Численное дифференцирование основанное на методе Лагранжа

@Шляпа · Регистрация: 18.11.2012

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Подскажите, пожалуйста, как реализовать программу которая осуществляет численное дифференцирование методом Лагранж.

На вход программе идут 2 массива (в моем случае, они задаются в самом коде, и точка, в которой мы находим дифференциал).
Например: Допустим что дифференцирование у нас осуществляется с помощью многочленов 2 степени(следовательно x имеет 3 аргумента (пусть это x=(-1, 0, 3))) функции:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2x^2-x+3$ .
Тогда y=(6,3,18) (просто подставили значения x в функцию).
Далее я, просто, в своей программе, выполняю интерполяцию методом Лагранжа и в ответе получаю: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?4$
А на самом деле, если мы просто найдем производную (т.е. продифференцируем), т.е.: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(2x^2-x+3)'=4x-1$
Подставив значение 1, получаю: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?3$ . Ответы не совпадают!

C++ (Qt)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
#include <iostream>
#include "conio.h"
 
// таблица из книги по вычислительной математике 
 
float x[3] = { -1, 0, 3};
float y[3] = { 6, 3, 18};
 
/* Функция, вычисляющая коэффициенты Лагранжа
x - аргумент функции
n - степень многочлена (или число x-ов)
i - номер узла
*/
 
float L(float xp, int n, int i) {
    // числитель и знаменатель 
    float Chesl;
    float Znam;
 
    Chesl = 1; Znam = 1;
 
    int k;
    // вычисление числителя
    for (k = 0; k != n; k++) {
 
        if (k == i) continue;
        // убираем множитель x - x(i)
        Chesl *= xp - x[k];
    }
    // вычисление знаменателя
    for (k = 0; k != n; k++) {
 
        if (x[i] == x[k]) continue;
        // убираем, а то ноль в знаменателе
 
        Znam *= x[i] - x[k];
    }
 
 
    return Chesl / Znam;
 
}
int main(int argc, char* argv[])
{
 
    // вычисляем степень полинома
    int n = sizeof(y) / sizeof(float);
    float R = 0;
 
    // произвольная точка для проверки 
    float px = 1;
 
    // вычисляем значение интерполяционного многочлена 
    for (int i = 0; i != n; i++) {
 
        R += y[i] * L(px, n, i);
    }
 
    std::cout << "Result: " << R<< '\n';
 
    // вывод результата
    system("pause");
}

@_Ivana · 30.11.2014, 01:45

Код не читал - если нет представления что надо сделать, любые буквы кода бессмысленны. Вам надо на бумажке раз прорешать один пример.

@D_in_practice · 30.11.2014, 12:05

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{P}_{n}(x) = \sum_{i=0}^{n}{y}_{i}\left(\prod_{\begin{matrix} j=0\\ j\neq i \end{matrix}}^{n}\frac{(x-{x}_{j})}{({x}_{i}-{x}_{j})} \right)$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{P'}_{n}(x) = \sum_{i=0}^{n}{y}_{i}\left(\sum_{\begin{matrix} j=0\\ j\neq i \end{matrix}}^{n}\frac{1}{{x}_{i}-{x}_{j}} \left(\prod_{\begin{matrix} k=0\\ k\neq j\\ k\neq i \end{matrix}}^{n}\frac{x-{x}_{k}}{{x}_{i}-{x}_{k}} \right)\right)$

Код на С++

C++
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
#include <iostream>
#include <iomanip>
 
using namespace std;
 
double f(double x){//äëÿ ïðîâåðêè, ÷òîáû íå ââîäèòü ìàññèâû
    return 2*x*x - x + 3;
}
 
double df(double x){//äëÿ ïðîâåðêè
    return 4*x - 1;
}
 
double L(double x, int n, double x_arr[], double y_arr[]){
    
    double sum = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i){
        
        double l = 1;
        for (int j = 0; j < n; ++j)
            if (j != i)
                l *= (x - x_arr[j]) / (x_arr[i] - x_arr[j]);
        sum += y_arr[i] * l;
    }
    
    return sum;
}
 
double dL(double x, int n, double x_arr[], double y_arr[]){
    
    double sum1 = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i){
        
        double sum2 = 0;
        for (int j = 0; j < n; ++j){
            if (j != i){
                double p = 1;
                for (int k = 0; k < n; ++k)
                    if (k != i && k != j)
                        p *= (x - x_arr[k]) / (x_arr[i] - x_arr[k]);                    
                sum2 += p/(x_arr[i] - x_arr[j]);
            }           
        }
        sum1 += y_arr[i]*sum2;
    }
    
    return sum1;
}
 
int main(){
    
    const int N = 3;
    
    double x_arr[N], y_arr[N];
    for (int i = 0; i < N; ++i){
        x_arr[i] = 2*i;
        y_arr[i] = f(x_arr[i]);
    }
    
    cout << setw(3) << "x";
    cout << setw(10) << "f(x)";
    cout << setw(10) << "L(x)";
    cout << setw(10) << "df(x)";
    cout << setw(10) << "dL(x)" << endl;
        
    for (int i = 0; i < 20; ++i){
        double x = i;
        cout << setw(3) << x;
        cout << setw(10) << setprecision(6) << f(x);
        cout << setw(10) << setprecision(6) << L(x, N, x_arr, y_arr);
        cout << setw(10) << setprecision(6) << df(x);       
        cout << setw(10) << setprecision(6) << dL(x, N, x_arr, y_arr);
        cout << endl;
    }   
}

@Шляпа · 30.11.2014, 23:16 **[ТС]**

Как я понял f и df вы ввели для проверки, т.е. вы просто последоват. подставляете значения от 0 до 20 и вычисляете f и df. Те же значения вы подставляете в L и dL, но не могу разобраться как же все таки мне вместо функции задать таблицу (2 массива).

Добавлено через 32 секунды
Или я что-то неправильно понял

@Шляпа · 30.11.2014, 23:28 **[ТС]**

Численное дифференцирование основанное на методе Лагранжа

@D_in_practice · 01.12.2014, 10:58

Я решил задачу в общем виде, не только для N = 3, вот Ваш вариант:

Код на С++

C++
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
#include <iostream>
#include <iomanip>
 
using namespace std;
 
double f(double x){//äëÿ ïðîâåðêè, ÷òîáû íå ââîäèòü ìàññèâû
    return 2*x*x - x + 3;
}
 
double df(double x){//äëÿ ïðîâåðêè
    return 4*x - 1;
}
 
double L(double x, int n, double x_arr[], double y_arr[]){
    
    double sum = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i){
        
        double l = 1;
        for (int j = 0; j < n; ++j)
            if (j != i)
                l *= (x - x_arr[j]) / (x_arr[i] - x_arr[j]);
        sum += y_arr[i] * l;
    }
    
    return sum;
}
 
double dL(double x, int n, double x_arr[], double y_arr[]){
    
    double sum1 = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i){
        
        double sum2 = 0;
        for (int j = 0; j < n; ++j){
            if (j != i){
                double p = 1;
                for (int k = 0; k < n; ++k)
                    if (k != i && k != j)
                        p *= (x - x_arr[k]) / (x_arr[i] - x_arr[k]);                    
                sum2 += p/(x_arr[i] - x_arr[j]);
            }           
        }
        sum1 += y_arr[i]*sum2;
    }
    
    return sum1;
}
 
int main(){
    
    const int N = 3;
    
    double x_arr[N] = {-1, 0, 3};
    double y_arr[N] = {6, 3, 18};
    
    cout << setw(3) << "x";
    cout << setw(10) << "f(x)";
    cout << setw(10) << "L(x)";
    cout << setw(10) << "df(x)";
    cout << setw(10) << "dL(x)" << endl;
        
    for (int i = 0; i < 20; ++i){
        double x = i;
        cout << setw(3) << x;
        cout << setw(10) << setprecision(6) << f(x);
        cout << setw(10) << setprecision(6) << L(x, N, x_arr, y_arr);
        cout << setw(10) << setprecision(6) << df(x);       
        cout << setw(10) << setprecision(6) << dL(x, N, x_arr, y_arr);
        cout << endl;
    }   
}

@Шляпа · 02.12.2014, 17:13 **[ТС]**

Стоп, это разве не одно и тоже, вроде ничего не поменялось и еще, мы же дифференциал находим в какой-то определенной точке не могу найти где это точка у вас задана

@D_in_practice · 02.12.2014, 17:25

Сообщение от Шляпа

но не могу разобраться как же все таки мне вместо функции задать таблицу (2 массива)

ответ теперь в строках 54 и 55

C++
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
//строка 14
double L(double x, int n, double x_arr[], double y_arr[]){//Это приближенное значение функции
    
    double sum = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i){
        
        double l = 1;
        for (int j = 0; j < n; ++j)
            if (j != i)
                l *= (x - x_arr[j]) / (x_arr[i] - x_arr[j]);
        sum += y_arr[i] * l;
    }
    
    return sum;
}
//строка 29
double dL(double x, int n, double x_arr[], double y_arr[]){//Это приближенное значение производной
    
    double sum1 = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i){
        
        double sum2 = 0;
        for (int j = 0; j < n; ++j){
            if (j != i){
                double p = 1;
                for (int k = 0; k < n; ++k)
                    if (k != i && k != j)
                        p *= (x - x_arr[k]) / (x_arr[i] - x_arr[k]);                    
                sum2 += p/(x_arr[i] - x_arr[j]);
            }           
        }
        sum1 += y_arr[i]*sum2;
    }
    
    return sum1;
}

double dL(double x, int n, double x_arr[], double y_arr[])

В самой программе я вычисляю значение производной в 20-ти точках
Похоже Вы это уже видели:

Сообщение от Шляпа

т.е. вы просто последоват. подставляете значения от 0 до 20

строка 64

Сообщение от D_in_practice

double x = i;

@Шляпа · 03.12.2014, 15:05 **[ТС]**

Отлично! Разобрался. Еще раз, огромное спасибо!

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
PhpStorm 2025.3: WSL Terminal всегда стартует в ~ and_y87 14.12.2025 PhpStorm 2025. 3: WSL Terminal всегда стартует в ~ (home), игнорируя директорию проекта Симптом: После обновления до PhpStorm 2025. 3 встроенный терминал WSL открывается в домашней директории. . .	Access VikBal 11.12.2025 Помогите пожалуйста !! Как объединить 2 одинаковые БД Access с разными данными.	Новый ноутбук volvo 07.12.2025 Всем привет. По скидке в "черную пятницу" взял себе новый ноутбук Lenovo ThinkBook 16 G7 на Амазоне: Ryzen 5 7533HS 64 Gb DDR5 1Tb NVMe 16" Full HD Display Win11 Pro	Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .
Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .	Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .	Ломающие изменения в C#.NStar Alpha Etyuhibosecyu 20.11.2025 Уже можно не только тестировать, но и пользоваться C#. NStar - писать оконные приложения, содержащие надписи, кнопки, текстовые поля и даже изображения, например, моя игра "Три в ряд" написана на этом. . .	Мысли в слух kumehtar 18.11.2025 Кстати, совсем недавно имел разговор на тему медитаций с людьми. И обнаружил, что они вообще не понимают что такое медитация и зачем она нужна. Самые базовые вещи. Для них это - когда просто люди. . .	Создание Single Page Application на фреймах krapotkin 16.11.2025 Статья исключительно для начинающих. Подходы оригинальностью не блещут. В век Веб все очень привыкли к дизайну Single-Page-Application . Быстренько разберем подход "на фреймах". Мы делаем одну. . .

Численное дифференцирование основанное на методе Лагранжа

Решение

Решение

Решение

@_Ivana 4949 / 2289 / 287 Регистрация: 01.03.2013 Сообщений: 5,984 Записей в блоге: 32
	30.11.2014, 01:45
	Код не читал - если нет представления что надо сделать, любые буквы кода бессмысленны. Вам надо на бумажке раз прорешать один пример. 0

@Шляпа 6 / 2 / 1 Регистрация: 18.11.2012 Сообщений: 64
	30.11.2014, 23:16 [ТС]
	Как я понял f и df вы ввели для проверки, т.е. вы просто последоват. подставляете значения от 0 до 20 и вычисляете f и df. Те же значения вы подставляете в L и dL, но не могу разобраться как же все таки мне вместо функции задать таблицу (2 массива). Добавлено через 32 секунды Или я что-то неправильно понял 0

@Шляпа 6 / 2 / 1 Регистрация: 18.11.2012 Сообщений: 64
	30.11.2014, 23:28 [ТС]
	0

@Шляпа 6 / 2 / 1 Регистрация: 18.11.2012 Сообщений: 64
	02.12.2014, 17:13 [ТС]
	Стоп, это разве не одно и тоже, вроде ничего не поменялось и еще, мы же дифференциал находим в какой-то определенной точке не могу найти где это точка у вас задана 0

@Шляпа 6 / 2 / 1 Регистрация: 18.11.2012 Сообщений: 64
	03.12.2014, 15:05 [ТС]
	Отлично! Разобрался. Еще раз, огромное спасибо! 0