Найти объем n-мерной пирамиды

@fishec · Регистрация: 07.09.2013

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Помогите найти объем n-мерной пирамиды. Вершины пирамиды - начало координат и точки пересечения
плоскости $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{1}+{x}_{2}+...+{x}_{n}=1$ c осями координат,
то есть точки (1,0,0,...,0), (0,1,0,0,...,0), (0,0,1,0,0,..0),...,(0,0,...,0,1,0),(0,0 ,...,0,1)
Пирамида образована n базисными единичными векторами, отложенными из начала координат.

@golatin · 18.09.2014, 18:20

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}...\int_{0}^{1}\left({x}_{1}+{x}_{2}+...+{x}_{n} -1\right)d{x}_{1}d{x}_{2}...d{x}_{n}$

@fishec · 18.09.2014, 18:31 **[ТС]**

golatin, Для трехмерного пространства получается ответ 1/2. А должен быть 1/6. Или я что-то не так считаю..

@golatin · 18.09.2014, 21:12

Вы правы, тогда так:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{1}\int_{0}^{(1-{x}_{1})} \int_{0}^{(1-{x}_{1}-{x}_{2})}.. \int_{0}^{(1-{x}_{1}-{x}_{2}-..-{x}_{n})}d{x}_{1}d{x}_{2}..d{x}_{n}$

при n=3:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{1}\int_{0}^{(1-x)} \int_{0}^{(1-x-y)}dzdydx=\int_{0}^{1}\int_{0}^{(1-x)}(1-x-y)dydx=\int_{0}^{1}\frac{{(1-x)}^{2}}{2}dx=\frac{1}{6}$

@palva · 18.09.2014, 23:58

Вообще формула есть. Можно посмотреть, как она выводится. Если задача по геометрии, а не по анализу, то предпочтительнее не использовать интегралы, а посмотреть как выводится формула. Ответ 1/n!

@fishec · 19.09.2014, 02:47 **[ТС]**

palva, а не подскажете, где можно посмотреть, как она выводится? Я искал, но ничего не нашел.

@AdmiralHood · 19.09.2014, 04:06

Объём N-мерной пирамиды равен

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V_N =\frac{1}{N} S_NH,$

где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_N$ — «площадь основания», то есть объём (N-1)-мерной фигуры, которая лежит в основании N-пирамиды; $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?H$ — высота пирамиды.

Ваш случай очень специфический. Это N-мерный тетраэдр с высотой 1, в основании которого лежит (N-1)-мерный тетраэдр с высотой 1, а в его основании, в свою очередь, лежит (N-1)-мерный тетраэдр с высотой 1 и т.д. Поэтому здесь можно записать рекуррентно:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V_N =\frac{1}{N} V_{N-1}H,$ .

Если развернуть эту рекуррентность, получим:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V_N =\frac{1}{N} V_{N-1}H = \frac{1}{N(N-1)} V_{N-2}H = ... = \frac{1}{N(N-1)...3\cdot2} V_{1}H=\frac{1}{N!}$ .

@Igor · 19.09.2014, 08:39

fishec, если решение с применением анализа, то Тер-Крикоров, Шабунин "Курс математического анализа", стр.469.

@palva · 19.09.2014, 11:00

Сообщение от fishec

palva, а не подскажете, где можно посмотреть, как она выводится?

В дополнение к AdmiralHood, могу подсказать, где выводится формула для объема многомерной пирамиды. Смотрите книгу Розенфельд. Многомерные пространства с. 170-171 Там говорится об объеме симплекса, но фактически доказывается формула для объема пирамиды. Онлайн можно посмотреть здесь: http://bookre.org/reader?file=562236&pg=171

К сожалению форум исказил амперсанд в URL и ссылка выводит на начало книги, а не на нужную страницу. Ну вы перейдите на с. 171 по выпадающему списку.

@helter · 19.09.2014, 18:48

Кстати, всё равно там через интеграл. (У меня даже для трёхмерного пространства не хватит фантазии из тетраэдра нарезать параллелепипед.)

@palva · 19.09.2014, 19:00

Сообщение от helter

Кстати, всё равно там через интеграл.

Да. Я почему-то думал, что можно обойтись равносоставленностью.

@AdmiralHood · 20.09.2014, 17:16

Если на пальцах, формула объёма пирамиды через площадь основания и высоту выводится так. Если рассечь пирамиду перпендикулярно высоте (параллельно основанию), то в сечении получим фигуру, подобную основанию с некоторым коэффициентом подобия k. Отношение площади сечения к площади основания будет равно $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k^{N-1}$ , так как основание является фигурой размерности N-1, а объёмы двух подобных X-мерных фигур относятся как коэффициент подобия в степени X.

Получается, что объём от вершины к основанию нарастает как степенная функция степени N-1, а площадь фигуры, ограниченной такой степенной функцией равен 1/N от площади описанного прямоугольника.

Впрочем, последний факт доказывается таки интегралом.

@Alex5 · 20.09.2014, 23:39

Сообщение от fishec

найти объем n-мерной пирамиды

Частный случай, когда основание - (n-1)-мерный куб, одно из рёбер является высотой. V_n = (1/n)S h.

n=3. На рисунке: три грани куба, имеющие общую точку A, это основания пирамид. Точка B диаметрально противоположная - это вершина пирамид. Пирамиды равны.

Аналогично, для n-мерного куба. Имеется n граней, имеющих общую вершину. Получается разбиение n-мерного куба на n равных пирамид.

@Alex5 · 20.09.2014, 23:45

Далее можно разделить основание (квадрат) на два треугольника. И доказать, что объёмы получающихся пирамид равны.

@Cryptoff · 20.09.2014, 23:47

Простите, что не в тему, но... тут с трёхмерным пространством неразобраться, а ещё в n-мерное лезем)))

@palva · 20.09.2014, 23:53

Сообщение от Alex5

И доказать, что объёмы получающихся пирамид равны.

Без интеграла или принципа Кавальери не вижу, как.

Добавлено через 2 минуты
А, понял. Не ту диагональ провел. Но исходная задача требует другую диагональ.

Добавлено через 1 минуту
В n-мерном случае это будет уже не диагональ, а (n-2)-плоскость.

@Alex5 · 21.09.2014, 00:33

Сообщение от palva

Без интеграла или принципа Кавальери не вижу, как.

Да, в общем случае можно применить принципа Кавальери. Откуда следует, что объём один и тот же при заданных S и h.

Правильная 4-угольная пирамида. Куб делим на 6 правильных пирамид (вершина - центр куба, основания - грани куба).

Октаэдр разрежем на 8 правильных 3-угольных пирамид (таких, как в сообщении 1), или на 2 правильных 4-угольных пирамиды.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Модель микоризы: классовый агентный подход 3 anaschu 06.01.2026 aa0a7f55b50dd51c5ec569d2d10c54f6/ O1rJuneU_ls https:/ / vkvideo. ru/ video-115721503_456239114	Owen Logic: О недопустимости использования связки «аналоговый ПИД» + RegKZR ФедосеевПавел 06.01.2026 Owen Logic: О недопустимости использования связки «аналоговый ПИД» + RegKZR ВВЕДЕНИЕ Введу сокращения: аналоговый ПИД — ПИД регулятор с управляющим выходом в виде числа в диапазоне от 0% до. . .	Модель микоризы: классовый агентный подход 2 anaschu 06.01.2026 репозиторий https:/ / github. com/ shumilovas/ fungi ветка по-частям. коммит Create переделка под биомассу. txt вход sc, но sm считается внутри мицелия. кстати, обьем тоже должен там считаться. . . .	Расчёт токов в цепи постоянного тока igorrr37 05.01.2026 / * Дана цепь постоянного тока с сопротивлениями и напряжениями. Надо найти токи в ветвях. Программа составляет систему уравнений по 1 и 2 законам Кирхгофа и решает её. Последовательность действий:. . .
Новый CodeBlocs. Версия 25.03 palva 04.01.2026 Оказывается, недавно вышла новая версия CodeBlocks за номером 25. 03. Когда-то давно я возился с только что вышедшей тогда версией 20. 03. С тех пор я давно снёс всё с компьютера и забыл. Теперь. . .	Модель микоризы: классовый агентный подход anaschu 02.01.2026 Раньше это было два гриба и бактерия. Теперь три гриба, растение. И на уровне агентов добавится между грибами или бактериями взаимодействий. До того я пробовал подход через многомерные массивы,. . .	Советы по крайней бережливости. Внимание, это ОЧЕНЬ длинный пост. Programma_Boinc 28.12.2025 Советы по крайней бережливости. Внимание, это ОЧЕНЬ длинный пост. Налог на собак: https:/ / ********/ gallery/ V06K53e Финансовый отчет в Excel: https:/ / ********/ gallery/ bKBkQFf Пост отсюда. . .	Кто-нибудь знает, где можно бесплатно получить настольный компьютер или ноутбук? США. Programma_Boinc 26.12.2025 Нашел на реддите интересную статью под названием Anyone know where to get a free Desktop or Laptop? Ниже её машинный перевод. После долгих разбирательств я наконец-то вернула себе. . .

Найти объем n-мерной пирамиды

Решение

Решение

Решение

Решение

@fishec 126 / 125 / 62 Регистрация: 07.09.2013 Сообщений: 343

	Найти объем n-мерной пирамиды 18.09.2014, 17:40. Показов 12314. Ответов 16 Метки нет (Все метки) Помогите найти объем n-мерной пирамиды. Вершины пирамиды - начало координат и точки пересечения плоскости $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{1}+{x}_{2}+...+{x}_{n}=1$ c осями координат, то есть точки (1,0,0,...,0), (0,1,0,0,...,0), (0,0,1,0,0,..0),...,(0,0,...,0,1,0),(0,0 ,...,0,1) Пирамида образована n базисными единичными векторами, отложенными из начала координат. 0

@golatin 317 / 268 / 61 Регистрация: 12.10.2011 Сообщений: 434
	18.09.2014, 18:20
	$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}...\int_{0}^{1}\left({x}_{1}+{x}_{2}+...+{x}_{n} -1\right)d{x}_{1}d{x}_{2}...d{x}_{n}$ 1

@fishec 126 / 125 / 62 Регистрация: 07.09.2013 Сообщений: 343
	18.09.2014, 18:31 [ТС]
	golatin, Для трехмерного пространства получается ответ 1/2. А должен быть 1/6. Или я что-то не так считаю.. 1

@golatin 317 / 268 / 61 Регистрация: 12.10.2011 Сообщений: 434
	18.09.2014, 21:12
	Сообщение было отмечено fishec как решение Решение Вы правы, тогда так: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{1}\int_{0}^{(1-{x}_{1})} \int_{0}^{(1-{x}_{1}-{x}_{2})}.. \int_{0}^{(1-{x}_{1}-{x}_{2}-..-{x}_{n})}d{x}_{1}d{x}_{2}..d{x}_{n}$ при n=3: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{1}\int_{0}^{(1-x)} \int_{0}^{(1-x-y)}dzdydx=\int_{0}^{1}\int_{0}^{(1-x)}(1-x-y)dydx=\int_{0}^{1}\frac{{(1-x)}^{2}}{2}dx=\frac{1}{6}$ 1

@palva 4277 / 2969 / 693 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,924 Записей в блоге: 5
	18.09.2014, 23:58
	Сообщение было отмечено fishec как решение Решение Вообще формула есть. Можно посмотреть, как она выводится. Если задача по геометрии, а не по анализу, то предпочтительнее не использовать интегралы, а посмотреть как выводится формула. Ответ 1/n! 2

@fishec 126 / 125 / 62 Регистрация: 07.09.2013 Сообщений: 343
	19.09.2014, 02:47 [ТС]
	palva, а не подскажете, где можно посмотреть, как она выводится? Я искал, но ничего не нашел. 0

@AdmiralHood 477 / 280 / 90 Регистрация: 15.11.2013 Сообщений: 530
	19.09.2014, 04:06
	Сообщение было отмечено fishec как решение Решение Объём N-мерной пирамиды равен $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V_N =\frac{1}{N} S_NH,$ где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_N$ — «площадь основания», то есть объём (N-1)-мерной фигуры, которая лежит в основании N-пирамиды; $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?H$ — высота пирамиды. Ваш случай очень специфический. Это N-мерный тетраэдр с высотой 1, в основании которого лежит (N-1)-мерный тетраэдр с высотой 1, а в его основании, в свою очередь, лежит (N-1)-мерный тетраэдр с высотой 1 и т.д. Поэтому здесь можно записать рекуррентно: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V_N =\frac{1}{N} V_{N-1}H,$ . Если развернуть эту рекуррентность, получим: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V_N =\frac{1}{N} V_{N-1}H = \frac{1}{N(N-1)} V_{N-2}H = ... = \frac{1}{N(N-1)...3\cdot2} V_{1}H=\frac{1}{N!}$ . 1

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	19.09.2014, 08:39
	Сообщение было отмечено fishec как решение Решение fishec, если решение с применением анализа, то Тер-Крикоров, Шабунин "Курс математического анализа", стр.469. 1

@helter 4528 / 3522 / 358 Регистрация: 12.03.2013 Сообщений: 6,038
	19.09.2014, 18:48
	Кстати, всё равно там через интеграл. (У меня даже для трёхмерного пространства не хватит фантазии из тетраэдра нарезать параллелепипед.) 0

@AdmiralHood 477 / 280 / 90 Регистрация: 15.11.2013 Сообщений: 530
	20.09.2014, 17:16
	Если на пальцах, формула объёма пирамиды через площадь основания и высоту выводится так. Если рассечь пирамиду перпендикулярно высоте (параллельно основанию), то в сечении получим фигуру, подобную основанию с некоторым коэффициентом подобия k. Отношение площади сечения к площади основания будет равно $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k^{N-1}$ , так как основание является фигурой размерности N-1, а объёмы двух подобных X-мерных фигур относятся как коэффициент подобия в степени X. Получается, что объём от вершины к основанию нарастает как степенная функция степени N-1, а площадь фигуры, ограниченной такой степенной функцией равен 1/N от площади описанного прямоугольника. Впрочем, последний факт доказывается таки интегралом. 2

@Alex5 1130 / 789 / 232 Регистрация: 12.04.2010 Сообщений: 2,012
	20.09.2014, 23:45
	Далее можно разделить основание (квадрат) на два треугольника. И доказать, что объёмы получающихся пирамид равны. 0

@Cryptoff 9 / 10 / 2 Регистрация: 18.06.2013 Сообщений: 119
	20.09.2014, 23:47
	Простите, что не в тему, но... тут с трёхмерным пространством неразобраться, а ещё в n-мерное лезем))) 0