Что такое разложение в ряд Маклорена решения задачи Коши?

@Elmar_Velihanov · Регистрация: 19.10.2015

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Дана задача Коши:

y'' + 4y' + 4x*(y^6) = e^x

y(0)=8
y'(0)=6

или что-то типа этого.

Надо получить разложение в ряд Маклорена решения задачи Коши (или хотя бы 4 первых члена этого разложения).

Что это за ряд Маклорена и как он делается?

Надо выразить старшую производную y'' через всё остальное и четыре раза продифференцировать? Потом из этого члены ряда получать? Или как?

@Melamed · 23.01.2025, 21:14

Сообщение от Elmar_Velihanov

Дана задача Коши:

Что это за ряд Маклорена и как он делается?

Фактически это частный случай ряда Тейлора с $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{0}=0$

@mathmichel · 23.01.2025, 21:37

Сообщение от Elmar_Velihanov

Надо выразить старшую производную y'' через всё остальное и четыре раза продифференцировать?

Да, именно так.

@ViktorArs · 24.01.2025, 08:06

Сообщение от Melamed

Фактически это частный случай ряда Тейлора

Я уже не помню, а не наоборот было?

Сообщение от Elmar_Velihanov

Надо выразить старшую производную y'' через всё остальное и четыре раза продифференцировать?

Сообщение от mathmichel

Да, именно так.

Можно подробнее?

@Pphantom · 24.01.2025, 09:36

Сообщение от ViktorArs

Я уже не помню, а не наоборот было?

Тогда зачем пишете?

Melamed прав, ряд Маклорена - это ряд Тейлора в окрестности нуля.

Сообщение от ViktorArs

Можно подробнее?

Ну, например, так.
1) Записываете разложение функции y(x) в ряд в общем виде, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y(x)=\sum_{k=0}^\infty a_k x^k$ .
2) Дифференцируете его два раза - также в общем виде.
3) Получившиеся разложения подставляете в выражение слева и упрощаете, в итоге там получается какой-то бесконечный степенной ряд, зависящий от x.
4) Раскладываете в ряд Маклорена экспоненту справа и тоже получаете бесконечный степенной ряд, зависящий от x. 5) Говорите, что оные ряды равны, если равны коэффициенты при одинаковых степенях x, в результате получаете цепочку "зацепленных" алгебраических уравнений на коэффициенты, замыкаемую начальными условиями.
6) Решаете систему уравнений и находите столько начальных коэффициентов, сколько душе угодно.

На практике, если заранее известно, что нужно, например, четыре первых члена, можно и исходное разложение сразу писать с конечным числом членов. Конкретно в этой задаче, например, это несколько упростит жизнь с y^6.

@Melamed · 24.01.2025, 10:48

Сообщение от ViktorArs

Я уже не помню, а не наоборот было?

Можно подробнее?

Напоминаю.

Ряд Tейлора:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f({x}_{0}+\Delta x)=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{f({x}_{0})}^{n}}{n!}{\Delta x}^{n}$

Ряд Макрона
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{f(0)}^{n}}{n!}{x}^{n}$

Отсюда понятен ход решения данной задачи

@Iliodor · 24.01.2025, 11:18

точнее $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{f}^{(n)}$

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .	Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .	Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .	Ломающие изменения в C#.NStar Alpha Etyuhibosecyu 20.11.2025 Уже можно не только тестировать, но и пользоваться C#. NStar - писать оконные приложения, содержащие надписи, кнопки, текстовые поля и даже изображения, например, моя игра "Три в ряд" написана на этом. . .
Мысли в слух kumehtar 18.11.2025 Кстати, совсем недавно имел разговор на тему медитаций с людьми. И обнаружил, что они вообще не понимают что такое медитация и зачем она нужна. Самые базовые вещи. Для них это - когда просто люди. . .	Создание Single Page Application на фреймах krapotkin 16.11.2025 Статья исключительно для начинающих. Подходы оригинальностью не блещут. В век Веб все очень привыкли к дизайну Single-Page-Application . Быстренько разберем подход "на фреймах". Мы делаем одну. . .	Фото: Daniel Greenwood kumehtar 13.11.2025	Расскажи мне о Мире, бродяга kumehtar 12.11.2025 — Расскажи мне о Мире, бродяга, Ты же видел моря и метели. Как сменялись короны и стяги, Как эпохи стрелою летели. - Этот мир — это крылья и горы, Снег и пламя, любовь и тревоги, И бескрайние. . .	PowerShell Snippets iNNOKENTIY21 11.11.2025 Модуль PowerShell 5. 1+ : Snippets. psm1 У меня модуль расположен в пользовательской папке модулей, по умолчанию: \Documents\WindowsPowerShell\Modules\Snippets\ А в самом низу файла-профиля. . .

@Elmar_Velihanov -18 / 12 / 4 Регистрация: 19.10.2015 Сообщений: 660

	Что такое разложение в ряд Маклорена решения задачи Коши? 23.01.2025, 20:38. Показов 1443. Ответов 6 Метки нет (Все метки) Дана задача Коши: y'' + 4y' + 4x*(y^6) = e^x y(0)=8 y'(0)=6 или что-то типа этого. Надо получить разложение в ряд Маклорена решения задачи Коши (или хотя бы 4 первых члена этого разложения). Что это за ряд Маклорена и как он делается? Надо выразить старшую производную y'' через всё остальное и четыре раза продифференцировать? Потом из этого члены ряда получать? Или как? 0

@Iliodor 599 / 438 / 115 Регистрация: 14.03.2021 Сообщений: 1,690
	24.01.2025, 11:18
	точнее $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{f}^{(n)}$ 0