Численные методы. Отделить все корни уравнения (метод хорд)

@Kristinix · Регистрация: 15.03.2025

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Отделить все корни уравнения (x-1)^2=(e^x)/2.
Один из корней найти с точностью до двух верных значащих цифр методом хорд

@Royal_X · 30.03.2025, 15:09

C++
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
#include <iostream>
#include <cmath>
 
double f(double x)
{
    return std::pow(x-1, 2) - std::exp(x) * 0.5;
}
 
double findRoot(double a, double b, double eps)
{
    while(fabs(b - a) > eps)
    {
        a = b - (b - a) * f(b) / (f(b) - f(a));
        b = a - (a - b) * f(a) / (f(a) - f(b));
    }
    return b;
}
 
int main()
{
    std::cout.precision(2);
    std::cout << findRoot(0., 1., 1e-2);
}

Сообщение от Kristinix

Отделить все корни

как это понимать? Там один действительный корень.

@NotAbug · 30.03.2025, 17:16

>как это понимать? Там один действительный корень

Так это формулировка задачи в общем виде. Здесь две задачи: первая локализация (отделение) корней, вторая - вычисление корней с заданной точностью.

Локализация корней - нахождение отрезков, где есть корни уравнения.
В данном случае перепишем уравнение в эквивалентном виде f(x)=0, где f(x)=(x-1)^2 - exp(x)/2 .
Надо произвести математический анализ функции.

Один из способов локализации корней - графический. Если построить график f(x), то можно увидеть, что эта функция монотонно убывающая и гладкая. Корень у неё только один, и он на отрезке [-1, 1]. А почему нет других отрезков?
В f(x) нет тригонометрических функций, следовательно она непериодическая, значит количество корней будет конечным.
Также можно отметить, что эта функция монотонная: она состоит из двух слагаемых, (x-1)^2 и -exp(x)/2.
Как ведут себя эти слагаемые при стремлении x к -бесконечн и +бесконечности ?
Очевидно, что когда x уходит влево (к отрицательным значениям ) всё дальше и дальше, то первое слагаемое растёт, а второе стремиться к нулю (потому что экспонента от отрицательного числа близка к нулю exp(-x)=1/exp(x) ).
То есть когда x идёт влево то f(x) монотонно возрастает. Когда x идёт вправо (к +бесконч) , то второе слагаемое растёт гораздо быстрее , чем первое (экспоненциально ), а так как второе слагаемое отрицательное, то их сумма тоже будет всегда отрицательна (при больших x). То есть вправо монотонно убывает.

Убедиться, что на отрезке [-1, 1] действительно имеется нуль функции можно аналитическим способом, воспользовавшись теоремой Больцано-Коши: если непрерывная на отрезке [a; b] функция f(x) на концах его имеет разные знаки ( то есть f(a) f(b) < 0 ), то на интервале (a; b) она хотя бы один раз обращается в нуль.

В нашем случае a=-1, b=1, f(a)=3.81, f(b)=-1.36, то есть выполняется условие f(a)f(b)<0.

Но эта теорема не доказывает что на данном отрезке только один корень.
Надо доказать что на данном отрезке функция монотонна. Реально это установить можно если функция дифференцируема (а данная функция является такой) и при этом знак её производной постоянен на всём отрезке, так как производная может менять знак только в точках где она равная нулю или не существует (а также в граничных точках области определения функции).

@Royal_X · 30.03.2025, 17:30

Не по теме:

NotAbug, ты не понял мою фразу. Я имел в виду, что там один действительный корень, и тогда почему в условии сказано "Отделить все корни уравнения", а не "отделить корень уравнения".

@gunslinger · 31.03.2025, 11:43

Royal_X, возможно, там общий текст задания для всех вариантов.

Отделить все корни уравнения (графический метод):

Численные методы. Отделить все корни уравнения (метод хорд)

@gunslinger · 31.03.2025, 12:30

Мой вариант:

C++
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cmath>
 
using namespace std;
 
double func (double x)
{
  return (x - 1) * (x - 1) - exp(x) / 2;
}
 
double solve (double x1, double x2, double eps = 1e-2)
{
  double x0 = x1, y0 = func(x0);
  while (fabs(x2 - x1) > eps)
  {
    x1 = x2;
    x2 = x0 - y0 * (x1 - x0) / (func(x1) - y0);
  }
  return x2;
}
 
int main()
{
  double x1 = 0, x2 = 1;
  cout << "initial interval is [" << x1 << ", " << x2 << "]" << endl;
  cout << setprecision(2) << "root is " << solve(x1, x2) << endl;
  system("pause");
  return 0;
}

Code
initial interval is [0, 1]
root is 0.21

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Модель микоризы: классовый агентный подход 3 anaschu 06.01.2026 aa0a7f55b50dd51c5ec569d2d10c54f6/ O1rJuneU_ls https:/ / vkvideo. ru/ video-115721503_456239114	Owen Logic: О недопустимости использования связки «аналоговый ПИД» + RegKZR ФедосеевПавел 06.01.2026 Owen Logic: О недопустимости использования связки «аналоговый ПИД» + RegKZR ВВЕДЕНИЕ Введу сокращения: аналоговый ПИД — ПИД регулятор с управляющим выходом в виде числа в диапазоне от 0% до. . .	Модель микоризы: классовый агентный подход 2 anaschu 06.01.2026 репозиторий https:/ / github. com/ shumilovas/ fungi ветка по-частям. коммит Create переделка под биомассу. txt вход sc, но sm считается внутри мицелия. кстати, обьем тоже должен там считаться. . . .	Расчёт токов в цепи постоянного тока igorrr37 05.01.2026 / * Дана цепь постоянного тока с сопротивлениями и напряжениями. Надо найти токи в ветвях. Программа составляет систему уравнений по 1 и 2 законам Кирхгофа и решает её. Последовательность действий:. . .
Новый CodeBlocs. Версия 25.03 palva 04.01.2026 Оказывается, недавно вышла новая версия CodeBlocks за номером 25. 03. Когда-то давно я возился с только что вышедшей тогда версией 20. 03. С тех пор я давно снёс всё с компьютера и забыл. Теперь. . .	Модель микоризы: классовый агентный подход anaschu 02.01.2026 Раньше это было два гриба и бактерия. Теперь три гриба, растение. И на уровне агентов добавится между грибами или бактериями взаимодействий. До того я пробовал подход через многомерные массивы,. . .	Советы по крайней бережливости. Внимание, это ОЧЕНЬ длинный пост. Programma_Boinc 28.12.2025 Советы по крайней бережливости. Внимание, это ОЧЕНЬ длинный пост. Налог на собак: https:/ / ********/ gallery/ V06K53e Финансовый отчет в Excel: https:/ / ********/ gallery/ bKBkQFf Пост отсюда. . .	Кто-нибудь знает, где можно бесплатно получить настольный компьютер или ноутбук? США. Programma_Boinc 26.12.2025 Нашел на реддите интересную статью под названием Anyone know where to get a free Desktop or Laptop? Ниже её машинный перевод. После долгих разбирательств я наконец-то вернула себе. . .

Численные методы. Отделить все корни уравнения (метод хорд)

Решение

Решение

@Kristinix 0 / 0 / 0 Регистрация: 15.03.2025 Сообщений: 4

	Численные методы. Отделить все корни уравнения (метод хорд) 30.03.2025, 13:37. Показов 2612. Ответов 5 Метки c++, численные методы (Все метки) Отделить все корни уравнения (x-1)^2=(e^x)/2. Один из корней найти с точностью до двух верных значащих цифр методом хорд 0

@NotAbug 46 / 38 / 10 Регистрация: 25.02.2025 Сообщений: 84
	30.03.2025, 17:16
	>как это понимать? Там один действительный корень Так это формулировка задачи в общем виде. Здесь две задачи: первая локализация (отделение) корней, вторая - вычисление корней с заданной точностью. Локализация корней - нахождение отрезков, где есть корни уравнения. В данном случае перепишем уравнение в эквивалентном виде f(x)=0, где f(x)=(x-1)^2 - exp(x)/2 . Надо произвести математический анализ функции. Один из способов локализации корней - графический. Если построить график f(x), то можно увидеть, что эта функция монотонно убывающая и гладкая. Корень у неё только один, и он на отрезке [-1, 1]. А почему нет других отрезков? В f(x) нет тригонометрических функций, следовательно она непериодическая, значит количество корней будет конечным. Также можно отметить, что эта функция монотонная: она состоит из двух слагаемых, (x-1)^2 и -exp(x)/2. Как ведут себя эти слагаемые при стремлении x к -бесконечн и +бесконечности ? Очевидно, что когда x уходит влево (к отрицательным значениям ) всё дальше и дальше, то первое слагаемое растёт, а второе стремиться к нулю (потому что экспонента от отрицательного числа близка к нулю exp(-x)=1/exp(x) ). То есть когда x идёт влево то f(x) монотонно возрастает. Когда x идёт вправо (к +бесконч) , то второе слагаемое растёт гораздо быстрее , чем первое (экспоненциально ), а так как второе слагаемое отрицательное, то их сумма тоже будет всегда отрицательна (при больших x). То есть вправо монотонно убывает. Убедиться, что на отрезке [-1, 1] действительно имеется нуль функции можно аналитическим способом, воспользовавшись теоремой Больцано-Коши: если непрерывная на отрезке [a; b] функция f(x) на концах его имеет разные знаки ( то есть f(a) f(b) < 0 ), то на интервале (a; b) она хотя бы один раз обращается в нуль. В нашем случае a=-1, b=1, f(a)=3.81, f(b)=-1.36, то есть выполняется условие f(a)f(b)<0. Но эта теорема не доказывает что на данном отрезке только один корень. Надо доказать что на данном отрезке функция монотонна. Реально это установить можно если функция дифференцируема (а данная функция является такой) и при этом знак её производной постоянен на всём отрезке, так как производная может менять знак только в точках где она равная нулю или не существует (а также в граничных точках области определения функции). 1

@Royal_X
	30.03.2025, 17:30
	Не по теме: NotAbug, ты не понял мою фразу. Я имел в виду, что там один действительный корень, и тогда почему в условии сказано "Отделить все корни уравнения", а не "отделить корень уравнения". 0

@gunslinger place status here 3186 / 2220 / 640 Регистрация: 20.07.2013 Сообщений: 6,012
	31.03.2025, 11:43
	Royal_X, возможно, там общий текст задания для всех вариантов. Отделить все корни уравнения (графический метод): 0