в мейпле вычисление синуса от этого числа дает приблизительно 8.7189+5.0089i. То есть i стоит не там и знак другой. Как здесь можно было ошибиться? Добавлено через 1 минуту Ой, нет, все в порядке. Я случайно вычислил косинус вместо синуса. 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	26.04.2015, 20:11
	Если известны соотношения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\cos ib=ch b, \: \: \sin ib=i \cdot sh b$ , то можно вывести общую формулу: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sin \left(a \pm ib \right)=\sin a \cos ib \pm \cos a \sin ib=\sin a ch b \pm i \cos a sh b$ . В вашем случае это $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sin \frac{\pi}{6} ch 3 - i \cos \frac{\pi}{6} sh 3=\frac{e^3+e^{-3}}{4}-i \sqrt{3}\frac{e^3-e^{-3}}{4}$ 1