Посчитать сумму по заданной формуле

@Nizhikebinesi · Регистрация: 07.12.2015

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Посчитать(получить формулу) чему равно C¹_n + C⁴_n + C⁷_n + ...

Пытался думать как посчитать ч/з какое-нибудь разложение аля (1 + i)ⁿ по формуле бинома Ньютона, но идей пока нет.

@Ellipsoid · 01.01.2016, 13:29

Это конечная сумма или ряд?

@Nizhikebinesi · 01.01.2016, 20:25 **[ТС]**

Вроде конечная

@Alex5 · 02.01.2016, 16:54

Сообщение от Nizhikebinesi

ч/з какое-нибудь разложение аля

Да, Nizhikebinesi, так вполне возможно. Вот аналогичный пример C_n¹ + C_n³ + C_n⁵ + ...

Не по теме:

Предполагаю, сумму C_n⁰ + C_n¹ x + C_n² x² + ... Вы знаете.

Добавлено через 15 часов 35 минут
(Рассмотрим более простую задачу.)

Nizhikebinesi, что получится, если x= 1, если x= -1 ?
C_n⁰ + C_n¹ x + C_n² x² + C_n³ x³+ ...

Что можно из этого получить?

Добавлено через 5 минут
Кстати - это всё на тему производящие функции

@Ellipsoid · 02.01.2016, 17:06

Не по теме:

Сообщение от Alex5

Кстати - это всё на тему производящие функции

Alex5, спасибо за интересный материал.

@jogano · 02.01.2016, 18:34

Игры с треугольником Паскаля и рекуррентными формулами дали такой результат:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{matrix}\left[\frac{2^n}{3} \right], \: n \, mod \, 6 \, \in \left{0;4;5 \right}\\ \left[\frac{2^n}{3} \right]+1, \: n \, mod \, 6 \, \in \left{1;2;3 \right}\end{matrix}$
Если обозначить сумму с нижним индексом n и верхними индексами, имеющими остаток i от деления на 3, через $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_n^{(i)}$ (нужно найти в этих обозначениях $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_n^{(1)}$ ), то применяя известное свойство биномиальных коэффициентов $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_n^k=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k$ , чтобы подняться в треугольнике Паскаля на 2 строки выше, можно получить рекуррентные равенства
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_n^{(0)}=2^{n-2}+S_{n-2}^{(2)}\\S_n^{(1)}=2^{n-2}+S_{n-2}^{(0)}\\S_n^{(2)}=2^{n-2}+S_{n-2}^{(1)}$
Т.е. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_n^{(1)}=2^{n-2}+2^{n-4}+2^{n-6}+...$ и самое трудное определить, каким слагаемым эта сумма закончится. А зависит это от остатка от деления n на 6. Закончиться она может (в порядке возрастания остатков от 0 до 5) на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_2^{(2)}=C_2^2=1; \: S_1^{(1)}=C_1^1=1; \: S_2^{(1)}=C_2^1=2; \: S_1^{(0)}=C_1^0=1; \: S_2^{(0)}=C_2^0=1; \: 0$
Дальше сумма геометрической прогрессии даёт нужную формулу.

@Том Ардер · 02.01.2016, 19:08

Обозначим
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{s}_{n}=\sum_{k=0}^{\infty}{C}_{n}^{1+3k}$
Исходная сумма - фактически конечная, слагаемые с $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1+3k>n$ обращаются в 0.
Производящая функция не очень простая, после некоторой алгебры приводит к обобщённой гипергеометрической функции
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{F}_{n}(z)=\sum_{k=0}^{\infty}{C}_{n}^{1+3k}z^k=n \, {_3}F{_2}\left(\frac{1}{3}-\frac{n}{3},\, \frac{2}{3}-\frac{n}{3},\, 1-\frac{n}{3};\, \frac{2}{3},\, \frac{4}{3};\, -z\right)$

Частное значение (при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=1$ ) даёт искомую сумму (после возни с $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Gamma$ -функциями)

Кликните здесь для просмотра всего текста

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{s}_{n}=\frac{1}{3} \left(2^n-(-1)^n \sin \left(\frac{\pi }{6} (4 n+1)\right)-\cos \left(\frac{\pi }{3} (n+1)\right)\right)$

@Nizhikebinesi · 03.01.2016, 19:02 **[ТС]**

Сообщение от Alex5

Nizhikebinesi, что получится, если x= 1, если x= -1 ?
C_n⁰ + C_n¹ x + C_n² x² + C_n³ x³+ ...
Что можно из этого получить?

Из этого можно получить соответственно суммы нечетных и четных C^k_n, где k соотв-но нечетное или четное.

Вообще вроде как такую задачу необходимо решать через первообразные корни из единицы(ну, именно мне, т.к. задача для доп. баллов), эту тему нам оставили на самостоятельное изучение, и я нашел пример решения для C⁰_n + C³_n + C⁶_n + ...
Вот как распространить такое на C¹_n + C⁴_n + C⁷_n + ... сейчас думаю.

@Alex5 · 03.01.2016, 22:58

Сообщение от Nizhikebinesi

Из этого можно получить соответственно суммы нечетных и четных

Верно, Nizhikebinesi. Так что и с исходной задачей справитесь.

Не по теме:

Сообщение от Nizhikebinesi

через первообразные корни из единицы

Точнее, комплексные корнииз 1.

Добавлено через 3 минуты

Не по теме:

Сообщение от Nizhikebinesi

суммы нечетных и четных

Здесь тоже используются корни (второй степени) из 1.

Добавлено через 27 минут

Сообщение от Том Ардер

Частное значение (при ) даёт искомую сумму (после возни с -функциями)

Том Ардер, можно проще записать. Вот похожий пример. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\;\;2\cdot cos( \frac{2\pi}{3} k ) \;=\; exp( i \frac{2\pi}{3} k ) + exp( - i \frac{2\pi}{3} k )$
Так что правая часть зависит только от остатка k mod 3. (Аналогично, cos(pi * n / m), sin(pi * n / m).)

Добавлено через 27 минут

Вот еще один способ.

x²(1+x)ⁿ = C_n⁰x² + C_n¹ x³+ C_n² x⁴+ C_n³ x⁵+ ... Подставим eps, где eps³=1.

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \;\;\; 2^n \;=\; C_n^0 \:+\: C_n^1 \:+\: C_n^2 \:+\: C_n^3 \:+\: C_n^4 \:+\:...$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varepsilon ^2 \cdot (1+\varepsilon )^n \;=\; C_n^0 \:\varepsilon ^2 \:+\: C_n^1 \:+\: C_n^2 \:\varepsilon ^4 \:+\: C_n^3 \:\varepsilon ^5\:+\: C_n^4 \:+\:...$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varepsilon \cdot (1+\varepsilon ^2)^n \;=\; C_n^0 \:\varepsilon \:+\: C_n^1 \:+\: C_n^2 \:\varepsilon ^2 \:+\: C_n^3 \:\varepsilon \:+\: C_n^4 \:+\:...$

Добавлено через 9 минут
Складывая, получим 2ⁿ + c_n = 3 * S. Константы c_n зависят только от (n mod 6).

Добавлено через 3 минуты
n = 1. 2 + c₁ = 3*1. c₁ = 1.

При n = 3k+1 сумма равна (2ⁿ+1)/3

И т.д.

Добавлено через 7 минут
Правильно: при n = 6k+1 сумма равна (2n+1)/3

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
SDL3 для Web (WebAssembly): Реализация движения на Box2D v3 - трение и коллизии с повёрнутыми стенами 8Observer8 20.02.2026 Содержание блога Box2D позволяет легко создать главного героя, который не проходит сквозь стены и перемещается с заданным трением о препятствия, которые можно располагать под углом, как верхнее. . .	Конвертировать закладки radiotray-ng в m3u-плейлист damix 19.02.2026 Это можно сделать скриптом для PowerShell. Использование . \СonvertRadiotrayToM3U. ps1 <path_to_bookmarks. json> Рядом с файлом bookmarks. json появится файл bookmarks. m3u с результатом. # Check if. . .	Семь CDC на одном интерфейсе: 5 U[S]ARTов, 1 CAN и 1 SSI Eddy_Em 18.02.2026 Постепенно допиливаю свою "многоинтерфейсную плату". Выглядит вот так: https:/ / www. cyberforum. ru/ blog_attachment. php?attachmentid=11617&stc=1&d=1771445347 Основана на STM32F303RBT6. На борту пять. . .	Камера Toupcam IUA500KMA Eddy_Em 12.02.2026 Т. к. у всяких "хикроботов" слишком уж мелкий пиксель, для подсмотра в ESPriF они вообще плохо годятся: уже 14 величину можно рассмотреть еле-еле лишь на экспозициях под 3 секунды (а то и больше),. . .
И ясному Солнцу zbw 12.02.2026 И ясному Солнцу, и светлой Луне. В мире покоя нет и люди не могут жить в тишине. А жить им немного лет.	«Знание-Сила» zbw 12.02.2026 «Знание-Сила» «Время-Деньги» «Деньги -Пуля»	SDL3 для Web (WebAssembly): Подключение Box2D v3, физика и отрисовка коллайдеров 8Observer8 12.02.2026 Содержание блога Box2D - это библиотека для 2D физики для анимаций и игр. С её помощью можно определять были ли коллизии между конкретными объектами и вызывать обработчики событий столкновения. . . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Загрузка PNG с прозрачным фоном с помощью SDL_LoadPNG (без SDL3_image) 8Observer8 11.02.2026 Содержание блога Библиотека SDL3 содержит встроенные инструменты для базовой работы с изображениями - без использования библиотеки SDL3_image. Пошагово создадим проект для загрузки изображения. . .

@Nizhikebinesi 0 / 0 / 0 Регистрация: 07.12.2015 Сообщений: 19

	Посчитать сумму по заданной формуле 01.01.2016, 10:27. Показов 1228. Ответов 8 Метки нет (Все метки) Посчитать(получить формулу) чему равно C¹_n + C⁴_n + C⁷_n + ... Пытался думать как посчитать ч/з какое-нибудь разложение аля (1 + i)ⁿ по формуле бинома Ньютона, но идей пока нет. 0

@Ellipsoid 1891 / 1472 / 173 Регистрация: 16.06.2012 Сообщений: 3,342
	01.01.2016, 13:29
	Это конечная сумма или ряд? 0

@Nizhikebinesi 0 / 0 / 0 Регистрация: 07.12.2015 Сообщений: 19
	01.01.2016, 20:25 [ТС]
	Вроде конечная 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	02.01.2016, 18:34
	Игры с треугольником Паскаля и рекуррентными формулами дали такой результат: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{matrix}\left[\frac{2^n}{3} \right], \: n \, mod \, 6 \, \in \left{0;4;5 \right}\\ \left[\frac{2^n}{3} \right]+1, \: n \, mod \, 6 \, \in \left{1;2;3 \right}\end{matrix}$ Если обозначить сумму с нижним индексом n и верхними индексами, имеющими остаток i от деления на 3, через $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_n^{(i)}$ (нужно найти в этих обозначениях $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_n^{(1)}$ ), то применяя известное свойство биномиальных коэффициентов $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_n^k=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k$ , чтобы подняться в треугольнике Паскаля на 2 строки выше, можно получить рекуррентные равенства $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_n^{(0)}=2^{n-2}+S_{n-2}^{(2)}\\S_n^{(1)}=2^{n-2}+S_{n-2}^{(0)}\\S_n^{(2)}=2^{n-2}+S_{n-2}^{(1)}$ Т.е. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_n^{(1)}=2^{n-2}+2^{n-4}+2^{n-6}+...$ и самое трудное определить, каким слагаемым эта сумма закончится. А зависит это от остатка от деления n на 6. Закончиться она может (в порядке возрастания остатков от 0 до 5) на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_2^{(2)}=C_2^2=1; \: S_1^{(1)}=C_1^1=1; \: S_2^{(1)}=C_2^1=2; \: S_1^{(0)}=C_1^0=1; \: S_2^{(0)}=C_2^0=1; \: 0$ Дальше сумма геометрической прогрессии даёт нужную формулу. 3

@Том Ардер $Эксперт по математике/физике$ 4218 / 3418 / 396 Регистрация: 15.06.2009 Сообщений: 5,818
	02.01.2016, 19:08
	Обозначим $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{s}_{n}=\sum_{k=0}^{\infty}{C}_{n}^{1+3k}$ Исходная сумма - фактически конечная, слагаемые с $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1+3k>n$ обращаются в 0. Производящая функция не очень простая, после некоторой алгебры приводит к обобщённой гипергеометрической функции $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{F}_{n}(z)=\sum_{k=0}^{\infty}{C}_{n}^{1+3k}z^k=n \, {_3}F{_2}\left(\frac{1}{3}-\frac{n}{3},\, \frac{2}{3}-\frac{n}{3},\, 1-\frac{n}{3};\, \frac{2}{3},\, \frac{4}{3};\, -z\right)$ Частное значение (при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=1$ ) даёт искомую сумму (после возни с $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Gamma$ -функциями) Кликните здесь для просмотра всего текста $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{s}_{n}=\frac{1}{3} \left(2^n-(-1)^n \sin \left(\frac{\pi }{6} (4 n+1)\right)-\cos \left(\frac{\pi }{3} (n+1)\right)\right)$ 3

Посчитать сумму по заданной формуле

Решение