Мат физика. Смешанная краевая задача

@N@stusha · Регистрация: 20.12.2010

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

В полуполосе 0<x<l, t>0 для уравнения
U_tt=a²U_xx+Ae^-tcos(pi/2l x)
решить смешанную краевую задачу
U(0,t)=U_x(l,t)=0
U(x,0)=0, U_t(x,0)=0

Я не могу, для начала, найти для краевых условий X_k(x)

240Volt · 11.05.2013, 17:16

Сообщение от N@stusha

Я не могу, для начала, найти для краевых условий X_k(x)

Переведите, пожалуйста

@N@stusha · 11.05.2013, 23:39 **[ТС]**

как мне объяснила мой преподаватель, сначала для краевых условий U(0,t)=0, U_x(l,t)=0 нужно записать. если я нашла правильно, X_k=cos((pi-2pik)/2l)x, потом записать U(x,t)=sumX_k(x)T_k(t)
Затем F(x,t)= sumX_k(x)f_k(x)

@helter · 12.05.2013, 00:27

Косинус в нуле, это же единица, а у вас ноль должен быть. Как вы их насчитали?

Добавлено через 2 минуты
Пардон, там же ещё неоднородность...

@N@stusha · 12.05.2013, 11:52 **[ТС]**

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y(0)=0, y'(l)=0 \\{y}_{o.o}={C}_{1}cosrx + {C}_{2}sinrx\\{y'}_{o.o}=-r{C}_{1}sinrl + r{C}_{2}cosrl\\y(0)= {C}_{1}=0\\y'(l)= r{C}_{2}cosrl=0\Rightarrow rcosrl=0 {C}_{2}=0$
Я поняла, что есть неоднородность а вот как дальше решить уравнение не знаю

@helter · 12.05.2013, 14:02

C₁ железно равно 0, ничего не попишешь.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_2 \cos rl = 0$
Здесь С₂ могут быть ненулевыми, если
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? rl = \frac \tau4 + \frac \tau 2 n,\ n \in \mathbb Z$
(здесь для удобства τ = 2π). Значит, собственными функциями будут
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? X_n = \cos \frac 1l \left(\frac \tau4 + \frac \tau 2 n \right)x,\ n = 0, 1, \ldots$

@N@stusha · 12.05.2013, 17:58 **[ТС]**

Я дошла вот до этих пор, а дальше не знаю, что делать

@helter · 12.05.2013, 18:30

Произведение косинусов в сумму преобразуйте, почти всё должно убиться. Ну или воспользоваться ортогональностью косинусов (это то же самое, но кто-то уже преобразовал в сумму до вас).

Сумма, кстати, по эн от нуля.

@N@stusha · 12.05.2013, 18:41 **[ТС]**

воспользовавшись ортогональностью получила
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{f}_{k}(t)=\frac{2}{l}A{e}^{-t}\int_{0}^{l}{cos}^{2}\frac{\pi }{2l}xdx=A{e}^{-t}$
А что дальше???

@helter · 12.05.2013, 18:50

Вы ищете решение в виде суммы
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? u(t, x) = \sum_{n=0}^\infty T_n(t) X_n(X) $
Тогда
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? u_{tt} = \sum_{n=0}^\infty T_n''(t) X_n(X) u_{xx} = \sum_{n=0}^\infty T_n(t) X_n''(X) = \sum_{n=0}^\infty r_n T_n(t) X_n(X) $
Граничные условия здесь уже содержатся. Подставляете в уравнение:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \sum_{n=0}^\infty T_n''(t) X_n(X) = a^2 \sum_{n=0}^\infty r_n T_n(t) X_n(X) + \sum_{n=0}^\infty f_n(t) X_n(X) $
Приравняв коэффициенты при одинаковых собственных функций, получаем ОДУ:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? T_n''(t) = a^2 r_n T_n(t) + f_n(t) $
К нему нужны два начальные условия. Из ваших начальных условий следует, что
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? T_n(0) = 0, T_n'(0) = 0. $
А если бы они были ненулевые, их тоже надо было бы сначала разложить в ряд по собственным функциям.

@N@stusha · 12.05.2013, 19:46 **[ТС]**

То есть для начала я должна найти T''_n(t), а потом уже и U(x,t)?

Добавлено через 5 минут
И r_n брать отсюда?
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? rl = \frac \tau4 + \frac \tau 2 n,\ n \in \mathbb Z$

@helter · 12.05.2013, 19:49

Гм. Вы ищете u в виде разложения по собственным функциям с коэффициентами, зависящими от времени. Собственные функции известны. Коэффициенты неизвестны. Однако для них получается задача Коши с обыкновенным дифуром, что решается на ура.

Добавлено через 2 минуты

Сообщение от N@stusha

И rn брать отсюда?

Наверно, из этого r надо извлечь корень. Можете и просто дважды продифференцировать X_n, получится та же функция, но с числовым коэффициентом.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Новый ноутбук volvo 07.12.2025 Всем привет. По скидке в "черную пятницу" взял себе новый ноутбук Lenovo ThinkBook 16 G7 на Амазоне: Ryzen 5 7533HS 64 Gb DDR5 1Tb NVMe 16" Full HD Display Win11 Pro	Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .	Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .	Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .
Ломающие изменения в C#.NStar Alpha Etyuhibosecyu 20.11.2025 Уже можно не только тестировать, но и пользоваться C#. NStar - писать оконные приложения, содержащие надписи, кнопки, текстовые поля и даже изображения, например, моя игра "Три в ряд" написана на этом. . .	Мысли в слух kumehtar 18.11.2025 Кстати, совсем недавно имел разговор на тему медитаций с людьми. И обнаружил, что они вообще не понимают что такое медитация и зачем она нужна. Самые базовые вещи. Для них это - когда просто люди. . .	Создание Single Page Application на фреймах krapotkin 16.11.2025 Статья исключительно для начинающих. Подходы оригинальностью не блещут. В век Веб все очень привыкли к дизайну Single-Page-Application . Быстренько разберем подход "на фреймах". Мы делаем одну. . .	Фото: Daniel Greenwood kumehtar 13.11.2025	Расскажи мне о Мире, бродяга kumehtar 12.11.2025 — Расскажи мне о Мире, бродяга, Ты же видел моря и метели. Как сменялись короны и стяги, Как эпохи стрелою летели. - Этот мир — это крылья и горы, Снег и пламя, любовь и тревоги, И бескрайние. . .

@N@stusha 1 / 1 / 0 Регистрация: 20.12.2010 Сообщений: 70

	Мат физика. Смешанная краевая задача 11.05.2013, 12:32. Показов 17500. Ответов 11 Метки нет (Все метки) В полуполосе 0<x<l, t>0 для уравнения U_tt=a²U_xx+Ae^-tcos(pi/2l x) решить смешанную краевую задачу U(0,t)=U_x(l,t)=0 U(x,0)=0, U_t(x,0)=0 Я не могу, для начала, найти для краевых условий X_k(x) 0

@N@stusha 1 / 1 / 0 Регистрация: 20.12.2010 Сообщений: 70
	11.05.2013, 23:39 [ТС]
	как мне объяснила мой преподаватель, сначала для краевых условий U(0,t)=0, U_x(l,t)=0 нужно записать. если я нашла правильно, X_k=cos((pi-2pik)/2l)x, потом записать U(x,t)=sumX_k(x)T_k(t) Затем F(x,t)= sumX_k(x)f_k(x) 0

@helter 4528 / 3522 / 358 Регистрация: 12.03.2013 Сообщений: 6,038
	12.05.2013, 00:27
	Косинус в нуле, это же единица, а у вас ноль должен быть. Как вы их насчитали? Добавлено через 2 минуты Пардон, там же ещё неоднородность... 0

@N@stusha 1 / 1 / 0 Регистрация: 20.12.2010 Сообщений: 70
	12.05.2013, 11:52 [ТС]
	$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y(0)=0, y'(l)=0 \\{y}_{o.o}={C}_{1}cosrx + {C}_{2}sinrx\\{y'}_{o.o}=-r{C}_{1}sinrl + r{C}_{2}cosrl\\y(0)= {C}_{1}=0\\y'(l)= r{C}_{2}cosrl=0\Rightarrow rcosrl=0 {C}_{2}=0$ Я поняла, что есть неоднородность а вот как дальше решить уравнение не знаю 0

@helter 4528 / 3522 / 358 Регистрация: 12.03.2013 Сообщений: 6,038
	12.05.2013, 14:02
	C₁ железно равно 0, ничего не попишешь. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_2 \cos rl = 0$ Здесь С₂ могут быть ненулевыми, если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? rl = \frac \tau4 + \frac \tau 2 n,\ n \in \mathbb Z$ (здесь для удобства τ = 2π). Значит, собственными функциями будут $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? X_n = \cos \frac 1l \left(\frac \tau4 + \frac \tau 2 n \right)x,\ n = 0, 1, \ldots$ 0

@N@stusha 1 / 1 / 0 Регистрация: 20.12.2010 Сообщений: 70
	12.05.2013, 17:58 [ТС]
	Я дошла вот до этих пор, а дальше не знаю, что делать 0

@helter 4528 / 3522 / 358 Регистрация: 12.03.2013 Сообщений: 6,038
	12.05.2013, 18:30
	Произведение косинусов в сумму преобразуйте, почти всё должно убиться. Ну или воспользоваться ортогональностью косинусов (это то же самое, но кто-то уже преобразовал в сумму до вас). Сумма, кстати, по эн от нуля. 0

@N@stusha 1 / 1 / 0 Регистрация: 20.12.2010 Сообщений: 70
	12.05.2013, 18:41 [ТС]
	воспользовавшись ортогональностью получила $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{f}_{k}(t)=\frac{2}{l}A{e}^{-t}\int_{0}^{l}{cos}^{2}\frac{\pi }{2l}xdx=A{e}^{-t}$ А что дальше??? 0

@helter 4528 / 3522 / 358 Регистрация: 12.03.2013 Сообщений: 6,038
	12.05.2013, 18:50
	Сообщение было отмечено как решение Решение Вы ищете решение в виде суммы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> u(t, x) = \sum_{n=0}^\infty T_n(t) X_n(X)<br />$ Тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> u_{tt} = \sum_{n=0}^\infty T_n''(t) X_n(X)<br /> u_{xx} = \sum_{n=0}^\infty T_n(t) X_n''(X) = \sum_{n=0}^\infty r_n T_n(t) X_n(X)<br />$ Граничные условия здесь уже содержатся. Подставляете в уравнение: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> \sum_{n=0}^\infty T_n''(t) X_n(X) = a^2 \sum_{n=0}^\infty r_n T_n(t) X_n(X) + \sum_{n=0}^\infty f_n(t) X_n(X)<br />$ Приравняв коэффициенты при одинаковых собственных функций, получаем ОДУ: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> T_n''(t) = a^2 r_n T_n(t) + f_n(t)<br />$ К нему нужны два начальные условия. Из ваших начальных условий следует, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> T_n(0) = 0, T_n'(0) = 0.<br />$ А если бы они были ненулевые, их тоже надо было бы сначала разложить в ряд по собственным функциям. 3

@N@stusha 1 / 1 / 0 Регистрация: 20.12.2010 Сообщений: 70
	12.05.2013, 19:46 [ТС]
	То есть для начала я должна найти T''_n(t), а потом уже и U(x,t)? Добавлено через 5 минут И r_n брать отсюда? $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? rl = \frac \tau4 + \frac \tau 2 n,\ n \in \mathbb Z$ 0

Мат физика. Смешанная краевая задача

Решение