Сколько комбинаций можно составить из цифр?

@teatralaik · Регистрация: 25.08.2016

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Добрый день!
Сколько M-значных комбинаций можно составить из N цифр, таким образом, чтобы если комбинцации отсортировать, то они бы не повторялись.
Например: 3-значных чисел из 3 цифр можно составить 27, но не повторяющихся в отсортированном порядке только 10:
111
112
113
122
123
133
222
223
233
333
Как вычислисть для произвольных M и N?

@jogano · 10.05.2019, 01:22

Схема шаров и урн. Урн N, шаров M. Попадание шара в i-ю урну означает цифру i в числе. Несколько шаров в этой урне означает несколько подряд следующих цифр iii в числе. Урны могут быть пустыми (каких-то цифр может не быть в комбинации цифр числа). Например, число 223 в такой схеме записывается как |00|0 (единиц нет = первая урна пустая, две двойки = два шара во второй урне, одна тройка = один шар в третьей урне).
А это известная задача с ответом $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_{M+N-1}^{N-1}$

@teatralaik · 10.05.2019, 01:58 **[ТС]**

Спасибо!
А что делать, если на каких то позициях в комбинациях может быть произвольный диапазон цифр, например на первой позиции - 1-3, на второй 1-2 и на третьей 1-2. Путем подсчета получил 7 из 12:
111
112
212
222
311
312
322
А как с помощью формул?

@jogano · 10.05.2019, 03:42

Сообщение от teatralaik

А как с помощью формул?

Пока никак, так как в посте #3 вы не дали этих диапазонов в буквенным виде. А нет букв - нет и формул.

Сообщение от teatralaik

212

А может, 122 на этом месте?

Добавлено через 1 час 13 минут
По сути, вам нужно знать, на скольких местах может располагаться каждая цифра. В вашем примере "1" на 3-х местах, "2" на 3-й местах и "3" на одном месте (не важно, на каком).
Я делал когда-то такую задачу (в переводе на шары-урны): сколько существует целочисленных векторов $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(x_1,x_2,...,x_N \right): \: x_i =\bar{0;m}, \: \sum_{i=1}^{N}x_i=M$ , если применять ваши обозначения М и N. Но здесь ограничение для всех хi одно и то же = m, а у вас разные.
Если ограничение одно и то же, что ответ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{j=0}^{\left[\frac{M}{m+1} \right]}C_N^jC_{M-j\left(m+1 \right)+N-1}^{N-1}$ . А если ограничения разные, то формула будет многоэтажной и нет возможности записать её сюда. Вместо вычитания во втором С выражения j(m+1) будет вычитание суммы j скобок вида $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(m_i+1 \right)$ - для j=0 ничего не вычитается, при j=1 вместо множителя $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_N^1$ будет сумма N разных С, где в каждом будет вычитаться своя скобка $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(m_i+1 \right)$ , при j=2 вместо множителя $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_N^2$ при втором С будет сумма этих вторых С, в нижнем индексе которых будет вычитаться по 2 скобки вида $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(m_i+1 \right)$ и так далее, пока во втором С нижний индекс не меньше верхнего... Запутано, наверное.... В вашем случае вычисления дают такое:
при j=0 $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_{3+3-1}^{3-1}=10$ , то есть ответ исходной задачи.
при j=1 идут слагаемые $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-C_{3-4+3-1}^{3-1}-C_{3-4+3-1}^{3-1}-C_{3-2+3-1}^{3-1}$ . Первое и второе слагаемые не существуют, третье равно $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-C_3^2=-3$
при j=2 и больше все слагаемые не существуют: если пытаться от суммы M+N-1=5 вычитать пары скобок вида $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(m_i+1 \right)$ , то есть или -4-4, или -4-2, или -4-2, то нижний индекс бин. коэфф. будет меньше верхнего, что невозможно.
Итак, 10-3=7, то есть ваш ответ.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
SDL3 для Web (WebAssembly): Обработчик клика мыши в браузере ПК и касания экрана в браузере на мобильном устройстве 8Observer8 02.02.2026 Содержание блога Для начала пошагово создадим рабочий пример для подготовки к экспериментам в браузере ПК и в браузере мобильного устройства. Потом напишем обработчик клика мыши и обработчик. . .	Философия технологии iceja 01.02.2026 На мой взгляд у человека в технических проектах остается роль генерального директора. Все остальное нейронки делают уже лучше человека. Они не могут нести предпринимательские риски, не могут. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Вывод текста со шрифтом TTF с помощью SDL3_ttf 8Observer8 01.02.2026 Содержание блога В этой пошаговой инструкции создадим с нуля веб-приложение, которое выводит текст в окне браузера. Запустим на Android на локальном сервере. Загрузим Release на бесплатный. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Сборка C/C++ проекта из консоли 8Observer8 30.01.2026 Содержание блога Если вы откроете примеры для начинающих на официальном репозитории SDL3 в папке: examples, то вы увидите, что все примеры используют следующие четыре обязательные функции, а. . .
SDL3 для Web (WebAssembly): Установка Emscripten SDK (emsdk) и CMake для сборки C и C++ приложений в Wasm 8Observer8 30.01.2026 Содержание блога Для того чтобы скачать Emscripten SDK (emsdk) необходимо сначало скачать и уставить Git: Install for Windows. Следуйте стандартной процедуре установки Git через установщик. . . .	SDL3 для Android: Подключение Box2D v3, физика и отрисовка коллайдеров 8Observer8 29.01.2026 Содержание блога Box2D - это библиотека для 2D физики для анимаций и игр. С её помощью можно определять были ли коллизии между конкретными объектами. Версия v3 была полностью переписана на Си, в. . .	Инструменты COM: Сохранение данный из VARIANT в файл и загрузка из файла в VARIANT bedvit 28.01.2026 Сохранение базовых типов COM и массивов (одномерных или двухмерных) любой вложенности (деревья) в файл, с возможностью выбора алгоритмов сжатия и шифрования. Часть библиотеки BedvitCOM Использованы. . .	SDL3 для Android: Загрузка PNG с альфа-каналом с помощью SDL_LoadPNG (без SDL3_image) 8Observer8 28.01.2026 Содержание блога SDL3 имеет собственные средства для загрузки и отображения PNG-файлов с альфа-каналом и базовой работы с ними. В этой инструкции используется функция SDL_LoadPNG(), которая. . .

@teatralaik 4 / 4 / 5 Регистрация: 25.08.2016 Сообщений: 44

	Сколько комбинаций можно составить из цифр? 10.05.2019, 00:34. Показов 2763. Ответов 3 Метки нет (Все метки) Добрый день! Сколько M-значных комбинаций можно составить из N цифр, таким образом, чтобы если комбинцации отсортировать, то они бы не повторялись. Например: 3-значных чисел из 3 цифр можно составить 27, но не повторяющихся в отсортированном порядке только 10: 111 112 113 122 123 133 222 223 233 333 Как вычислисть для произвольных M и N? 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	10.05.2019, 01:22
	Схема шаров и урн. Урн N, шаров M. Попадание шара в i-ю урну означает цифру i в числе. Несколько шаров в этой урне означает несколько подряд следующих цифр iii в числе. Урны могут быть пустыми (каких-то цифр может не быть в комбинации цифр числа). Например, число 223 в такой схеме записывается как \|00\|0 (единиц нет = первая урна пустая, две двойки = два шара во второй урне, одна тройка = один шар в третьей урне). А это известная задача с ответом $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_{M+N-1}^{N-1}$ 1

@teatralaik 4 / 4 / 5 Регистрация: 25.08.2016 Сообщений: 44
	10.05.2019, 01:58 [ТС]
	Спасибо! А что делать, если на каких то позициях в комбинациях может быть произвольный диапазон цифр, например на первой позиции - 1-3, на второй 1-2 и на третьей 1-2. Путем подсчета получил 7 из 12: 111 112 212 222 311 312 322 А как с помощью формул? 0