Форум программистов, компьютерный форум, киберфорум
С++ для начинающих
Войти
Регистрация
Восстановить пароль
 
Рейтинг 4.98/41: Рейтинг темы: голосов - 41, средняя оценка - 4.98
6 / 2 / 1
Регистрация: 18.11.2012
Сообщений: 64
1

Численное дифференцирование основанное на методе Лагранжа

30.11.2014, 00:38. Показов 7784. Ответов 8
Метки нет (Все метки)

Подскажите, пожалуйста, как реализовать программу которая осуществляет численное дифференцирование методом Лагранж.

На вход программе идут 2 массива (в моем случае, они задаются в самом коде, и точка, в которой мы находим дифференциал).
Например: Допустим что дифференцирование у нас осуществляется с помощью многочленов 2 степени(следовательно x имеет 3 аргумента (пусть это x=(-1, 0, 3))) функции:
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2x^2-x+3.
Тогда y=(6,3,18) (просто подставили значения x в функцию).
Далее я, просто, в своей программе, выполняю интерполяцию методом Лагранжа и в ответе получаю: https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?4
А на самом деле, если мы просто найдем производную (т.е. продифференцируем), т.е.: https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(2x^2-x+3)'=4x-1
Подставив значение 1, получаю: https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?3. Ответы не совпадают!

C++ (Qt)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
#include <iostream>
#include "conio.h"
 
// таблица из книги по вычислительной математике 
 
float x[3] = { -1, 0, 3};
float y[3] = { 6, 3, 18};
 
/* Функция, вычисляющая коэффициенты Лагранжа
x - аргумент функции
n - степень многочлена (или число x-ов)
i - номер узла
*/
 
float L(float xp, int n, int i) {
    // числитель и знаменатель 
    float Chesl;
    float Znam;
 
    Chesl = 1; Znam = 1;
 
    int k;
    // вычисление числителя
    for (k = 0; k != n; k++) {
 
        if (k == i) continue;
        // убираем множитель x - x(i)
        Chesl *= xp - x[k];
    }
    // вычисление знаменателя
    for (k = 0; k != n; k++) {
 
        if (x[i] == x[k]) continue;
        // убираем, а то ноль в знаменателе
 
        Znam *= x[i] - x[k];
    }
 
 
    return Chesl / Znam;
 
}
int main(int argc, char* argv[])
{
 
    // вычисляем степень полинома
    int n = sizeof(y) / sizeof(float);
    float R = 0;
 
    // произвольная точка для проверки 
    float px = 1;
 
    // вычисляем значение интерполяционного многочлена 
    for (int i = 0; i != n; i++) {
 
        R += y[i] * L(px, n, i);
    }
 
    std::cout << "Result: " << R<< '\n';
 
    // вывод результата
    system("pause");
}
0

Помощь в написании контрольных, курсовых и дипломных работ здесь.

Programming
Эксперт
94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
30.11.2014, 00:38
Ответы с готовыми решениями:

Численное дифференцирование c интерполяционной формулой Лагранжа
Численное дифференцирование c помощью интерполяционной формулы Лагранжа в программе Mathcad Найти...

Численное дифференцирование с помощью интерполяционных формул Лагранжа
Найти значение производной функции y=f(x), заданной на отрезке с помощью многочлена Лагранжа...

Численное дифференцирование с использованием интерполяционных формул Лагранжа в MC Excel
Найти значение произвольной функции y=f(x), заданной на отрезке с помощью многочлена Лагранжа...

Задание на тему Численное Интегрирование и Численное Дифференцирование
Прошу помощи с этими двумя заданиями. В обоих 21 вариант. Прилагаю контрольные примеры к ним.

8
4492 / 2112 / 266
Регистрация: 01.03.2013
Сообщений: 5,602
Записей в блоге: 22
30.11.2014, 01:45 2
Код не читал - если нет представления что надо сделать, любые буквы кода бессмысленны. Вам надо на бумажке раз прорешать один пример.
0
341 / 341 / 331
Регистрация: 02.10.2014
Сообщений: 666
30.11.2014, 12:05 3
Лучший ответ Сообщение было отмечено Шляпа как решение

Решение

https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{P}_{n}(x) = \sum_{i=0}^{n}{y}_{i}\left(\prod_{\begin{matrix}<br />
j=0\\ <br />
j\neq i<br />
\end{matrix}}^{n}\frac{(x-{x}_{j})}{({x}_{i}-{x}_{j})} \right)
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{P'}_{n}(x) = \sum_{i=0}^{n}{y}_{i}\left(\sum_{\begin{matrix}<br />
j=0\\ <br />
j\neq i<br />
\end{matrix}}^{n}\frac{1}{{x}_{i}-{x}_{j}} \left(\prod_{\begin{matrix}<br />
k=0\\ <br />
k\neq j\\ <br />
k\neq i<br />
\end{matrix}}^{n}\frac{x-{x}_{k}}{{x}_{i}-{x}_{k}} \right)\right)

Код на С++
C++
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
#include <iostream>
#include <iomanip>
 
using namespace std;
 
double f(double x){//äëÿ ïðîâåðêè, ÷òîáû íå ââîäèòü ìàññèâû
    return 2*x*x - x + 3;
}
 
double df(double x){//äëÿ ïðîâåðêè
    return 4*x - 1;
}
 
double L(double x, int n, double x_arr[], double y_arr[]){
    
    double sum = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i){
        
        double l = 1;
        for (int j = 0; j < n; ++j)
            if (j != i)
                l *= (x - x_arr[j]) / (x_arr[i] - x_arr[j]);
        sum += y_arr[i] * l;
    }
    
    return sum;
}
 
double dL(double x, int n, double x_arr[], double y_arr[]){
    
    double sum1 = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i){
        
        double sum2 = 0;
        for (int j = 0; j < n; ++j){
            if (j != i){
                double p = 1;
                for (int k = 0; k < n; ++k)
                    if (k != i && k != j)
                        p *= (x - x_arr[k]) / (x_arr[i] - x_arr[k]);                    
                sum2 += p/(x_arr[i] - x_arr[j]);
            }           
        }
        sum1 += y_arr[i]*sum2;
    }
    
    return sum1;
}
 
int main(){
    
    const int N = 3;
    
    double x_arr[N], y_arr[N];
    for (int i = 0; i < N; ++i){
        x_arr[i] = 2*i;
        y_arr[i] = f(x_arr[i]);
    }
    
    cout << setw(3) << "x";
    cout << setw(10) << "f(x)";
    cout << setw(10) << "L(x)";
    cout << setw(10) << "df(x)";
    cout << setw(10) << "dL(x)" << endl;
        
    for (int i = 0; i < 20; ++i){
        double x = i;
        cout << setw(3) << x;
        cout << setw(10) << setprecision(6) << f(x);
        cout << setw(10) << setprecision(6) << L(x, N, x_arr, y_arr);
        cout << setw(10) << setprecision(6) << df(x);       
        cout << setw(10) << setprecision(6) << dL(x, N, x_arr, y_arr);
        cout << endl;
    }   
}
2
6 / 2 / 1
Регистрация: 18.11.2012
Сообщений: 64
30.11.2014, 23:16  [ТС] 4
Как я понял f и df вы ввели для проверки, т.е. вы просто последоват. подставляете значения от 0 до 20 и вычисляете f и df. Те же значения вы подставляете в L и dL, но не могу разобраться как же все таки мне вместо функции задать таблицу (2 массива).

Добавлено через 32 секунды
Или я что-то неправильно понял
0
6 / 2 / 1
Регистрация: 18.11.2012
Сообщений: 64
30.11.2014, 23:28  [ТС] 5
Численное дифференцирование основанное на методе Лагранжа
0
341 / 341 / 331
Регистрация: 02.10.2014
Сообщений: 666
01.12.2014, 10:58 6
Лучший ответ Сообщение было отмечено Шляпа как решение

Решение

Я решил задачу в общем виде, не только для N = 3, вот Ваш вариант:
Код на С++
C++
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
#include <iostream>
#include <iomanip>
 
using namespace std;
 
double f(double x){//äëÿ ïðîâåðêè, ÷òîáû íå ââîäèòü ìàññèâû
    return 2*x*x - x + 3;
}
 
double df(double x){//äëÿ ïðîâåðêè
    return 4*x - 1;
}
 
double L(double x, int n, double x_arr[], double y_arr[]){
    
    double sum = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i){
        
        double l = 1;
        for (int j = 0; j < n; ++j)
            if (j != i)
                l *= (x - x_arr[j]) / (x_arr[i] - x_arr[j]);
        sum += y_arr[i] * l;
    }
    
    return sum;
}
 
double dL(double x, int n, double x_arr[], double y_arr[]){
    
    double sum1 = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i){
        
        double sum2 = 0;
        for (int j = 0; j < n; ++j){
            if (j != i){
                double p = 1;
                for (int k = 0; k < n; ++k)
                    if (k != i && k != j)
                        p *= (x - x_arr[k]) / (x_arr[i] - x_arr[k]);                    
                sum2 += p/(x_arr[i] - x_arr[j]);
            }           
        }
        sum1 += y_arr[i]*sum2;
    }
    
    return sum1;
}
 
int main(){
    
    const int N = 3;
    
    double x_arr[N] = {-1, 0, 3};
    double y_arr[N] = {6, 3, 18};
    
    cout << setw(3) << "x";
    cout << setw(10) << "f(x)";
    cout << setw(10) << "L(x)";
    cout << setw(10) << "df(x)";
    cout << setw(10) << "dL(x)" << endl;
        
    for (int i = 0; i < 20; ++i){
        double x = i;
        cout << setw(3) << x;
        cout << setw(10) << setprecision(6) << f(x);
        cout << setw(10) << setprecision(6) << L(x, N, x_arr, y_arr);
        cout << setw(10) << setprecision(6) << df(x);       
        cout << setw(10) << setprecision(6) << dL(x, N, x_arr, y_arr);
        cout << endl;
    }   
}
2
6 / 2 / 1
Регистрация: 18.11.2012
Сообщений: 64
02.12.2014, 17:13  [ТС] 7
Стоп, это разве не одно и тоже, вроде ничего не поменялось и еще, мы же дифференциал находим в какой-то определенной точке не могу найти где это точка у вас задана
0
341 / 341 / 331
Регистрация: 02.10.2014
Сообщений: 666
02.12.2014, 17:25 8
Лучший ответ Сообщение было отмечено Шляпа как решение

Решение

Цитата Сообщение от Шляпа Посмотреть сообщение
но не могу разобраться как же все таки мне вместо функции задать таблицу (2 массива)
ответ теперь в строках 54 и 55
C++
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
//строка 14
double L(double x, int n, double x_arr[], double y_arr[]){//Это приближенное значение функции
    
    double sum = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i){
        
        double l = 1;
        for (int j = 0; j < n; ++j)
            if (j != i)
                l *= (x - x_arr[j]) / (x_arr[i] - x_arr[j]);
        sum += y_arr[i] * l;
    }
    
    return sum;
}
//строка 29
double dL(double x, int n, double x_arr[], double y_arr[]){//Это приближенное значение производной
    
    double sum1 = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i){
        
        double sum2 = 0;
        for (int j = 0; j < n; ++j){
            if (j != i){
                double p = 1;
                for (int k = 0; k < n; ++k)
                    if (k != i && k != j)
                        p *= (x - x_arr[k]) / (x_arr[i] - x_arr[k]);                    
                sum2 += p/(x_arr[i] - x_arr[j]);
            }           
        }
        sum1 += y_arr[i]*sum2;
    }
    
    return sum1;
}
double dL(double x, int n, double x_arr[], double y_arr[])

В самой программе я вычисляю значение производной в 20-ти точках
Похоже Вы это уже видели:
Цитата Сообщение от Шляпа Посмотреть сообщение
т.е. вы просто последоват. подставляете значения от 0 до 20
строка 64
Цитата Сообщение от D_in_practice Посмотреть сообщение
double x = i;
2
6 / 2 / 1
Регистрация: 18.11.2012
Сообщений: 64
03.12.2014, 15:05  [ТС] 9
Отлично! Разобрался. Еще раз, огромное спасибо!
0
IT_Exp
Эксперт
87844 / 49110 / 22898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 92,604
03.12.2014, 15:05

Численное дифференцирование
Вычислить первую и вторую производную от таблично заданной функции yi=f(xi) i=0,1,2,3,4 в точке...

Численное дифференцирование
Помогите пожалуйста)застрял на месте где нужно вычислить погрешность(с эпсилон).Он ругается на...

численное дифференцирование
интерполяционных: 1)формулы Ньютона; 2)формула Гаусса; 3)формула Стирлинга; 4)формула Бесселя....

Численное дифференцирование
Здрастуйте! Помогите решить задачу. Не могу понять условие. Вот скрин.


Искать еще темы с ответами

Или воспользуйтесь поиском по форуму:
9
Ответ Создать тему
Опции темы

КиберФорум - форум программистов, компьютерный форум, программирование
Powered by vBulletin® Version 3.8.9
Copyright ©2000 - 2021, vBulletin Solutions, Inc.