В-сплайновые кривые

@Gubila_2000 · Регистрация: 07.11.2014

дана формула
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?r(t)=\sum_{k=0}^{n} N_{k}^{q}(t)*P_k$

где
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t_{min} \leq t \leq t_{max}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1 \leq q \leq n+1$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?N_{k}^1(t)=\left\{\begin{1} [if] t_{min} \leq t \leq t_{0} \\ 0 [if] 1 \leq q \leq n+1\right.$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?N_{k}^q(t)=\frac{t-t_k}{t_{k+q-1}-t_k}*N_{k}^{q-1}(t)+\frac{t_{k+q}-t}{t_{k+q}-t_{k+1}}*N_{k+1}^{q-1}(t)$

Напишите мне на с++ функцию, которая считает $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?N_{k}^q(t)$ и возвращает значение.
Я над кривой Безье очень долго думал, а тут вообще темный лес. Нужно только эту функцию, я просто не могу понять нижнюю формулу, что есть что

@gunslinger · 10.05.2016, 19:51

Это вся имеющаяся информация?
Откуда формулы взяты?

Замечания:
В предпоследней формуле второе условие выполняется всегда. Зачем тогда первое условие? И верно ли оно (как выглядит в общем случае)?
На сколько частей разбит интервал изменения параметра t?
Как N зависит от k в предпоследней формуле?
Что такое $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{P}_{k}$ ? Точки?

@Gubila_2000 · 10.05.2016, 19:58 **[ТС]**

gunslinger, формулы взял из лекций мгту https://www.google.ru/url?sa=t... 1273,d.bGg

P_k я так понимаю, что опорные точки ломаной

@gunslinger · 10.05.2016, 20:06

Не по теме:

Гляну на досуге. Но обещать результат пока не буду.

@gunslinger · 12.05.2016, 02:00

Выкладываю, что получилось, а получилось не очень.
Насколько понимаю, нужно еще выбирать значения узлов t (тут внимательней надо теорию просматривать).
В любом случае, может часть кода тебе пригодится, а я на данный момент пас.

C++

//---------------------------------------------------------------------------
#include <vcl.h>
#pragma hdrstop
 
#include "Unit1.h"
//---------------------------------------------------------------------------
#pragma package(smart_init)
#pragma resource "*.dfm"
TForm1 *Form1;
//---------------------------------------------------------------------------
__fastcall TForm1::TForm1(TComponent* Owner)
    : TForm(Owner)
{
}
//---------------------------------------------------------------------------
const count = 4;
TPoint point[count];
double tmin = 0., tmax = 200.;
double step = count-1. + count + 1;
 
double N(UINT q, UINT k, double t)
{
  if (q == 1)
  {
    if (t >= tmin + step * k && t <= tmin + step * (k + 1))
      return 1;
    else
      return 0;
  }
  else
    return (t - tmin - step * k) / (tmin + step * (k + q + 1) - tmin - step * k) * N(q-1, k, t) +
           (tmin + step * (k + q) - t) / (tmin + step * (k + q) - tmin - step * (k + 1)) * N(q-1, k+1, t);
}
//---------------------------------------------------------------------------
TPoint R(UINT q, double t)
{
  TPoint b = TPoint(0, 0);
  double temp;
  for (UINT i = 0; i <= count; i++)
  {
    temp = N(q, i, t);
    b.x += point[i].x * temp;
    b.y += point[i].y * temp;
  }
  return b;
}
//---------------------------------------------------------------------------
void __fastcall TForm1::ButtonClick(TObject *Sender)
{
  Refresh();
  UINT n = count-1, offset = 500, r = 3;
  TPoint a;
  TColor color = clRed;
  TColor color2 = clBlack;
  double step = 0.001;
  randomize();
  for (UINT i = 0; i <= n; i++)
    point[i] = TPoint(random(offset), random(offset));
 
  Canvas->Pen->Color = color2;
  Canvas->TextOutW(point[0].x, point[0].y, 1);
  Canvas->Ellipse(point[0].x - r, point[0].y - r, point[0].x + r, point[0].y + r);
  for (UINT i = 1; i <= n; i++)
  {
    Canvas->TextOutW(point[i].x, point[i].y, i+1);
    Canvas->MoveTo(point[i-1].x, point[i-1].y);
    Canvas->LineTo(point[i].x, point[i].y);
    Canvas->Ellipse(point[i].x - r, point[i].y - r, point[i].x + r, point[i].y + r);
  }
 
  Canvas->MoveTo(point[0].x, point[0].y);
  Canvas->Pen->Color = color;
  for(double t = tmin + step; t <= tmax; t += step)
  {
    a = R(n, t);
    if (fabs(a.x) > 10 && fabs(a.y) > 10)
      Canvas->LineTo(a.x, a.y);
  }
 
//  Canvas->MoveTo(point[0].x, point[0].y);
//  Canvas->Pen->Color = clBlue;
//  Canvas->PolyBezier(point, n-1);
}
//---------------------------------------------------------------------------

@gunslinger · 14.05.2016, 14:11

Подправил немного (но до "истины" еще далеко):

C++

//---------------------------------------------------------------------------
 
#include <vcl.h>
#pragma hdrstop
 
#include "Unit1.h"
//---------------------------------------------------------------------------
#pragma package(smart_init)
#pragma resource "*.dfm"
TForm1 *Form1;
//---------------------------------------------------------------------------
__fastcall TForm1::TForm1(TComponent* Owner)
    : TForm(Owner)
{
}
//---------------------------------------------------------------------------
const count = 4;
TPoint point[count];
double tmin = 0., tmax = 6.;
double step = (tmax-tmin) / (count-1 + count-1);
 
double N(UINT q, UINT k, double t)
{
  if (q == 1)
  {
    if (t >= tmin + step * k && t <= tmin + step * (k + 1))
      return 1;
    else
      return 0;
  }
  else
    return (t - tmin - step * k) / (tmin + step * (k + q + 1) - tmin - step * k) * N(q-1, k, t) +
           (tmin + step * (k + q) - t) / (tmin + step * (k + q) - tmin - step * (k + 1)) * N(q-1, k+1, t);
}
//---------------------------------------------------------------------------
TPoint R(UINT q, double t)
{
  TPoint b = TPoint(0, 0);
  double temp;
  for (UINT i = 0; i < count; i++)
  {
    temp = N(q, i, t);
    b.x += point[i].x * temp;
    b.y += point[i].y * temp;
  }
  return b;
}
//---------------------------------------------------------------------------
void __fastcall TForm1::ButtonClick(TObject *Sender)
{
  Refresh();
  UINT n = count-1, q = n, offset = 500, r = 3;
  TPoint a;
  TColor color = clRed;
  TColor color2 = clBlack;
  double st = 0.00001*1;
  randomize();
  for (UINT i = 0; i < count; i++)
    point[i] = TPoint(random(offset), random(offset));
 
  Canvas->Pen->Color = color2;
  Canvas->TextOutW(point[0].x, point[0].y, 1);
  Canvas->Ellipse(point[0].x - r, point[0].y - r, point[0].x + r, point[0].y + r);
  for (UINT i = 1; i <= n; i++)
  {
    Canvas->TextOutW(point[i].x, point[i].y, i+1);
    Canvas->MoveTo(point[i-1].x, point[i-1].y);
    Canvas->LineTo(point[i].x, point[i].y);
    Canvas->Ellipse(point[i].x - r, point[i].y - r, point[i].x + r, point[i].y + r);
  }
 
  Canvas->Pen->Color = color;
  for(double t = tmin + 0*step; t <= tmax - 0*step; t += st)
  {
    a = R(q, t);
    if (t <= tmin + 2*step || t > tmax - 2*step)
    {
      Canvas->MoveTo(a.x, a.y);
//    Canvas->Pen->Color = color2;
    }
    else
    {
      Canvas->LineTo(a.x, a.y);
//    Canvas->Pen->Color = color;
    }
  }
}
//---------------------------------------------------------------------------

Замечание по коду: если st выбирать равным step, то получим следующее

если же уменьшать st, то

Я почти что уверен, что проблема по крайней мере в выборе точек $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{t}_{k}$ .
Возможно, они должны быть не равномерно распределены в диапазоне от $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{t}_{min}$ до $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{t}_{max}$ , а выбраны исходя из соображений на стр. 14 документа из поста №3 (либо см. вложение).

@Gubila_2000 · 14.05.2016, 14:13 **[ТС]**

gunslinger,

В первоначальном виде все работает нормално, но стоило мне просто добавить свой ввод, как програма стала вылетать с ошибкой деления на ноль. Из-за чего это может быть?

C++

TForm3 *Form3;
//---------------------------------------------------------------------------
__fastcall TForm3::TForm3(TComponent* Owner)
    : TForm(Owner)
{
#define ic Image1->Canvas
}
int count, flag=0;
TPoint point[100];
double tmin = 0., tmax = 200.;
double step = count-1. + count + 1;
 
double N(UINT q, UINT k, double t)
{
  if (q == 1)
  {
    if (t >= tmin + step * k && t <= tmin + step * (k + 1))
      return 1;
    else
      return 0;
  }
  else
    return (t - tmin - step * k) / (tmin + step * (k + q + 1) - tmin - step * k) * N(q-1, k, t) +
           (tmin + step * (k + q) - t) / (tmin + step * (k + q) - tmin - step * (k + 1)) * N(q-1, k+1, t);
}
//---------------------------------------------------------------------------
TPoint R(UINT q, double t)
{
  TPoint b = TPoint(0, 0);
  double temp;
  for (UINT i = 0; i < count; i++)
  {
    temp = N(q, i, t);
    b.x += point[i].x * temp;
    b.y += point[i].y * temp;
  }
  return b;
}
//---------------------------------------------------------------------------
void __fastcall TForm3::Button1Click(TObject *Sender)
{
 
    if (flag) {
    Refresh();
    UINT n = count-1;
    TPoint a;
 
    double step = 0.001;
 
     for(double t = tmin + step; t <= tmax; t += step)
    {
        a = R(n, t);
        if (a.x > 10 && a.y > 10)
          ic->LineTo(a.x, a.y);
     }
     flag=0;
} else count = 0;
flag=1;
}
//---------------------------------------------------------------------------
void __fastcall TForm3::Image1MouseDown(TObject *Sender, TMouseButton Button, TShiftState Shift,
          int X, int Y)
{
ic->Pen->Width=10;
ic->Pen->Color=clBlack;
point[count]= TPoint(X,Y);
ic->MoveTo(X,Y);
ic->LineTo(X,Y);
if (count) {
   ic->Pen->Width=3;
   ic->Pen->Color=clSilver;
   ic->MoveTo(point[count-1].X, point[count-1].Y);
   ic->LineTo(X,Y);
}
count++;
}

@gunslinger · 14.05.2016, 14:21

В документе (стр. 4, внизу) написано по этому поводу - если знаменатель равняется 0, то нужно считать выражение (дробь), содержащее этот знаменатель, равным нулю.
Смотри функцию N().
P.S.: в твоем коде строке №53 не обязательна, я использовал ее для теста.
Можно убрать либо заменить 10 на 0. Лучше первый вариант.

@Gubila_2000 · 14.05.2016, 14:25 **[ТС]**

gunslinger, просто странно, что в расчетах я вообще ничего не менял, даже ставил 4 точки, все равно выбивает с ошибкой, а когда count была константой этой ошибки небыло

@gunslinger · 14.05.2016, 14:34

И step у меня изначально считался неправильно.
P.S.: значит, ты что-то поменял, что влияет.
Нужно смотреть.

Добавлено через 6 минут
Я сейчас глянуть не могу, только если позже.

@Gubila_2000 · 14.05.2016, 19:05 **[ТС]**

gunslinger, нет проблем. Если сам разберусь, то отпишусь

Добавлено через 3 часа 30 минут
Понятия не имею что я изменил, но программа перестала ругаться на деление на ноль и стала рисовать, однако программа стала капризничать и не выполнять некоторые команды. Например не хочет менять цвет и толщину линии, несмотря на то, что я эти команды поместил в тело основной функции. Во время отрисовки сплайна все настройки сбрасывается и рисуется черная линия толщиной 1. И рисовать начинает из левого верхнего угла (1,1).

C++

TForm3 *Form3;
//---------------------------------------------------------------------------
__fastcall TForm3::TForm3(TComponent* Owner)
    : TForm(Owner)
{
#define ic Image1->Canvas
}
int  flag=0, nc=0;
int count=4;
TPoint point[100];
double tmin = 0., tmax = 6.;
double step = (tmax-tmin) / (count-1 + count-1);
 
double N(UINT q, UINT k, double t)
{
  if (q == 1)
  {
    if (t >= tmin + step * k && t <= tmin + step * (k + 1))
      return 1;
    else
      return 0;
  }
  else
    return (t - tmin - step * k) / (tmin + step * (k + q + 1) - tmin - step * k) * N(q-1, k, t) +
           (tmin + step * (k + q) - t) / (tmin + step * (k + q) - tmin - step * (k + 1)) * N(q-1, k+1, t);
}
//---------------------------------------------------------------------------
TPoint R(UINT q, double t)
{
  TPoint b = TPoint(0, 0);
  double temp;
  for (UINT i = 0; i < count; i++)
  {
    temp = N(q, i, t);
    b.x += point[i].x * temp;
    b.y += point[i].y * temp;
  }
  return b;
}
//---------------------------------------------------------------------------
void __fastcall TForm3::Button1Click(TObject *Sender)
{
 
    if (flag)
     {
        Refresh();
        UINT n = count-1;
        TPoint a;
        double st = 0.0001;
        double step = 0.001;
        ic->MoveTo(point[0].x,point[0].y);
        ic->Pen->Color=clRed;
        ic->Pen->Width=3;
        for(double t = tmin + step*0; t <= tmax - step*0; t += st)
        {
 
            a = R(n, t);
           /*   if (t <= tmin + 0*step || t > tmax - 0*step)
            {
                 Canvas->MoveTo(a.x, a.y);
 
            }
            else
            { */
                Canvas->LineTo(a.x, a.y);
 
            //}
        }
        flag=0;
     } else {count = 0; flag=1; ic->MoveTo(1,1);}
 
}
//---------------------------------------------------------------------------
void __fastcall TForm3::Image1MouseDown(TObject *Sender, TMouseButton Button, TShiftState Shift,
          int X, int Y)
{
ic->Pen->Width=10;
ic->Pen->Color=clBlack;
point[count]= TPoint(X,Y);
ic->MoveTo(X,Y);
ic->LineTo(X,Y);
if (count) {
   ic->Pen->Width=3;
   ic->Pen->Color=clSilver;
   ic->MoveTo(point[count-1].X, point[count-1].Y);
   ic->LineTo(X,Y);
}
 
count++;
}

Но даже если не смотреть на это кривая выглядит чересчур страшной)

Добавлено через 47 минут
Вот на шарпе готовая программа, но тут много лишнего

C#

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Drawing;
using System.Windows.Forms;
 
namespace b_spline
{
    public partial class Form1 : Form
    {
        public struct mypanel // создаём структуру, содержащую 
        {
            //панель, на которой расположены
            public Panel pan;
            //два поля для ввода координат
            public TextBox tbxx;
            public TextBox tbxy;
            //  и надписи X и Y.
            public Label lx;
            public Label ly;
        }
        public mypanel temp; //с помощью этой переменной будем инициализировать новые панели
        private List<mypanel> pnls;// список панелей, в котором будут храниться все наши панели
        public int pnls_num;// количество элементов в списке
        public PointF[] coords; // массив точек, в который будем загружать записанные в текстбоксы данные из списка панелей
        private float[] a = new float[4];// массив для рассчёта коэффициентов а
        private float[] b = new float[4];// для рассчёта коэффициентов b
        public Graphics graph;// поверхность для рисования
        public Bitmap btmp;// рисунок
        public Pen axis_pen = new Pen(Color.Black, 1);//  для рисования осей
        public Pen spline_pen = new Pen(Color.Blue, 1); //  для рисования сплайна
        public SolidBrush points_brush= new SolidBrush(Color.Red); // для рисования опорных точек
        public Form1()
        {
            this.InitializeComponent();
        }
        private void load_Form(object sender, EventArgs e)
        {
            load();
        }// обработка события " загрузка формы"
        public void load()
        {
            temp = new mypanel();// создаем новый объект типа mypanel, из которого будем передавать данные в список
            // инициализируем уже  существующими элементами (для удобства построения
            temp.pan = panel12;
            temp.tbxx = TextBox23;
            temp.tbxy = TextBox24;
            temp.lx = label23;
            temp.ly = label24;
            pnls = new List<mypanel>(4);// инициализируем список панелей (минимум 4 точки)
            pnls.Add(temp);// добавляем существующую панель в список
            for (int i = 1; i < 4; i++)
                pnls.Add(new_Panel(pnls[i - 1])); //создаём еще 3 панели 
            pnls_num = 4;// устанавливаем счётчик
        }
        public void Add_to_control(mypanel panel)
        {
            // добавляем родителей каждому элементу структуры. Это необходимо для отображения на экране
            flowLayoutPanel1.Controls.Add(panel.pan);
            panel.pan.Controls.Add(panel.tbxx);
            panel.pan.Controls.Add(panel.tbxy);
            panel.pan.Controls.Add(panel.lx);
            panel.pan.Controls.Add(panel.ly);
        }
        public mypanel new_Panel(mypanel sender)
        {
            //инициализируем объект mypanel и объекты, которые к нему подсоединим
            temp = new mypanel();
            temp.pan = new Panel();// панель, содержащая боксы и надписи
            temp.lx = new Label();
            temp.ly = new Label();
            temp.tbxx = new TextBox();// бокс для ввода x
            temp.tbxy = new TextBox();// бокс для ввода y
            temp.pan.Location = new Point(3, 28*sender.pan.Location.Y + 3);// каждую новую панель сдвигаем на 28 пикселов вниз
            temp.pan.Name = "panel" + temp.pan.Location.Y;// имя
            temp.pan.Size = new Size(152, 25);// размер
            temp.lx.Font = temp.ly.Font = new Font("Times New Roman", 6.75F, FontStyle.Bold, GraphicsUnit.Point, 204);//параметры шрифта
            temp.lx.Margin = temp.ly.Margin = new Padding(0);//внешняя граница не видна
            temp.lx.Size = temp.ly.Size = new Size(14, 11);// размер
            temp.lx.Text = "X:";// текст в label'ах
            temp.ly.Text = "Y:";
            //координаты label lx и ly
            temp.lx.Location = new Point(1, 7);//координаты
            temp.ly.Location = new Point(75, 6);
            temp.lx.Name = "temp.lx" + temp.pan.Location.Y;// имена
            temp.ly.Name = "temp.ly" + temp.pan.Location.Y;
            temp.tbxx.Size = temp.tbxy.Size = new Size(60, 20);
            temp.tbxx.KeyPress += (this.key_press);// добавляем функцию обработки ввода
            temp.tbxy.KeyPress += (this.key_press);
            temp.tbxx.Location = new Point(15, 2);//координаты
            temp.tbxy.Location = new Point(89, 2);
            temp.tbxx.Name = "temp.tbxx" + temp.pan.Location.Y;//имена
            temp.tbxy.Name = "temp.tbxy" + temp.pan.Location.Y;
            temp.tbxx.TabIndex = 1;//очерёдность переключения с помощью Tab
            temp.tbxy.TabIndex = 2;
            Add_to_control(temp);// добавляем к родителям
            return temp;// возвращаем готовый элемент списка
        }
        private int is_not_empty(TextBox tbx)// проверка заполненности поля ввода координат (возвращает содержимое)
        {
            int res;// создаем результат типа int (можно вводить только целые значения)
            if (!Int32.TryParse(tbx.Text, out res))// проверяем введено ли значение
                res = Int32.MaxValue;// если нет, то присваиваем результату 2^32 (не самый лучший способ, но размеры экрана всё-таки намного меньше)
            return res;// возвращаем полученнное значение
         }
        private void key_press(object s, KeyPressEventArgs e)// проверка ввода
        {
            TextBox sender = (TextBox) s;// знаем, что событие создает TextBox, поэтому производим приведение типов
 
            if (e.KeyChar != 22)// если не производится вставка
                // Handled- это свойство KeyPressEventArgs, которое показывает, обработано ли нажатие клавиши
                // проверяем ввод Разрешено вводить "-" первым символом, цифру и нажимать Backspace
                if (!Char.IsDigit(e.KeyChar) && e.KeyChar != (char) Keys.Back &&
                    (e.KeyChar != '-' || (sender).SelectionStart != 0 ||
                     ((sender).Text.Contains("-") && !(sender).SelectedText.Contains("-"))))
                    e.Handled = true;
        }
        private void Add_field(object sender, EventArgs e)// если нажали кнопку "Добавить", появляется новая панель
        {
            pnls.Add(new_Panel(pnls[pnls.Count - 1]));
            pnls_num++;
        }
        private void Delete_field(object sender, EventArgs e)// по нажатию кнопки "Удалить" удаляется панель, если их количество больше 4
        {
            if (pnls_num > 4)
            {
                pnls[pnls.Count - 1].pan.Dispose();
                pnls.RemoveAt(pnls.Count - 1);
                pnls_num--;
            }
        }
        public void Calculate(object sender, EventArgs e)
        {
            //в функции производится считывание данных из TextBox'ов
            //проверка корректности и вызов функции рассчёта и отображения точек и сплайна
            bool correct_input = true; // флаг правильного ввода
            coords = new PointF[pnls_num + 2];// создаём массив точек, в которые помещаем данные из текстбоксов
            for (int i = 0; i < pnls_num; i++)// считываем данные из всех текстбоксов
            {
                if ((coords[i + 1].X = is_not_empty(pnls[i].tbxx)) == Int32.MaxValue ||// проверяем правильный ввод
                    (coords[i + 1].Y = is_not_empty(pnls[i].tbxy)) == Int32.MaxValue)
                {
                    correct_input = false;// если неправильный, то выходим из цикла
                    break;
                }
            }
            if (correct_input == false)// ошибка
                MessageBox.Show("Рассчёт не может быть произведён.\r\nНеверно (неполностью) заполнены поля ввода.");
            else
            {
                btmp = new Bitmap(pictureBox1.Width , pictureBox1.Height);// инициализируем битмап
                // для правильного отображения сплайна необходимо дважды добавить первую и последнюю точку
                coords[0] = coords[1];
                coords[pnls_num + 1] = coords[pnls_num];
                pictureBox1.Refresh();// обновляем pictureBox(стираем старое)
                graph = Graphics.FromImage(btmp);// инициализируем поверхность для рисования
                graph.TranslateTransform(pictureBox1.Width/2, pictureBox1.Height/2);// переносим начало координат в центр
                graph.ScaleTransform(1, -1);// меняем направление оси Y
                //рисуем координатные оси
                graph.DrawLine(axis_pen, 0, -pictureBox1.Height / 2, 0, pictureBox1.Height / 2);
                graph.DrawLine(axis_pen, -pictureBox1.Width / 2, 0,pictureBox1.Width / 2 , 0);
                Draw_spline();// рисуем сплайн
                Draw(null, null);// рисуем опорные точки
            }
        }
        public void Draw(object sender, PaintEventArgs e)
        {
            for (int i = 1; i < pnls_num+1; i++)
                graph.FillRectangle(points_brush, coords[i].X - 1, coords[i].Y - 1, 3, 3);// точки рисуются прямоугольниками
            pictureBox1.BackgroundImage = btmp;// переносим на битмап
        }
        public void Draw_spline()
        {
            for (int i = 1; i < pnls_num; i++)// в цикле по всем четвёркам точек
            {
                Coefficient(i);// считаем коэффициенты
                PointF[] points=new PointF[100];// создаём массив промежуточных точек
                for(int j=0;j<100;j++)
                {
                    float t = (float)((float)j/100);// шаг интерполяции
                    // передаём массиву точек значения по методу beta-spline
                    points[j].X = (a[0] + t * (a[1] + t * (a[2] + t * a[3])));
                    points[j].Y = (b[0] + t * (b[1] + t * (b[2] + t * b[3])));
                }
                graph.DrawCurve(spline_pen, points,0.1f);// рисуем кривую по полученным точкам
            }
        }
        public void Coefficient(int i)// в функции рассчитываются коэффициенты a0-a3, b0-b3
        {
            a[3] = (-coords[i - 1].X + 3*coords[i].X - 3*coords[i + 1].X + coords[i + 2].X)/6;
            a[2] = (coords[i - 1].X - 2*coords[i].X + coords[i + 1].X)/2;
            a[1] = (-coords[i - 1].X + coords[i + 1].X)/2;
            a[0] = (coords[i - 1].X + 4*coords[i].X + coords[i + 1].X)/6;
            b[3] = (-coords[i - 1].Y + 3*coords[i].Y - 3*coords[i + 1].Y + coords[i + 2].Y)/6;
            b[2] = (coords[i - 1].Y - 2*coords[i].Y + coords[i + 1].Y)/2;
            b[1] = (-coords[i - 1].Y + coords[i + 1].Y)/2;
            b[0] = (coords[i - 1].Y + 4*coords[i].Y + coords[i + 1].Y)/6;
        }
    }
}

http://grafika.me/node/408

Добавлено через 6 минут

@gunslinger · 15.05.2016, 03:41

Нашел хорошее описание алгоритма (коротко и ясно): http://mathworld.wolfram.com/B-Spline.html

Код на его основе:

C++

const count = 7, m = 9;
TPoint point[count];
double tmin = 0, tmax = 1, t[m+1] = {tmin, 0, 0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1, 1, tmax};
int n = count - 1, p = m - n - 1;
 
double N(UINT i, UINT j, double T)
{
  if (j == 0)
  {
    if (T >= t[i] && T < t[i+1])  // && t[i+1] > t[i])
      return 1;
    else
      return 0;
  }
  else
  {
    double memb1 = (t[i+j] - t[i]) ? (T - t[i]) / (t[i+j] - t[i]) : 0,
           memb2 = (t[i+j+1] - t[i+1]) ? (t[i+j+1] - T) / (t[i+j+1] - t[i+1]) : 0;
    return memb1 * N(i, j-1, T) + memb2 * N(i+1, j-1, T);
  }
}
//---------------------------------------------------------------------------
TPoint C(UINT p, double T)
{
  TPoint b = TPoint(0, 0);
  double temp;
  for (int i = 0; i <= n; i++)
  {
    temp = N(i, p, T);
    b.x += point[i].x * temp;
    b.y += point[i].y * temp;
  }
  return b;
}
//---------------------------------------------------------------------------
void __fastcall TForm1::ButtonClick(TObject *Sender)
{
  Refresh();
  UINT offset = 500, r = 3;
  double step = 0.0001;
  TPoint a;
  TColor color = clRed;
  TColor color2 = clBlack;
  randomize();
  for (int i = 0; i <= n; i++)
    point[i] = TPoint(random(offset), random(offset));
 
  Canvas->Pen->Color = color2;
  Canvas->TextOutW(point[0].x, point[0].y, 1);
  Canvas->Ellipse(point[0].x - r, point[0].y - r, point[0].x + r, point[0].y + r);
  for (int i = 1; i <= n; i++)
  {
    Canvas->TextOutW(point[i].x, point[i].y, i+1);
    Canvas->MoveTo(point[i-1].x, point[i-1].y);
    Canvas->LineTo(point[i].x, point[i].y);
    Canvas->Ellipse(point[i].x - r, point[i].y - r, point[i].x + r, point[i].y + r);
  }
 
  for(double T = tmin; T <= tmax; T += step)
  {
    a = C(p, T);
    Canvas->Pixels[a.x][a.y] = color;
  }
}

Замечание: при некоторых значениях параметра p (обычно когда он > 2), сплайн проходит через левый верхний угол.
Причину пока выяснить не удалось.
Формулу (p = m - n - 1) менять не стоит, можешь изменять count и/или m, а также точки t. Но учти, что они (точки) должны быть неубывающей последовательностью.

@gunslinger · 16.05.2016, 05:50

Выяснил причину. Нужно было соответствующим образом выбирать узловые точки $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{t}_{i}$ .
Теперь можно строить сплайны вплоть до степени p = 4. Хотя третьей степени вроде достаточно.
Можешь поэкспериментировать.
ехе для случая p = 3 во вложении.

C++

const count = 7, m = 10;
TPoint point[count];
double tmin = 0, tmax = 1, t[m+1] = {tmin, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, tmax};
int n = count - 1, p = m - count;  // p = m - n - 1;
 
double N(UINT i, UINT j, double T)
{
  if (j == 0)
  {
    if (T >= t[i] && T < t[i+1])  // && t[i+1] > t[i])
      return 1;
    else
      return 0;
  }
  else
  {
    double memb1 = (t[i+j] - t[i]) ? (T - t[i]) / (t[i+j] - t[i]) : 0,
           memb2 = (t[i+j+1] - t[i+1]) ? (t[i+j+1] - T) / (t[i+j+1] - t[i+1]) : 0;
    return memb1 * N(i, j-1, T) + memb2 * N(i+1, j-1, T);
  }
}
//---------------------------------------------------------------------------
TPoint C(UINT p, double T)
{
  TPoint b = TPoint(0, 0);
  double temp;
  for (int i = 0; i <= n; i++)
  {
    temp = N(i, p, T);
    b.x += point[i].x * temp;
    b.y += point[i].y * temp;
  }
  return b;
}
//---------------------------------------------------------------------------
void init()
{
  for (int i = 1; i <= p; i++)
  {
    t[i] = tmin;
    t[m-i] = tmax;
  }
}
//---------------------------------------------------------------------------
void __fastcall TForm1::ButtonClick(TObject *Sender)
{
  Refresh();
  init();
  UINT offset = 25, range = 500 - 2 * offset, r = 3;
  double step = 1e-5;
  TPoint a;
  TColor color = clRed;
  TColor color2 = clGray;
  randomize();
  for (int i = 0; i <= n; i++)
    point[i] = TPoint(offset + random(range), offset + random(range));
 
  Canvas->Pen->Color = color2;
  Canvas->TextOutW(point[0].x, point[0].y, 1);
  Canvas->Ellipse(point[0].x - r, point[0].y - r, point[0].x + r, point[0].y + r);
  for (int i = 1; i <= n; i++)
  {
    Canvas->TextOutW(point[i].x, point[i].y, i+1);
    Canvas->MoveTo(point[i-1].x, point[i-1].y);
    Canvas->LineTo(point[i].x, point[i].y);
    Canvas->Ellipse(point[i].x - r, point[i].y - r, point[i].x + r, point[i].y + r);
  }
 
  if (p * 2 <= m - 1)
    for(double T = tmin; T <= tmax; T += step)
    {
      a = C(p, T);
      Canvas->Pixels[a.x][a.y] = color;
    }
  else
    MessageBox(Application->Handle, String("Должно выполняться условие\n\nm-1 >= 2p\n\nПри m=" + String(m) + ", p=" + String(p) + " оно не соблюдается.").c_str(), L"Ошибка", 0);
}

@Gubila_2000 · 16.05.2016, 17:37 **[ТС]**

gunslinger, Насколько я понял в ходе подбора, если count не константа, а изменяется, то m изменяется по правилу m=count*2-1;

@gunslinger · 16.05.2016, 18:01

m никак не зависит от count.
m+1 - количество узловых точек.
count - количество контрольных точек.
n = count - 1, p = m - count.

Функция init() дублирует точки для правильного построения сплайна.

Можно условие

C++

1	if (p * 2 <= m - 1)

заменить на

C++

1	if (p < 5 && p > 0)

Тут добавлено условие, что p должно быть положительным числом.

Тогда строка

C++

MessageBox(Application->Handle, String("Должно выполняться условие\n\nm-1 >= 2p\n\nПри m=" + String(m) + ", p=" + String(p) + " оно не соблюдается.").c_str(), L"Ошибка", 0);

меняется на

C++

MessageBox(Application->Handle, String("Должно выполняться условие\n\np > 0 и p < 5\n\nПри p=" + String(p) + " оно не соблюдается.").c_str(), L"Ошибка", 0);

@gunslinger · 16.05.2016, 18:18

Что касается твоего утверждения, то ты не до конца понял - просто должно выполняться условие
m <= count*2-1 (или m < count*2).
Плюс m > count (или m >= count+1).
Либо двойное условие для p постом выше (p < 5 && p > 0).
Повторю еще раз, зависимости между m и count в любом случае никакой нет.

@gunslinger · 16.05.2016, 21:57

Сделал на основе вышеприведенного кода программу-заставку.
Для больных эпилепсией просьба использовать на свой страх и риск, так как смена фона может быть достаточно резкой, хоть и происходит не с большой частотой.

@gunslinger · 16.05.2016, 22:20

Немного подправил смену цвета.

В-сплайновые кривые

Решение

Решение

Решение

@gunslinger случайный прохожий 1509 / 1007 / 373 Регистрация: 20.07.2013 Сообщений: 2,928
	10.05.2016, 19:51	2
	Это вся имеющаяся информация? Откуда формулы взяты? Замечания: В предпоследней формуле второе условие выполняется всегда. Зачем тогда первое условие? И верно ли оно (как выглядит в общем случае)? На сколько частей разбит интервал изменения параметра t? Как N зависит от k в предпоследней формуле? Что такое $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{P}_{k}$ ? Точки? 0

@Gubila_2000 7 / 3 / 3 Регистрация: 07.11.2014 Сообщений: 218 Записей в блоге: 1
	10.05.2016, 19:58 [ТС]	3
	gunslinger, формулы взял из лекций мгту https://www.google.ru/url?sa=t... 1273,d.bGg P_k я так понимаю, что опорные точки ломаной 0

@gunslinger
	10.05.2016, 20:06 #4
	Не по теме: Гляну на досуге. Но обещать результат пока не буду. 0

@gunslinger случайный прохожий 1509 / 1007 / 373 Регистрация: 20.07.2013 Сообщений: 2,928
	14.05.2016, 14:21	8
	В документе (стр. 4, внизу) написано по этому поводу - если знаменатель равняется 0, то нужно считать выражение (дробь), содержащее этот знаменатель, равным нулю. Смотри функцию N(). P.S.: в твоем коде строке №53 не обязательна, я использовал ее для теста. Можно убрать либо заменить 10 на 0. Лучше первый вариант. 0

@Gubila_2000 7 / 3 / 3 Регистрация: 07.11.2014 Сообщений: 218 Записей в блоге: 1
	14.05.2016, 14:25 [ТС]	9
	gunslinger, просто странно, что в расчетах я вообще ничего не менял, даже ставил 4 точки, все равно выбивает с ошибкой, а когда count была константой этой ошибки небыло 0

@gunslinger случайный прохожий 1509 / 1007 / 373 Регистрация: 20.07.2013 Сообщений: 2,928
	14.05.2016, 14:34	10
	И step у меня изначально считался неправильно. P.S.: значит, ты что-то поменял, что влияет. Нужно смотреть. Добавлено через 6 минут Я сейчас глянуть не могу, только если позже. 0

@Gubila_2000 7 / 3 / 3 Регистрация: 07.11.2014 Сообщений: 218 Записей в блоге: 1
	16.05.2016, 17:37 [ТС]	14
	gunslinger, Насколько я понял в ходе подбора, если count не константа, а изменяется, то m изменяется по правилу m=count*2-1; 0

@gunslinger случайный прохожий 1509 / 1007 / 373 Регистрация: 20.07.2013 Сообщений: 2,928
	16.05.2016, 18:18	16
	Что касается твоего утверждения, то ты не до конца понял - просто должно выполняться условие m <= count2-1 (или m < count2). Плюс m > count (или m >= count+1). Либо двойное условие для p постом выше (p < 5 && p > 0). Повторю еще раз, зависимости между m и count в любом случае никакой нет. 0