Вычислить интеграл по кривой

@vikentiy_tora · Регистрация: 28.10.2017

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Дана функция комплексного переменного f(z). Вычислите интеграл по заданной кривой L. L - ломаная ABC: A=-1+i, B=i, C=1. Я интеграл составила, на 2 пути интегрирования разделила, в таком виде: udx-vdy+i(udy+vdx) представила, как криволинейный интеграл 2 рода преобразовала. Помогите решить интеграл. Или, если нужно решать по-другому, то подскажите как. Я представила функцию в виде:

Изначально функция выглядит так: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(z)={e}^{{|z|}^{4}}\cdot Re z$

@Symon · 19.10.2018, 20:54

Сообщение от vikentiy_tora

если нужно решать по-другому, то

Лучше интегрировать в комплексной форме, сведя два интеграла к определенному, после замены переменной, сведете к интегралу
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{-1-i}{2}\int\limits_0^1e^{t^2}\,dt$
Проверить!

@vikentiy_tora · 20.10.2018, 11:24 **[ТС]**

Так можно было бы сделать, если бы функция была аналитической. Условия Коши-Римана не выполняются.

@Symon · 20.10.2018, 13:41

Сообщение от vikentiy_tora

Так можно было бы сделать, если бы функция была аналитической

Причем тут аналитические функции?. Посмотрите правила сведения контурного интеграла к определенному. Там есть такое требование? То, что я предложил - это то же самое, что делаете вы.

@vikentiy_tora · 22.10.2018, 00:21 **[ТС]**

После всех преобразований у меня получилось 2 интеграла:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{-1}^{0}{e}^{{({x}^{2}-1)}^{2}}xdx+2\int_{0}^{1}{e}^{{(2x-1)}^{2}}xdx$
Если сделать замену $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t={x}^{2}-1; dt=2xdx$ в первом, то выйдет интеграл:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1/2\int_{0}^{-1}{e}^{{t}^{2}}dt$
Как провести замену переменной во втором интеграле? И как решается такой интеграл со степенью в степени?

@mathmichel · 22.10.2018, 08:40

Сообщение от vikentiy_tora

И как решается такой интеграл со степенью в степени?

Интегралы не решаются, а вычисляются - аналитически или численно. В данном случае этот интеграл через элементарные функции не выражается...

@Symon · 22.10.2018, 10:47

Сообщение от vikentiy_tora

После всех преобразований

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int\limits_Lxe^{|z|^4}\,dz=\int\limits_{L_1}xe^{|z|^4}\,dz+\int\limits_{L_2}xe^{|z|^4}\,dz$
Уравнения отрезков:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?L_1:\ \ \ z=x+i, \ \ x\in [-1,0]\ \ \ \ \ \ \ L_2:\ \ \ z=x+i(1-x), \ \ \ x\in [0,1]$
Сводим интегралы к определенным инт.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{L_1} = \int\limits_{-1}^0 xe^{(x^2+1)^2}\,dx=\frac{1}{2}\cdot \int\limits_{-1}^0 e^{(x^2+1)^2}\,d(x^2+1)=\frac{1}{2}\cdot \int\limits_{2}^1 e^{u^2}\,du$ (сделана замена x²+1=u)

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{L_2}=(1-i)\int\limits_0^1 xe^{(2x^2-2x+1)^2}\,dx = (1-i)\int\limits_0^1 xe^{(2(x-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{2})^2}\,dx = (1-i)\int\limits_0^1 e^{(2(x-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{2})^2}\,d(x-\frac{1}{2}) = (1-i)\int\limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} e^{(2s^2+\frac{1}{2})^2}\,ds = 2(1-i)\int\limits_0^{\frac{1}{2}} e^{(2s^2+\frac{1}{2})^2}\,ds$ (Использована четность фунции)
Полученные интегралы являются "не берущимися" (не выражаются через элементарные функции).
Их можно вычислить численными методами. Можно воспользоваться таблицами интегралов от спец функций.

PS. Проверьте выкладки.

@vikentiy_tora · 22.10.2018, 11:40 **[ТС]**

Так и что с этим делать дальше?

Добавлено через 52 минуты

Сообщение от vikentiy_tora

И как решается такой интеграл со степенью в степени?

Может можно применить интегральную показательную функцию?

Байт · 22.10.2018, 18:06

Сообщение от mathidiot

В данном случае этот интеграл через элементарные функции не выражается...

А чем отличаются элементарные функции от неэлементарных? Разве только тем, что первые проходят в школе, а вторые - нет?

Сообщение от vikentiy_tora

Может можно применить интегральную показательную функцию?

Я думаю, что можно.

@Symon · 22.10.2018, 20:00

Сообщение от vikentiy_tora

применить интегральную показательную функцию?

Нет. Если бы в показателе стоял знак минус, получили бы интеграл из теории вероятности. А этот какое название имеет - я не знаю. Да это и не важно. Просто вычислить приближенными способами. Или поручить компу.

Сообщение от Байт

А чем отличаются элементарные функции от неэлементарных? Р

Обычно в вузе к классу элементарных функций относят следующие:
1. Многочлены, показательные и логарифмические функции, тригонометрические и обратные триг. ф-ции
2. Сумма, произведение, отношение элементарных ф-ций - элементарная ф-ция,
3. Элементарная функция, возведенная в степень, где показателем является элементарная ф-ция - элементарная
4. Обратная элементарной ф-ции считается элементарной
5. Суперпозиция элементарной ф-ции является элементарной
Может еще что то забыл. Вообще то это понятие довольно условное.
Пример элементарной ф-ции

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)=\sqrt[2018]{arctang{(1+e^{x^2}^{sin(ln(cos^{2018}(\frac{2018^{x^{x^{2^{x^{2^{x^2}}}}}}}{1+sqrt{x}+tg(x^2+1)}+1)))})$

Байт · 22.10.2018, 20:23

Сообщение от Symon

Пример элементарной ф-ции

Да, я знаю, что элементарное - отнюдь не значит простое.

Сообщение от Symon

Вообще то это понятие довольно условное.

Вот-вот! Ведь и синус обыкновенный нельзя посчитать, используя только плюсы и минусы! И точное значение известно только для некоторых исключительных точек. А другие - добро пожаловать к Брадису! Но функция определена, имеет обозначение, и все прочие права. Вы же можете в ответе написать sin 1 Попросят до числа довести - но это уже другая история.
Вот так же и спец-функции (функция Гаусса, интегральная экспонента...) - они определены, у них есть обозначения (не помню, какие), есть даже свойства. И мы имеем право их использовать в ответах. А то, что они считаются через ряд или по таблицам - так и простой посконный синус такой же!

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .	Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .	Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .	Ломающие изменения в C#.NStar Alpha Etyuhibosecyu 20.11.2025 Уже можно не только тестировать, но и пользоваться C#. NStar - писать оконные приложения, содержащие надписи, кнопки, текстовые поля и даже изображения, например, моя игра "Три в ряд" написана на этом. . .
Мысли в слух kumehtar 18.11.2025 Кстати, совсем недавно имел разговор на тему медитаций с людьми. И обнаружил, что они вообще не понимают что такое медитация и зачем она нужна. Самые базовые вещи. Для них это - когда просто люди. . .	Создание Single Page Application на фреймах krapotkin 16.11.2025 Статья исключительно для начинающих. Подходы оригинальностью не блещут. В век Веб все очень привыкли к дизайну Single-Page-Application . Быстренько разберем подход "на фреймах". Мы делаем одну. . .	Фото: Daniel Greenwood kumehtar 13.11.2025	Расскажи мне о Мире, бродяга kumehtar 12.11.2025 — Расскажи мне о Мире, бродяга, Ты же видел моря и метели. Как сменялись короны и стяги, Как эпохи стрелою летели. - Этот мир — это крылья и горы, Снег и пламя, любовь и тревоги, И бескрайние. . .	PowerShell Snippets iNNOKENTIY21 11.11.2025 Модуль PowerShell 5. 1+ : Snippets. psm1 У меня модуль расположен в пользовательской папке модулей, по умолчанию: \Documents\WindowsPowerShell\Modules\Snippets\ А в самом низу файла-профиля. . .

@vikentiy_tora 0 / 0 / 0 Регистрация: 28.10.2017 Сообщений: 14

	Вычислить интеграл по кривой 19.10.2018, 00:40. Показов 4760. Ответов 10 Метки нет (Все метки) Дана функция комплексного переменного f(z). Вычислите интеграл по заданной кривой L. L - ломаная ABC: A=-1+i, B=i, C=1. Я интеграл составила, на 2 пути интегрирования разделила, в таком виде: udx-vdy+i(udy+vdx) представила, как криволинейный интеграл 2 рода преобразовала. Помогите решить интеграл. Или, если нужно решать по-другому, то подскажите как. Я представила функцию в виде: Изначально функция выглядит так: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(z)={e}^{{\|z\|}^{4}}\cdot Re z$ Миниатюры 0

@vikentiy_tora 0 / 0 / 0 Регистрация: 28.10.2017 Сообщений: 14
	20.10.2018, 11:24 [ТС]
	Так можно было бы сделать, если бы функция была аналитической. Условия Коши-Римана не выполняются. 0

@vikentiy_tora 0 / 0 / 0 Регистрация: 28.10.2017 Сообщений: 14
	22.10.2018, 00:21 [ТС]
	После всех преобразований у меня получилось 2 интеграла: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{-1}^{0}{e}^{{({x}^{2}-1)}^{2}}xdx+2\int_{0}^{1}{e}^{{(2x-1)}^{2}}xdx$ Если сделать замену $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t={x}^{2}-1; dt=2xdx$ в первом, то выйдет интеграл: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1/2\int_{0}^{-1}{e}^{{t}^{2}}dt$ Как провести замену переменной во втором интеграле? И как решается такой интеграл со степенью в степени? 0