Нетривиальная система с параметром

@Bonaqua · Регистрация: 19.04.2015

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Приветствую. Попалась такая вот интересная система с параметром. Задание: найдите все значения параметра а, при каждом из которых система имеет единственное решение.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{\!\begin ax^2-2y^2 + 2xy - 6x + y - \frac{ 3 }{ 4 } = 0, \\ x^2+y^2 \le \frac{ 1 }{ 2 } . \right.$

Второе неравенство задается кругом с радиусом $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?sqrt2/2$ . С остальным все туго...

@Catstail · 29.04.2015, 15:46

Сообщение от Bonaqua

Второе неравенство задается кругом

- а равенство задает кривую 2-го порядка (эллипс, гиперболу или параболу). Нужно определить, при каком a кривая касается круга.

@Bonaqua · 29.04.2015, 16:02 **[ТС]**

Сообщение от Catstail

- а равенство задает кривую 2-го порядка (эллипс, гиперболу или параболу). Нужно определить, при каком a кривая касается круга.

И как же это определить? Ясное дело, что в зависимости от значения параметра меняется и коника.

@kabenyuk · 30.04.2015, 10:22

Похоже, что нет таких значений параметра.
Вот вариант решения. Ясно, что а отлично от нуля.
Пусть а - таково, что указанное уравнение имеет единственное решение в указанном круге. Приведем это предположение к противоречию.
Если (x,0) - решение уравнения, то $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?|x|\geq\sqr2/2$ и ах²-6х-3/4=0. Тогда
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left|\frac{6-\sqr{36+3a}}{2a}\right|\geq\frac{\sqr2}{2}\Leftrightarrow \\|6-\sqr{36+3a}|\geq\sqr2|a|.\ \ \ (*)$

Если a>0, то неравенство (*) равносильно
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqr{36+3a}\geq\sqr2a+6\ \Leftrightarrow\ 2a\leq3-12\sqr2.$
Противоречие.

Если a<0, то неравенство (*) равносильно
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?6-\sqr2|a|\geq\sqr{36+3a}\ \Leftrightarrow \ \begin{cases}6-\sqr2|a|\geq0 \\ |a|\geq6\sqr2-3/2.\end{cases}\ \Leftrightarrow \ 6\sqr2-3/2\leq |a|\leq3\sqr2.$
Опять противоречие.

Как-то так. Надо проверить аккуратно выкладки. И слегка беспокоит случай, когда а<-12.

@mathmichel · 30.04.2015, 12:42

Сообщение от kabenyuk

Похоже, что нет таких значений параметра.

Графически моделировал с помощью Живой Геометрии. Есть два случая касания: а=6,5 и а=-5,2

@Том Ардер · 30.04.2015, 14:42

Сообщение от kabenyuk

Ясно, что а отлично от нуля

Это не нужно. При любом a кривая второго порядка.
При $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a\approx -6$ есть внутреннее касание эллипса и окружности.

@kabenyuk · 30.04.2015, 14:51

Сообщение от mathidiot

Есть два случая касания

За положительные значения у меня сомнений не было. Что-то у вас с формулами корней квадратного уравнения. Почему нет в знаменателе а?

Добавлено через 8 минут

Сообщение от Том Ардер

есть внутреннее касание эллипса и окружности

Это - может быть. Только скорее в районе -7.5.

@Том Ардер · 30.04.2015, 22:35

В точке касания кривых должны быть равны производные. Это даёт 4 решения (значения a). {-7; 9.59821; -6.88559; -7.34677}. Только при последнем значении параметра нет других точек пересечения кривых.

@mathmichel · 01.05.2015, 12:35

Сообщение от kabenyuk

Что-то у вас с формулами корней квадратного уравнения. Почему нет в знаменателе а?

Да, оплошал со знаменателем (в калькуляторе ЖГ неудобная кнопка деления - двоеточие, перекрытое знаком дроби, похожая на целочисленное деление, а обычная клавиатура не воспринимается), теперь картинка похожая как у Том Ардера. Но внутреннее касание не подходит по условию задачи. Единственность решения системы внутри круга будет в случае вырождения эллипса в точку, это происходит при значении параметра $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a=\frac{63}{5}=12,6$

@Том Ардер · 01.05.2015, 14:15

Сообщение от mathidiot

внутреннее касание не подходит по условию задачи

Вот именно! Второе ведь - неравенство!
А при внешнем касании ( $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a\approx 9.59821$ ) - одна ветвь гиперболы касается, вторая - пересекает окружность.
Но при a=63/5 там не эллипс (даже вырожденный в точку), а гипербола.

@mathmichel · 01.05.2015, 14:55

Сообщение от Том Ардер

Но при a=63/5 там не эллипс (даже вырожденный в точку), а гипербола

Я пропустил знак, должно быть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a=-\frac{63}{5}$

@Bonaqua · 03.05.2015, 15:57 **[ТС]**

В ответе a = -12.6. Да, это возможно только при вырождении эллипса в точку. Внутреннее касание недопустимо, поскольку таковое не допускает условие. Теперь по графику это очевидно. Как же решать аналитически? Ведь именно так и необходимо было решать.

@mathmichel · 03.05.2015, 17:48

Сообщение от Bonaqua

В ответе a = -12.6. Да, это возможно только при вырождении эллипса в точку. Внутреннее касание недопустимо, поскольку таковое не допускает условие. Теперь по графику это очевидно. Как же решать аналитически?

Аналитически через дискриминант первого уравнения, который в этой точке и будет равен нулю, а откуда у Вас этот ответ (из какого источника)?

@Bonaqua · 04.05.2015, 09:52 **[ТС]**

Сообщение от mathidiot

Аналитически через дискриминант первого уравнения, который в этой точке и будет равен нулю, а откуда у Вас этот ответ (из какого источника)?

Знакомый из мехмата дал, сказал, что подобное было на какой-то олимпиаде при вступлении. В общем, жуть.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
модель ЗдравоСохранения 8. Подготовка к разному выполнению заданий anaschu 08.04.2026 https:/ / github. com/ shumilovas/ med2. git main ветка * содержимое блока дэлэй из старой модели теперь внутри зайца новой модели 8ATzM_2aurI	Блокировка документа от изменений, если он открыт у другого пользователя Maks 08.04.2026 Алгоритм из решения ниже реализован на примере нетипового документа, разработанного в конфигурации КА2. Задача: запретить редактирование документа, если он открыт у другого пользователя. / / . . .	Система безопасности+живучести для сервера-слоя интернета (сети). Двойная привязка. Hrethgir 08.04.2026 Далее были размышления о системе безопасности. Сообщения с наклонным текстом - мои. А как нам будет можно проверить, что ссылка наша, а не подделана хулиганами, которая выбросит на другую ветку и. . .	Модель ЗдрввоСохранения 7: больше работников, больше ресурсов. anaschu 08.04.2026 работников и заданий может быть сколько угодно, но настроено всё так, что используется пока что только 20% kYBz3eJf3jQ
Дальние перспективы сервера - слоя сети с космологическим дизайном интефейса карты и логики. Hrethgir 07.04.2026 Дальнейшее ближайшее планирование вывело к размышлениям над дальними перспективами. И вот тут может быть даже будут нужны оценки специалистов, так как в дальних перспективах всё может очень сильно. . .	Горе от ума kumehtar 07.04.2026 Эта мне ментальная установка, что вот прямо сейчас, мол, мне для полного счастья не хватает (нужное вписать), и когда я этого достигну - тогда и полный кайф. Одна из самых сильных ловушек на пути. . . .	Использование значений реквизитов справочника в документе, с определенными условиями и правами Maks 07.04.2026 1. Контроль срока действия договора Алгоритм из решения ниже реализован на примере нетипового документа "ЗаявкаНаРаботу", разработанного в конфигурации КА2. Задача: уведомлять пользователя, если. . .	Доступность команды формы по условию Maks 07.04.2026 Алгоритм из решения ниже реализован на примере нетипового документа "СписаниеМатериалов", разработанного в конфигурации КА2. Задача: сделать доступной кнопку (команда формы "ЗавершитьСписание") при. . .

@Bonaqua 1 / 1 / 1 Регистрация: 19.04.2015 Сообщений: 14

	Нетривиальная система с параметром 28.04.2015, 19:03. Показов 1039. Ответов 13 Метки нет (Все метки) Приветствую. Попалась такая вот интересная система с параметром. Задание: найдите все значения параметра а, при каждом из которых система имеет единственное решение. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{\!\begin ax^2-2y^2 + 2xy - 6x + y - \frac{ 3 }{ 4 } = 0, \\ x^2+y^2 \le \frac{ 1 }{ 2 } . \right.$ Второе неравенство задается кругом с радиусом $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?sqrt2/2$ . С остальным все туго... 0

@kabenyuk $Эксперт по математике/физике$ 4184 / 3054 / 918 Регистрация: 19.11.2012 Сообщений: 6,201
	30.04.2015, 10:22
	Похоже, что нет таких значений параметра. Вот вариант решения. Ясно, что а отлично от нуля. Пусть а - таково, что указанное уравнение имеет единственное решение в указанном круге. Приведем это предположение к противоречию. Если (x,0) - решение уравнения, то $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\|x\|\geq\sqr2/2$ и ах²-6х-3/4=0. Тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\|\frac{6-\sqr{36+3a}}{2a}\right\|\geq\frac{\sqr2}{2}\Leftrightarrow \\\|6-\sqr{36+3a}\|\geq\sqr2\|a\|.\ \ \ ()$ Если a>0, то неравенство () равносильно $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqr{36+3a}\geq\sqr2a+6\ \Leftrightarrow\ 2a\leq3-12\sqr2.$ Противоречие. Если a<0, то неравенство (*) равносильно $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?6-\sqr2\|a\|\geq\sqr{36+3a}\ \Leftrightarrow \ \begin{cases}6-\sqr2\|a\|\geq0 \\ \|a\|\geq6\sqr2-3/2.\end{cases}\ \Leftrightarrow \ 6\sqr2-3/2\leq \|a\|\leq3\sqr2.$ Опять противоречие. Как-то так. Надо проверить аккуратно выкладки. И слегка беспокоит случай, когда а<-12. 2

@Том Ардер $Эксперт по математике/физике$ 4218 / 3416 / 396 Регистрация: 15.06.2009 Сообщений: 5,817
	30.04.2015, 22:35
	В точке касания кривых должны быть равны производные. Это даёт 4 решения (значения a). {-7; 9.59821; -6.88559; -7.34677}. Только при последнем значении параметра нет других точек пересечения кривых. Миниатюры 1

@Bonaqua 1 / 1 / 1 Регистрация: 19.04.2015 Сообщений: 14
	03.05.2015, 15:57 [ТС]
	В ответе a = -12.6. Да, это возможно только при вырождении эллипса в точку. Внутреннее касание недопустимо, поскольку таковое не допускает условие. Теперь по графику это очевидно. Как же решать аналитически? Ведь именно так и необходимо было решать. 0