Доказать, является ли структура группой, абелевой группой?

@Stepashka20 · Регистрация: 27.06.2017

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Докажите, является ли структура <P1,+>,где P1: R→R - многочлены одной переменной с целыми коэффициентами степени не выше n=1:
-группой?
-абелевой группой?

Я бы начал доказывать группу,если бы знал,что означает эта часть:
где P1: R→R - многочлены одной переменной с целыми коэффициентами степени не выше n=1

У меня есть предположение,что это числа виды ax+b.Но откуда и как взаимодействовать с коэффициентами a,b,x?
Для группы структура должна иметь нейтральный элемент,обратный элемент,и быть ассоциативной.Но как это применить к такому сложному выражению как ax+b?

@angor6 · 08.11.2020, 17:21

Для многочлена ax+b нейтральный элемент -- это 0x+0, противоположный элемент -- это -ax-b.

@kabenyuk · 08.11.2020, 17:26

Сообщение от Stepashka20

это числа виды ax+b

Это не числа - это многочлены степени не выше 1, а буква х обозначает здесь, как бы это странно не звучало, сама себя. Складываются эти выражения по стандартному правилу
(ax+b)+(cx+d)=(a+c)x+(b+d).
Ну и понятно, что ассоциативность выполняется - ведь все сводится к сложению чисел. Нейтральный элемент очевидно 0х+0 обычно обозначают этот многочлен просто 0. Ну а противоположный найдете к ax+b самостоятельно. Проверка абелевости тоже за вами.

@Stepashka20 · 08.11.2020, 17:31 **[ТС]**

kabenyuk, А как правильно записать это множество P1?
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P_{1} = \{ P:ax+b;a,xb\in \mathbb{Z} \}$
Так?

И вопрос по абелевости.Необходимо доказать коммутативность.Это мне делать примерно так:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(a_1x+b_1)+(a_2x+b_2)=(a_2x+b_2)+(a_1x+b_1)$ ?

@angor6 · 08.11.2020, 17:35

Stepashka20, x -- вещественное число!

@Stepashka20 · 08.11.2020, 17:37 **[ТС]**

angor6, то есть так?
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P_{1} = \{ P:ax+b;a,b\in \mathbb{Z},x \in \mathbb{R} \}$

@angor6 · 08.11.2020, 17:45

Stepashka20, по-моему, для записи многочленов существуют стандартные обозначения типа $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P_0(x)=a_0,$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P_1(x)=a_1x+a_0.$

@kabenyuk · 08.11.2020, 18:32

Сообщение от Stepashka20

А как правильно записать это множество P1?

Нет не так, множество многочленов степени не выше 1 записать можно вот так:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\small P_1=\{ax+b\mid a,b\in R\}$
Повторю х - это буква (можете написать, что она из латинского алфавита

), коэффициенты a и b у вас, как я понял произвольные вещественные числа, их обычно обозначают R с двойной вертикальной черточкой.

Но вообще-то старайтесь быть проще, и народ к вам потянется. Можно описывать это множество и словесно, иногда это и лучше, чем неправильная ваша формула.

Добавлено через 1 минуту

Сообщение от Stepashka20

И вопрос по абелевости. Необходимо доказать коммутативность.Это мне делать примерно так:

Да, именно так.

@3D Homer · 08.11.2020, 18:34

Сообщение от Stepashka20

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P_{1} = \{ P:ax+b;a,xb\in \mathbb{Z} \}$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P_1=\{ax+b\;\mid\; a,b\in\mathbb{R}\}$ .

Сообщение от Stepashka20

И вопрос по абелевости.Необходимо доказать коммутативность.Это мне делать примерно так:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(a_1x+b_1)+(a_2x+b_2)=(a_2x+b_2)+(a_1x+b_1)$ ?

Это утверждение, которое нужно доказать. Доказательство же, скорее всего, есть одна фраза: "Очевидно" или "По определению сложения многочленов". Если писать уж совсем подробно, то можно так.

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(a_1x+b_1)+(a_2x+b_2)=(a_1+a_2)x+(b_1+b_2)=(a_2+a_1)x+(b_2+b_1)=(a_2x+b_2)+(a_1x+b_1)$

Первое и третье равенства имеют место по определению сложения многочленов из сообщения 3, а среднее — по свойствам сложения действительных чисел.

@angor6 · 08.11.2020, 18:37

3D Homer, по условию a, b -- целые коэффициенты.

@3D Homer · 08.11.2020, 18:40

Сообщение от angor6

по условию a, b -- целые коэффициенты.

Спасибо, тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P_1=\{ax+b\;\mid\; a,b\in\mathbb{Z}\}$ . Также в первую очередь нужно проверить замкнутость этого множества относительно операций.

@angor6 · 08.11.2020, 18:44

Stepashka20, кстати, слово "докажите" в задании представляется мне не вписывающимся в контекст. Скорее всего, там должно быть слово "проверьте".

Байт · 08.11.2020, 20:37

Лично меня смущает

Сообщение от Stepashka20

P1: R→R многочлены одной переменной

Это отображения R->R. Линейные. Тогда при чем здесь

Сообщение от Stepashka20

<P1,+>

То есть "+" причем? И где здесь многочлены?
Да, каждое отображение задается как вот такое линейное преобразование. Но как они складываються?
Ничего не понимаю. Я один такой тупой?

Добавлено через 13 минут
Еще разок. P1: R->R
Элементы этого множества суть преобразования x-> ax+b. Это не многочлены!
Что значит <P1,+>? Можно понять это так. Пусть есть преобразования p: x ->ax+b, q=x->cx+d. Что такое r = p+q? Наверное, это преобразование r(x) = p(x) + q(x)
Изоморфна ли эта структуре группе по сложению многочленов 1-го порядка. Пожалуй, да...
Но задание выглядит логически запутанным...

@3D Homer · 08.11.2020, 22:30

Сообщение от Байт

Еще разок. P1: R->R

Это, скорее всего, опечатка ТС или неграмотность автора задачи. (Другие свидетельства неграмотности: уже упоминавшееся использование "Докажите" вместо "Проверьте" и ненужные вопросительные знаки.) По-видимому, P1 — это множество из сообщения 11 с операцией сложения многочленов.

Байт · 08.11.2020, 22:44

Сообщение от 3D Homer

Это, скорее всего, опечатка ТС или неграмотность автора задачи.

Да, скорее всего. Меня условие этой задачи весьма смутило. Ну, и стоит ли решать такое?

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
SDL3 для Web (WebAssembly): Реализация движения на Box2D v3 - трение и коллизии с повёрнутыми стенами 8Observer8 20.02.2026 Содержание блога Box2D позволяет легко создать главного героя, который не проходит сквозь стены и перемещается с заданным трением о препятствия, которые можно располагать под углом, как верхнее. . .	Конвертировать закладки radiotray-ng в m3u-плейлист damix 19.02.2026 Это можно сделать скриптом для PowerShell. Использование . \СonvertRadiotrayToM3U. ps1 <path_to_bookmarks. json> Рядом с файлом bookmarks. json появится файл bookmarks. m3u с результатом. # Check if. . .	Семь CDC на одном интерфейсе: 5 U[S]ARTов, 1 CAN и 1 SSI Eddy_Em 18.02.2026 Постепенно допиливаю свою "многоинтерфейсную плату". Выглядит вот так: https:/ / www. cyberforum. ru/ blog_attachment. php?attachmentid=11617&stc=1&d=1771445347 Основана на STM32F303RBT6. На борту пять. . .	Камера Toupcam IUA500KMA Eddy_Em 12.02.2026 Т. к. у всяких "хикроботов" слишком уж мелкий пиксель, для подсмотра в ESPriF они вообще плохо годятся: уже 14 величину можно рассмотреть еле-еле лишь на экспозициях под 3 секунды (а то и больше),. . .
И ясному Солнцу zbw 12.02.2026 И ясному Солнцу, и светлой Луне. В мире покоя нет и люди не могут жить в тишине. А жить им немного лет.	«Знание-Сила» zbw 12.02.2026 «Знание-Сила» «Время-Деньги» «Деньги -Пуля»	SDL3 для Web (WebAssembly): Подключение Box2D v3, физика и отрисовка коллайдеров 8Observer8 12.02.2026 Содержание блога Box2D - это библиотека для 2D физики для анимаций и игр. С её помощью можно определять были ли коллизии между конкретными объектами и вызывать обработчики событий столкновения. . . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Загрузка PNG с прозрачным фоном с помощью SDL_LoadPNG (без SDL3_image) 8Observer8 11.02.2026 Содержание блога Библиотека SDL3 содержит встроенные инструменты для базовой работы с изображениями - без использования библиотеки SDL3_image. Пошагово создадим проект для загрузки изображения. . .

@Stepashka20 6 / 5 / 1 Регистрация: 27.06.2017 Сообщений: 249

	Доказать, является ли структура группой, абелевой группой? 08.11.2020, 17:09. Показов 3820. Ответов 14 Метки нет (Все метки) Докажите, является ли структура <P1,+>,где P1: R→R - многочлены одной переменной с целыми коэффициентами степени не выше n=1: -группой? -абелевой группой? Я бы начал доказывать группу,если бы знал,что означает эта часть: где P1: R→R - многочлены одной переменной с целыми коэффициентами степени не выше n=1 У меня есть предположение,что это числа виды ax+b.Но откуда и как взаимодействовать с коэффициентами a,b,x? Для группы структура должна иметь нейтральный элемент,обратный элемент,и быть ассоциативной.Но как это применить к такому сложному выражению как ax+b? 0

@angor6 Любитель математики 1501 / 1010 / 288 Регистрация: 27.01.2014 Сообщений: 3,371
	08.11.2020, 17:21
	Для многочлена ax+b нейтральный элемент -- это 0x+0, противоположный элемент -- это -ax-b. 1

@Stepashka20 6 / 5 / 1 Регистрация: 27.06.2017 Сообщений: 249
	08.11.2020, 17:31 [ТС]
	kabenyuk, А как правильно записать это множество P1? $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P_{1} = \{ P:ax+b;a,xb\in \mathbb{Z} \}$ Так? И вопрос по абелевости.Необходимо доказать коммутативность.Это мне делать примерно так: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(a_1x+b_1)+(a_2x+b_2)=(a_2x+b_2)+(a_1x+b_1)$ ? 0

@angor6 Любитель математики 1501 / 1010 / 288 Регистрация: 27.01.2014 Сообщений: 3,371
	08.11.2020, 17:35
	Stepashka20, x -- вещественное число! 2

@Stepashka20 6 / 5 / 1 Регистрация: 27.06.2017 Сообщений: 249
	08.11.2020, 17:37 [ТС]
	angor6, то есть так? $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P_{1} = \{ P:ax+b;a,b\in \mathbb{Z},x \in \mathbb{R} \}$ 0

@angor6 Любитель математики 1501 / 1010 / 288 Регистрация: 27.01.2014 Сообщений: 3,371
	08.11.2020, 17:45
	Stepashka20, по-моему, для записи многочленов существуют стандартные обозначения типа $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P_0(x)=a_0,$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P_1(x)=a_1x+a_0.$ 0

@angor6 Любитель математики 1501 / 1010 / 288 Регистрация: 27.01.2014 Сообщений: 3,371
	08.11.2020, 18:37
	3D Homer, по условию a, b -- целые коэффициенты. 1

@angor6 Любитель математики 1501 / 1010 / 288 Регистрация: 27.01.2014 Сообщений: 3,371
	08.11.2020, 18:44
	Stepashka20, кстати, слово "докажите" в задании представляется мне не вписывающимся в контекст. Скорее всего, там должно быть слово "проверьте". 1