Точка пересечения двух прямых в пространстве

@Loki_CXZ · Регистрация: 03.06.2012

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Помогите, пожалуйста, вывести формулу нахождения координат точки пересечения прямых в пространстве. Прямые заданы двумя точками. В инете информации почему то недостаточно, помогите

@СерыйКардинал · 13.08.2012, 19:23

Если каноническое уравнение прямой 0:
(x-xo)/p=(y-yo)/q=(z-zo)/r
а каноническое уравнение прямой 1:
(x-x1)/p1=(y-y1)/q1=(z-z1)/r1

То координаты их точки пересечения:

x=(xo*q*p1-x1*q1*p-yo*p*p1+y1*p*p1)/(q*p1-q1*p)
y=(yo*p*q1-y1*p1*q-xo*q*q1+x1*q*q1)/(p*q1-p1*q)
z=(zo*q*r1-z1*q1*r-yo*r*r1+y1*r*r1)/(q*r1-q1*r)

Разумеется прямые могут быть паралельные, совпадать и мимобежные

Добавлено через 54 секунды
доказательство:

1. (x-xo)/p=(y-yo)/q=(z-zo)/r
(x-x1)/p1=(y-y1)/q1=(z-z1)/r1

2. (x-xo)/p=(y-yo)/q
(x-x1)/p1=(y-y1)/q1

3. y=(x-xo)*q/p+yo
y=(x-x1)*q1/p1+y1

4. (x-xo)*q/p+yo=(x-x1)*q1/p1+y1

5. (x-xo)*q*p1+yo*p*p1=(x-x1)*q1*p+y1*p*p1

6. x*(q*p1-p*q1)=xo*q*p1-x1*q1*p-yo*p*p1+y1*p*p1

7. x=(xo*q*p1-x1*q1*p-yo*p*p1+y1*p*p1)/(q*p1-p*q1)

аналогично для y и z

Добавлено через 24 секунды

Сообщение от Loki_CXZ

В инете информации почему то недостаточно

неправда

@CrowKiller · 13.08.2012, 19:55

тогда вопрос вдогонку. как проверить, что прямые действительно пересекаются?

@СерыйКардинал · 14.08.2012, 01:07

Вы же в знаменателе на что-то делите, если поделите нормально - значит пересекаются и все окей, если где-то в знаменателе 0 а в числителе не ноль - то вроде скрещиваются,

@cmath · 14.08.2012, 15:37

Как вариант: проверить пересекаются прямые или нет можно следующим образом:
т.к. прямые задаются двумя точками (итого 4) то можно взять 3 точки и составить уравнение плоскости,
после этого подставить координаты 4-ой точки в это уравнение (через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и т.д.)

Добавлено через 23 минуты
Только конечно прямые, как указано выше, могут быть параллельны, но это можно очень просто проверить "изъяв" координаты направляющих векторов из уравнений.

@СерыйКардинал · 14.08.2012, 17:47

Hydrogen, все верно

vetvet · 15.08.2012, 18:08

Точка пересечения двух прямых в пространстве

vetvet · 15.08.2012, 18:32

Если определитель не равен 0, то прямые скрещиваются, если равен 0 и координаты направляющих векторов пропорциональны, то прямые параллельны, если определитель равен 0, но координаты направляющих векторов не пропорциональны, то прямые пересекаются.

@cmath · 16.08.2012, 07:13

Сообщение от vetvet

Вложение 176285

Т.е. Все равно составляем уравнение плоскости и проделываем работу, которую сделал СерыйКардинал

vetvet · 16.08.2012, 16:36

Сообщение от Hydrogen

Т.е. Все равно составляем уравнение плоскости и проделываем работу, которую сделал СерыйКардинал

Нет. Вы можете найти только координаты направляющих векторов данных прямых и координаты вектора, соединяющего две точки, лежащие на данных прямых (определитель составлен как раз из этих координат).

@cmath · 16.08.2012, 17:48

Сообщение от vetvet

Сообщение от Hydrogen
Т.е. Все равно составляем уравнение плоскости и проделываем работу, которую сделал СерыйКардинал
Нет. Вы можете найти только координаты направляющих векторов данных прямых и координаты вектора, соединяющего две точки, лежащие на данных прямых (определитель составлен как раз из этих координат).

Я имел ввиду другое. Если рассматривать, что из себя этот определитель представляет, то можно увидеть следующее: у меня есть два направляющих вектора двух прямых и координаты точки,лежащей на одной из прямых(Пусть это будет (x1, y1,z1)) Положим что (x,y,z) координаты некоторой точки на другой прямой(без разницы какой именно точки), составим вектор {x-x1;y-y1,z-z1} и рассмотрим смешанное произведение этих трех векторов (направляющих и составленного из координат)и прировняем его к нулю (вырожденный параллелепипед). Координаты направляющих {l1;m1;n1} и {l2;m2;n2}
Получим знакомый по картинке определитель (только вместо x2, y2, z2 - x, y, z) Если существуют точки, удовлетворяющие получившемуся уровнения, то они образуют собой непрерывное множество (известно какое) и если точка с координатами (x2,y2,z2) этому множеству принадлежит, то её координаты удовлетворяют уравнению, оговоренному выше.
Итог: я клоню к тому, что ваш способ базируется на той же идее, а именно: Написать уравнение плоскости которая возможно проходит через прямые (только другим способом) и подставить координаты точки в него, тем самым доказав (или наоборот опровергнув) существование такой плоскости. А дальше следуют выводы оговоренные выше.

vetvet · 16.08.2012, 18:09

Hydrogen, так там сразу же написано, что определитель берётся из условия принадлежности прямых плоскости (точнее из условия компланарности векторов). Не вижу смысла в составлении уравнения плоскости, если имеется 4 точки, и можно вычислить определитель без лишних преобразований.

@cmath · 16.08.2012, 18:20

Hydrogen, так там сразу же написано, что определитель берётся из условия принадлежности прямых плоскости (точнее из условия компланарности векторов). Не вижу смысла в составлении уравнения плоскости, если имеется 4 точки, и можно вычислить определитель без лишних преобразований.

Вы меня не поняли. Там говорится (если я не ошибаюсь) "если прямые лежат в одной плоскости..." и "Обратно..." я не говорю ни о каких преобразованиях (в том смысле что их нужно выполнять), лишь о том "откуда ветер дует" т.е. о доказательстве, как вы сами подметили из условия компланарности векторов
(в этом весь смысл (смешанное произведение, выражающее численно объем как раз отсюда)).
кст

там сразу же написано, что определитель берётся из условия принадлежности прямых плоскости

там написано "Если..."( о чем я уже говорил).

@Puporev · 16.08.2012, 18:26

Слежу за темой и жду что уж математики-то напушут простое и короткрое решение типа
Если то-то и то-то, то прямые не пересекаются
иначе
x=
y=
z=
чтобы содрать и в программках использовать.
Вместо этого дебаты на 2 страницы.

@cmath · 16.08.2012, 18:43

Сообщение от Puporev

Вместо этого дебаты на 2 страницы

Вы еще математиков не знаете! я кст прикладной

, дебаты по соответствующей теме - наше любимое занятие. А способа что указан выше проще вряд ли найдете.

vetvet · 16.08.2012, 19:18

Сообщение от Puporev

Слежу за темой и жду что уж математики-то напушут простое и короткрое решение типа
Если то-то и то-то, то прямые не пересекаются
иначе

Ё-моё!
Пусть прямая s₁ проходит через точки (x₁;y_1;z₁),(x₂;y₂;z₂), а прямая s₂ - через точки (x₃;y₃;z₃),(x₄;y₄;z₄), тогда:

1) если определитель
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{vmatrix}x_1-x_2 & y_1-y_2 & z_1-z_2\\ x_3-x_4 & y_3-y_4 & z_3-z_4\\ x_1-x_3 & y_1-y_3 & z_1-z_3\end{vmatrix}$
равен 0, то прямые лежат в одной плоскости;

2) если не равен 0, то прямые скрещиваются;

Случай 1) распадается ещё на два:

1)а) если
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{x_1-x_2}{x_3-x_4}=\frac{y_1-y_2}{y_3-y_4}=\frac{z_1-z_2}{z_3-z_4},$
то прямые параллельны;

1)б) если равенство 1)а) не выполняется, то прямые пересекаются.

P.S.: чтобы проще было понять, в определителе в две любые строки пишем разность соответствующих координат точек, лежащих на одной прямой, в третью - разность между соответствующими координатами любых двух точек, не лежащих на одной прямой.

@Puporev · 16.08.2012, 19:21

vetvet, Спасибо. Просто как-то привык что если определитель = 0, то решений нет, не пересекаются...

vetvet · 16.08.2012, 19:41

Puporev, всегда пожалуйста.

Не по теме:

Сообщение от Puporev

Просто как-то привык что если определитель = 0, то решений нет, не пересекаются.

Если система уравнений однородная, то при нулевом определителе матрицы коэффициентов решения есть.

@sabrus · 28.07.2019, 21:04

Реально задачка с гемором. Хотел уж было велосипедить...

Python 3.7.2 (tags/v3.7.2:9a3ffc0492, Dec 23 2018, 23:09:28) [MSC v.1916 64 bit (AMD64)] on win32

Python
1
2
3
4
5
6
from sympy import Point
from sympy.geometry import Segment
sg1 = Segment((0,0,0),(2,0,0))
sg2 = Segment((0,0,2),(2,0,0))
sg1.intersect(sg2)
{Point3D(2, 0, 0)}

(Да Карл, по отрезкам!!!)
для скорости есть пакет https://github.com/cknoll/sympy_to_c (правда у меня на win без напильника не взлетел)

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Отчёт о затраченных материалах за определенный период с макетом печатной формы Maks 21.04.2026 Отчёт из решения ниже размещён в конфигурации КА2. Задача: разработка отчёта по затраченным материалам за определённый период, с возможностью вывода печатной формы отчёта с шапкой и подвалом. В. . .	Отчёт о спецтехнике находящейся в ремонте Maks 20.04.2026 Отчёт из решения ниже размещен в конфигурации КА2. Задача: отобразить спецтехнику, которая на данный момент находится в ремонте. Есть нетиповой документ "Заявка на ремонт спецтехники" который. . .	Памятка для бота и "визитка" для читателей "Semantic Universe Layer (Слой семантической вселенной)" Hrethgir 19.04.2026 Сгенерировано для краткого описания по случаю сборки и компиляции скелета серверного приложения. И пусть после этого скажут, что статьи сгенерированные AI - туфта и не интересно. И это не реклама -. . .	Запрет удаления строк ТЧ документа при определённом условии Maks 19.04.2026 Алгоритм из решения ниже реализован на примере нетипового документа "Аккумуляторы", разработанного в конфигурации КА2. У данного документа есть ТЧ, в которой в зависимости от прав доступа. . .
Модель заражения группы наркоманов alhaos 17.04.2026 Условия задачи сформулированы тут Суть: - Группа наркоманов из 10 человек. - Только один инфицирован ВИЧ. - Колются одной иглой. - Колются раз в день. - Колются последовательно через. . .	Мысли в слух. Про "навсегда". kumehtar 16.04.2026 Подумалось тут, что наверное очень глупо использовать во всяких своих установках понятие "навсегда". Это очень сильное понятие, и я только начинаю понимать край его смысла, не смотря на то что давно. . .	My Business CRM MaGz GoLd 16.04.2026 Всем привет, недавно возникла потребность создать CRM, для личных нужд. Собственно программа предоставляет из себя базу данных клиентов, в которой можно фиксировать звонки, стадии сделки, а также. . .	Знаешь почему 90% людей редко бывают счастливыми? kumehtar 14.04.2026 Потому что они ждут. Ждут выходных, ждут отпуска, ждут удачного момента. . . а удачный момент так и не приходит.

@Loki_CXZ 1 / 1 / 2 Регистрация: 03.06.2012 Сообщений: 24

	Точка пересечения двух прямых в пространстве 13.08.2012, 18:56. Показов 62666. Ответов 18 Метки нет (Все метки) Помогите, пожалуйста, вывести формулу нахождения координат точки пересечения прямых в пространстве. Прямые заданы двумя точками. В инете информации почему то недостаточно, помогите 0

@CrowKiller 0 / 0 / 0 Регистрация: 13.08.2012 Сообщений: 5
	13.08.2012, 19:55
	тогда вопрос вдогонку. как проверить, что прямые действительно пересекаются? 0

@СерыйКардинал 310 / 57 / 7 Регистрация: 30.05.2012 Сообщений: 295
	14.08.2012, 01:07
	Вы же в знаменателе на что-то делите, если поделите нормально - значит пересекаются и все окей, если где-то в знаменателе 0 а в числителе не ноль - то вроде скрещиваются, 1

@cmath 2525 / 1751 / 152 Регистрация: 11.08.2012 Сообщений: 3,349
	14.08.2012, 15:37
	Как вариант: проверить пересекаются прямые или нет можно следующим образом: т.к. прямые задаются двумя точками (итого 4) то можно взять 3 точки и составить уравнение плоскости, после этого подставить координаты 4-ой точки в это уравнение (через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и т.д.) Добавлено через 23 минуты Только конечно прямые, как указано выше, могут быть параллельны, но это можно очень просто проверить "изъяв" координаты направляющих векторов из уравнений. 2

@СерыйКардинал 310 / 57 / 7 Регистрация: 30.05.2012 Сообщений: 295
	14.08.2012, 17:47
	Hydrogen, все верно 0

vetvet Змеюка одышечная 9864 / 4595 / 178 Регистрация: 04.01.2011 Сообщений: 8,574
	15.08.2012, 18:08
	2

vetvet Змеюка одышечная 9864 / 4595 / 178 Регистрация: 04.01.2011 Сообщений: 8,574
	15.08.2012, 18:32
	Если определитель не равен 0, то прямые скрещиваются, если равен 0 и координаты направляющих векторов пропорциональны, то прямые параллельны, если определитель равен 0, но координаты направляющих векторов не пропорциональны, то прямые пересекаются. 0

vetvet Змеюка одышечная 9864 / 4595 / 178 Регистрация: 04.01.2011 Сообщений: 8,574
	16.08.2012, 18:09
	Hydrogen, так там сразу же написано, что определитель берётся из условия принадлежности прямых плоскости (точнее из условия компланарности векторов). Не вижу смысла в составлении уравнения плоскости, если имеется 4 точки, и можно вычислить определитель без лишних преобразований. 0

@Puporev Почетный модератор 64319 / 47615 / 32743 Регистрация: 18.05.2008 Сообщений: 115,167
	16.08.2012, 18:26
	Слежу за темой и жду что уж математики-то напушут простое и короткрое решение типа Если то-то и то-то, то прямые не пересекаются иначе x= y= z= чтобы содрать и в программках использовать. Вместо этого дебаты на 2 страницы. 1

@Puporev Почетный модератор 64319 / 47615 / 32743 Регистрация: 18.05.2008 Сообщений: 115,167
	16.08.2012, 19:21
	vetvet, Спасибо. Просто как-то привык что если определитель = 0, то решений нет, не пересекаются... 0

Точка пересечения двух прямых в пространстве

Решение