Вычисление определённого интеграла методом Симпсона

@triatri3 · Регистрация: 16.11.2016

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Добрый день! Помогите пожалуйста разобраться с кодом вычисления определённого интеграла методом Симпсона. Код взят с этого же форума ( Решение интеграла методом симпсона ), формулу метода Симпсона предлагаю посмотреть здесь (http://www.mathprofi.ru/formul... pecij.html cntr+f и введите " Формула Симпсона для приближенного вычисления определенного интеграла имеет следующий вид: " ) однако я не могу разобраться:

где разбиений интервала? 15 в 15-ой строке?
что это за цикл в цикле? для чего он?
где коэффициенты? вот эти которые 2, 4 и т.д.
I2 в 14-ой строке это вычисление шага, так ведь?

C++
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
double simpson(double a, double b, double e)
{
    double y, x, h, I, I1, I2, I3;
    I2 = 1; h = b - a; I = f(a) + f(b);
    do
    {
        I3 = I2; h = h / 2; I1 = 0; x = a + h;
        do
        {
            I1 = I1 + 2 * f(x);
            x = x + 2 * h;
        } while (x < b);
        I = I + I1;
        I2 = (I + I1)*h / 3;
        x = fabs(I3 - I2) / 15;
    } while (x > e);
    y = I2;
    return y;
}

@Antoniy274 · 21.06.2020, 02:12

Вы уверены, что это метод Симсона? Больше похоже на метод трапеций.

Добавлено через 8 минут
Вот код, где решается задача методом Симсона и всё закомментировано, код не мой, но он понятен и отвечает на все Ваши вопросы.

C++
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;
 
double f(double x)
{
    return sin(x*x+2*x);    
}
 
int main() {
    double a, b, eps;//Нижний и верхний пределы интегрирования (a, b), погрешность (eps).
    cin >> a >> b >> eps;
    double I=eps+1, I1=0;//I-предыдущее вычисленное значение интеграла, I1-новое, с большим N.
    for (int N=2; (N<=4)||(fabs(I1-I)>eps); N*=2)
    {
        double h, sum2=0, sum4=0, sum=0;
        h=(b-a)/(2*N);//Шаг интегрирования.
        for (int i=1; i<=2*N-1; i+=2)
        {   
            sum4+=f(a+h*i);//Значения с нечётными индексами, которые нужно умножить на 4.
            sum2+=f(a+h*(i+1));//Значения с чётными индексами, которые нужно умножить на 2.
        }
        sum=f(a)+4*sum4+2*sum2-f(b);//Отнимаем значение f(b) так как ранее прибавили его дважды. 
        I=I1;
        I1=(h/3)*sum;
    }
    cout << I1 << endl;
    return 0;
}

@TheCalligrapher · 21.06.2020, 08:32

Сообщение от triatri3

где разбиений интервала? 15 в 15-ой строке?

Шаг разбиения - величина h. Количество разбиений нигде не хранится - оно никому не нужно.

Сообщение от triatri3

что это за цикл в цикле? для чего он?

Внутренний цикл вычисляет новые слагаемые (см. ниже) для интегральной суммы метода Симпсона для текущего значения шага h.

Внешний цикл уменьшает шаг h в два раза на каждой итерации (строка 7) и затем внутренний цикл снова вычисляет интеграл методом Симпсона для текущего значения шага h. Это процесс повторяется до тех пор, пока шаг h не станет достаточно маленьким для достижения требуемой точности e. Предыдущее значение интеграла сохраняется в переменной I3, а новое, свежевычисленное значение формируется в переменной I2. Но основе анализа разницы между I3 и I2 в строках 15-16 и принимается решение о том, стоит ли продолжать итерации внешнего цикла, т.е. уменьшать шаг h. (Откуда взялся делитель 15 я не знаю. Скорее всего с потолка).

Благодаря тому, что на каждой итерации внешнего цикла шаг h уменьшается в два раза, количество точек разбиения всегда остается четным, как того и требует метод Симпсона.

Автор кода принял во внимание принципиальный момент: каждая последующая итерация внешнего цикла лишь добавляет новые точки разбиения к уже имеющемуся набору старых точек. Поэтому каждая внешняя итерация может унаследовать и переиспользовать промежуточные результаты предыдущей итерации, вместо того, чтобы каждый раз выполнять все вычисления метода Симпсона с нуля. Для каждого нового значения шага h внутренний цикл выполняет вычисления только для новых точек разбиения, а интегральная сумма для старых точек наследуется с предыдущей итерации внешнего цикла (величина I). Новые точки разбиения чередуются со старыми точками, поэтому внутренний цикл шагает с шагом 2*h (строка 11), чтобы "прыгать" только по новым точкам.

Сообщение от triatri3

где коэффициенты? вот эти которые 2, 4 и т.д.

Коэффициент 2 вы видите в строке 10. Коэффициент 4 получается неявно, если сумму I1, вычисленную внутренним циклом, прибавить в общую интегральную сумму I2 два раза. Именно это двойное прибавление вы и видите в строках 13-14.

Сообщение от triatri3

I2 в 14-ой строке это вычисление шага, так ведь?

Какого еще шага??? I2 в 14 строке - это ваш интеграл, только что вычисленный по методу Симпсона.

---

Я не проверял досконально этот код на корректность. Написано очень неудобочитаемо, дезорганизованно и с использованием странных имен переменных. Идеи автор использовал правильные, а нет ли багов в реализации - не скажу.

@Antoniy274 · 21.06.2020, 14:22

TheCalligrapher, я с Вами согласен, но эта формула в принципе не похожа на метод Симсона. Есть суммирование членов с чётными индексами, а с нечётными нет.

@TheCalligrapher · 21.06.2020, 15:38

Сообщение от Antoniy274

TheCalligrapher, я с Вами согласен, но эта формула в принципе не похожа на метод Симсона. Есть суммирование членов с чётными индексами, а с нечётными нет.

Эта формула - в точности метод Симпсона. Все суммирования в ней есть. Как я ясно написал выше, она суммирует только новые точки (нечетные), а сумма для старых точек (четных) наследуется с предыдущей итерации внешнего цикла в готовом виде.

Каждый раз, когда происходит уменьшение шага, все старые точки автоматически становятся четными, а возникающие между ними новые - нечетными. Так что все тут прекрасно суммируется.

В этом и заключается вся суть грамотной реализации такого метода. Если у вас на каждой итерации внешнего цикла явно суммируются все точки, значит вы занимаетесь ерундой, т.е. зачем-то несколько раз делаете одну и ту же работу.

А то, что она вам кажется "в принципе непохожей" - это ваши личные заблуждения. Смотрите внимательнее, и все увидите.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Модель микоризы: классовый агентный подход 3 anaschu 06.01.2026 aa0a7f55b50dd51c5ec569d2d10c54f6/ O1rJuneU_ls https:/ / vkvideo. ru/ video-115721503_456239114	Owen Logic: О недопустимости использования связки «аналоговый ПИД» + RegKZR ФедосеевПавел 06.01.2026 Owen Logic: О недопустимости использования связки «аналоговый ПИД» + RegKZR ВВЕДЕНИЕ Введу сокращения: аналоговый ПИД — ПИД регулятор с управляющим выходом в виде числа в диапазоне от 0% до. . .	Модель микоризы: классовый агентный подход 2 anaschu 06.01.2026 репозиторий https:/ / github. com/ shumilovas/ fungi ветка по-частям. коммит Create переделка под биомассу. txt вход sc, но sm считается внутри мицелия. кстати, обьем тоже должен там считаться. . . .	Расчёт токов в цепи постоянного тока igorrr37 05.01.2026 / * Дана цепь постоянного тока с сопротивлениями и напряжениями. Надо найти токи в ветвях. Программа составляет систему уравнений по 1 и 2 законам Кирхгофа и решает её. Последовательность действий:. . .
Новый CodeBlocs. Версия 25.03 palva 04.01.2026 Оказывается, недавно вышла новая версия CodeBlocks за номером 25. 03. Когда-то давно я возился с только что вышедшей тогда версией 20. 03. С тех пор я давно снёс всё с компьютера и забыл. Теперь. . .	Модель микоризы: классовый агентный подход anaschu 02.01.2026 Раньше это было два гриба и бактерия. Теперь три гриба, растение. И на уровне агентов добавится между грибами или бактериями взаимодействий. До того я пробовал подход через многомерные массивы,. . .	Советы по крайней бережливости. Внимание, это ОЧЕНЬ длинный пост. Programma_Boinc 28.12.2025 Советы по крайней бережливости. Внимание, это ОЧЕНЬ длинный пост. Налог на собак: https:/ / ********/ gallery/ V06K53e Финансовый отчет в Excel: https:/ / ********/ gallery/ bKBkQFf Пост отсюда. . .	Кто-нибудь знает, где можно бесплатно получить настольный компьютер или ноутбук? США. Programma_Boinc 26.12.2025 Нашел на реддите интересную статью под названием Anyone know where to get a free Desktop or Laptop? Ниже её машинный перевод. После долгих разбирательств я наконец-то вернула себе. . .

@Antoniy274 11 / 6 / 3 Регистрация: 20.03.2019 Сообщений: 76
	21.06.2020, 14:22
	TheCalligrapher, я с Вами согласен, но эта формула в принципе не похожа на метод Симсона. Есть суммирование членов с чётными индексами, а с нечётными нет. 0