Численное интегрирование (метод трапеций). Как гарантировать нужную точность?

@Arukasa · Регистрация: 06.01.2013

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

C++
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
#include <cmath>
#include <iostream>
#define PI 3.1415926535
 
/*----подинтегральная функция---*/
static double INTEGR(const double& x)
{
    return exp(-(x*x)/2) ;
}
 
/*----Интегрирование методом трапеции---*/
static double Trapez(const double& left, const double& right, const double& h)
{
    double sum = 0;
    double runner;
 
    /*Формула трапеции*/
    for(runner = left + h; runner < right; runner += h)
    {
        sum += INTEGR(runner) ;
    }
 
    sum = (sum +  0.5*(INTEGR(left) + INTEGR(right)) ) * h;
 
    return sum * 1 / sqrt(2 * PI);
}
 
int main(int argc, char ** argv)
{
    setlocale(LC_ALL, "Russian");
 
    double a, b;
    double h;
 
    std::cout << "Нижнее значение интеграла: " ;
    std::cin >> a;
    std::cout << "Верхнее значение интеграла: ";
    std::cin >> b;
    std::cout << "Шаг интегрирования: ";
    std::cin >> h;
 
    std::cout <<"Ответ по методу трапеции: " << Trapez(a, b, h) << std::endl; 
 
    return 0;
}

Как гарантировать точность допустим 1e-6 ?

Добавлено через 2 часа 56 минут
up~

@IrineK · 16.06.2014, 23:28

Точность зависит от квадрата шага (ф-ла Котеса).

Самый простой способ:

1) Определяем интеграл I1 с шагом h.
2) Определяем интеграл I2 с шагом h = h/2.
3) Проверяем |I1 - I2| < e. Если нет, то I1 = I2. Переходим на п 2)

Т.е. дробим шаг пока не добьемся нужной точности.

@Arukasa · 17.06.2014, 12:46 **[ТС]**

Спасибо !

А можете на каком нибудь примере показать ?

Добавлено через 12 часов 5 минут

C++
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <iomanip>
#define PI 3.1415926535
 
/*----подинтегральная функция---*/
static double INTEGR(const double& x)
{
    return exp(-(x*x)/2) ;
}
 
/*----Интегрирование методом трапеции---*/
static double Trapez(const double& left, const double& right, const double& h)
{
    double sum = 0;
    double runner;
 
    /*Формула трапеции*/
    for(runner = left + h; runner < right; runner += h)
    {
        sum += INTEGR(runner) ;
    }
 
    sum = (sum +  0.5*(INTEGR(left) + INTEGR(right)) ) * h;
 
    return sum * 1 / sqrt(2 * PI);
}
 
int main(int argc, char ** argv)
{
    setlocale(LC_ALL, "Russian");
 
    double a, b;
    double h;
 
    std::cout << "Нижнее значение интеграла: " ;
    std::cin >> a;
    std::cout << "Верхнее значение интеграла: ";
    std::cin >> b;
    //std::cout << "Шаг интегрирования: ";
    //std::cin >> h;
    std::cout << std::endl; 
 
    h = 1;
 
    while (abs(Trapez(a, b, h) - Trapez(a, b, h / 2)) > 1e-6)
    {
        h  /= 2;
    }
 
    std::cout << "Шаг интегрирования: " << h << " Гарантирует точность " << 1e-5 <<std::endl;
    std::cout << "Ответ :" << std::fixed << std::setprecision(6) << Trapez(a, b, h) << std::endl;
 
    return 0;
}

Я правильно вас понял?

@IrineK · 17.06.2014, 14:34

Не abs, а fabs

@Arukasa · 17.06.2014, 17:16 **[ТС]**

Это да, спасибо Вам большое !

@Arukasa · 29.06.2014, 14:34 **[ТС]**

C++
1
2
3
4
while (abs((Trapez(a, b, h) - Trapez(a, b, h / 2)) / 3) > 1e-6)
    {
        h  /= 2;
    }

Еще правильнее будет вот так

@IrineK · 29.06.2014, 23:11

Не abs, а fabs.

@Arukasa · 29.06.2014, 23:29 **[ТС]**

))

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
SDL3 для Web (WebAssembly): Синхронизация спрайтов SDL3 и тел Box2D 8Observer8 04.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере. Итоговый код: finish-sync-physics-sprites-sdl3-c. zip На первой гифке отладочные линии отключены, а на второй включены:. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Идентификация объектов на Box2D v3 - использование userData и событий коллизий 8Observer8 02.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере. Итоговый код: finish-collision-events-sdl3-c. zip https:/ / www. cyberforum. ru/ blog_attachment. php?attachmentid=11680&d=1772460536 Одним из. . .	Реалии Hrethgir 01.03.2026 Нет, я не закончил до сих пор симулятор. Эта задача сложнее. Не получилось уйти в плавсостав, но оно и к лучшему, возможно. Точнее получалось - но сварщиком в палубную команду, а это значит, в моём. . .	Ритм жизни kumehtar 27.02.2026 Иногда приходится жить в ритме, где дел становится всё больше, а вовлечения в происходящее — всё меньше. Плотный график не даёт вниманию закрепиться ни на одном событии. Утро начинается с быстрых,. . .
SDL3 для Web (WebAssembly): Сборка библиотек: SDL3, Box2D, FreeType, SDL3_ttf, SDL3_mixer и SDL3_image из исходников с помощью CMake и Emscripten 8Observer8 27.02.2026 Недавно вышла версия 3. 4. 2 библиотеки SDL3. На странице официальной релиза доступны исходники, готовые DLL (для x86, x64, arm64), а также библиотеки для разработки под Android, MinGW и Visual Studio. . . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Реализация движения на Box2D v3 - трение и коллизии с повёрнутыми стенами 8Observer8 20.02.2026 Содержание блога Box2D позволяет легко создать главного героя, который не проходит сквозь стены и перемещается с заданным трением о препятствия, которые можно располагать под углом, как верхнее. . .	Конвертировать закладки radiotray-ng в m3u-плейлист damix 19.02.2026 Это можно сделать скриптом для PowerShell. Использование . \СonvertRadiotrayToM3U. ps1 <path_to_bookmarks. json> Рядом с файлом bookmarks. json появится файл bookmarks. m3u с результатом. # Check if. . .	Семь CDC на одном интерфейсе: 5 U[S]ARTов, 1 CAN и 1 SSI Eddy_Em 18.02.2026 Постепенно допиливаю свою "многоинтерфейсную плату". Выглядит вот так: https:/ / www. cyberforum. ru/ blog_attachment. php?attachmentid=11617&stc=1&d=1771445347 Основана на STM32F303RBT6. На борту пять. . .

@IrineK 2023 / 1641 / 425 Регистрация: 23.02.2011 Сообщений: 6,002 Записей в блоге: 25
	16.06.2014, 23:28
	Сообщение было отмечено Arukasa как решение Решение Точность зависит от квадрата шага (ф-ла Котеса). Самый простой способ: 1) Определяем интеграл I1 с шагом h. 2) Определяем интеграл I2 с шагом h = h/2. 3) Проверяем \|I1 - I2\| < e. Если нет, то I1 = I2. Переходим на п 2) Т.е. дробим шаг пока не добьемся нужной точности. 2

@IrineK 2023 / 1641 / 425 Регистрация: 23.02.2011 Сообщений: 6,002 Записей в блоге: 25
	17.06.2014, 14:34
	Не abs, а fabs 0

@Arukasa 3 / 3 / 3 Регистрация: 06.01.2013 Сообщений: 29
	17.06.2014, 17:16 [ТС]
	Это да, спасибо Вам большое ! 0

@IrineK 2023 / 1641 / 425 Регистрация: 23.02.2011 Сообщений: 6,002 Записей в блоге: 25
	29.06.2014, 23:11
	Не abs, а fabs. 0

@Arukasa 3 / 3 / 3 Регистрация: 06.01.2013 Сообщений: 29
	29.06.2014, 23:29 [ТС]
	)) 0

Численное интегрирование (метод трапеций). Как гарантировать нужную точность?

Решение