Найти объём пирамиды

@Jessy James · Регистрация: 24.06.2013

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Шар радиусом R вписан в правильную четырёхугольную пирамиду с двугранным углом при основании - a. Найти объём пирамиды.

@Klavdia · 12.01.2014, 18:28

V=(4(R(1+cosa))**3)/3cosa, где-то так, но могу ошибаться.

@Jessy James · 12.01.2014, 18:37 **[ТС]**

А не могли бы вы предоставить решение, пожалуйста? Ответ не так важен...

@Klavdia · 12.01.2014, 20:29

Я не умею тут писать формулы, поэтому на словах.

Плоскость сечения проходит через вершину пирамиды, центр основания и середину стороны основания. В сечении - равнобедренный тр-к, у которого известен радиус вписанной окр-ти и угол при основании. Обозначаете какой-то буквой основание, проводите высоту тр-ка (она же высота пирамиды), из подобия прямоуг. тр-ков выражаете эту высоту через основание, потом находите и высоту и основание через угол и радиус, потом - объём - по известной формуле.

@tarasso · 12.01.2014, 20:51

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=Rctg\frac{\alpha }{2};\; \; x=Rtg\alpha \\H=\sqrt{{R}^{2}+{x}^{2}}+R=\sqrt{{R}^{2}+{\left( Rtg\alpha\right) }^{2}}+R=R\left( \sqrt{1+{tg\alpha }^{2}}+1\right)=R\left(\frac{1}{\cos \alpha }+1 \right)=R\left(\frac{1+\cos \alpha }{\cos \alpha } \right)\\S={\left(2y \right)}^{2}=4{y}^{2}=4{\left(Rctg\frac{\alpha }{2} \right)}^{2}=4{R}^{2}{ctg}^{2}\left(\frac{\alpha }{2} \right)=4{R}^{2}\cdot \frac{1+\cos \alpha }{1-\cos \alpha }\\V=\frac{1}{3}SH=\frac{1}{3}\cdot4{R}^{2}\cdot \frac{1+\cos \alpha }{1-\cos \alpha } \cdot R\left(\frac{1+\cos \alpha }{\cos \alpha } \right)=\frac{4}{3}{R}^{3}\cdot \frac{{\left(1+\cos \alpha \right)}^{2}}{\cos \alpha \cdot \left(1-\cos \alpha \right)}$

@tarasso · 12.01.2014, 20:53

Рисунок к задаче

@jogano · 12.01.2014, 21:00

Нарисуйте пирамиду PABCD (P - вершина), обозначьте центр основания т. О, а центр вписанного шара - т. I. Проведите апофему PK к стороне АВ. Из точки I опустите перпендикуляр IL на апофему PK.
Итак, вам дано угол $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\angle PKO=\alpha$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?IO=IL=R$ .
Рассмотрим два прямоугольных треугольника $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\triangle KOI= \triangle KLI$ . Они равны по равным катетам $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?IO=IL$ и общей гипотенузе $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?IK$ . Тогда из острые углы напротив этих катетов тоже равны $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\angle IKO = \angle IKL = \frac{\alpha}{2}$ .
Из $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\triangle IKO :\: OK=\frac{IO}{tg\frac{\alpha}{2}}=\frac{R}{tg\frac{\alpha}{2}},\; OK=\frac{AB}{2}\Rightarrow S_{ABCD}=AB^2=\frac{4R^2}{tg^2\frac{\alpha}{2}}$ , а из $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\triangle POK :\: PO=OK\cdot tg\alpha = \frac{R\cdot tg\alpha}{tg\frac{\alpha}{2}}=\frac{2R}{1-tg^2\frac{\alpha}{2}}\Rightarrow V=\frac{S_{ABCD}PO}{3}=\frac{1}{3}\cdot \frac{4R^2}{tg^2\frac{\alpha}{2}}\cdot \frac{2R}{1-tg^2\frac{\alpha}{2}}=\frac{8R^3}{3}\cdot \frac{1}{\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}\cdot \left(1-\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha} \right)}=\frac{8R^3}{3}\cdot \frac{1}{\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}\cdot \frac{2\cos \alpha}{1+\cos \alpha}}=\frac{4R^3}{3}\cdot \frac{\left( 1+\cos\alpha\right)^2}{\cos \alpha \left( 1-\cos \alpha\alpha\right)}$

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Инструменты COM: Сохранение данный из VARIANT в файл и загрузка из файла в VARIANT bedvit 28.01.2026 Сохранение базовых типов COM и массивов (одномерных или двухмерных) любой вложенности (деревья) в файл, с возможностью выбора алгоритмов сжатия и шифрования. Часть библиотеки BedvitCOM Использованы. . .	Загрузка PNG с альфа-каналом на SDL3 для Android: с помощью SDL_LoadPNG (без SDL3_image) 8Observer8 28.01.2026 Содержание блога SDL3 имеет собственные средства для загрузки и отображения PNG-файлов с альфа-каналом и базовой работы с ними. В этой инструкции используется функция SDL_LoadPNG(), которая. . .	Загрузка PNG с альфа-каналом на SDL3 для Android: с помощью SDL3_image 8Observer8 27.01.2026 Содержание блога SDL3_image - это библиотека для загрузки и работы с изображениями. Эта пошаговая инструкция покажет, как загрузить и вывести на экран смартфона картинку с альфа-каналом, то есть с. . .	влияние грибов на сукцессию anaschu 26.01.2026 Бифуркационные изменения массы гриба происходят тогда, когда мы уменьшаем массу компоста в 10 раз, а скорость прироста биомассы уменьшаем в три раза. Скорость прироста биомассы может уменьшаться за. . .
Воспроизведение звукового файла с помощью SDL3_mixer при касании экрана Android 8Observer8 26.01.2026 Содержание блога SDL3_mixer - это библиотека я для воспроизведения аудио. В отличие от инструкции по добавлению текста код по проигрыванию звука уже содержится в шаблоне примера. Нужно только. . .	Установка Android SDK, NDK, JDK, CMake и т.д. 8Observer8 25.01.2026 Содержание блога Перейдите по ссылке: https:/ / developer. android. com/ studio и в самом низу страницы кликните по архиву "commandlinetools-win-xxxxxx_latest. zip" Извлеките архив и вы увидите. . .	Вывод текста со шрифтом TTF на Android с помощью библиотеки SDL3_ttf 8Observer8 25.01.2026 Содержание блога Если у вас не установлены Android SDK, NDK, JDK, и т. д. то сделайте это по следующей инструкции: Установка Android SDK, NDK, JDK, CMake и т. д. Сборка примера Скачайте. . .	Использование SDL3-callbacks вместо функции main() на Android, Desktop и WebAssembly 8Observer8 24.01.2026 Содержание блога Если вы откроете примеры для начинающих на официальном репозитории SDL3 в папке: examples, то вы увидите, что все примеры используют следующие четыре обязательные функции, а. . .

@Jessy James 3 / 4 / 0 Регистрация: 24.06.2013 Сообщений: 386

	Найти объём пирамиды 12.01.2014, 16:05. Показов 1162. Ответов 6 Метки нет (Все метки) Шар радиусом R вписан в правильную четырёхугольную пирамиду с двугранным углом при основании - a. Найти объём пирамиды. 0

@Klavdia 135 / 112 / 13 Регистрация: 03.06.2013 Сообщений: 270
	12.01.2014, 18:28
	V=(4(R(1+cosa))**3)/3cosa, где-то так, но могу ошибаться. 0

@Jessy James 3 / 4 / 0 Регистрация: 24.06.2013 Сообщений: 386
	12.01.2014, 18:37 [ТС]
	А не могли бы вы предоставить решение, пожалуйста? Ответ не так важен... 0

@Klavdia 135 / 112 / 13 Регистрация: 03.06.2013 Сообщений: 270
	12.01.2014, 20:29
	Я не умею тут писать формулы, поэтому на словах. Плоскость сечения проходит через вершину пирамиды, центр основания и середину стороны основания. В сечении - равнобедренный тр-к, у которого известен радиус вписанной окр-ти и угол при основании. Обозначаете какой-то буквой основание, проводите высоту тр-ка (она же высота пирамиды), из подобия прямоуг. тр-ков выражаете эту высоту через основание, потом находите и высоту и основание через угол и радиус, потом - объём - по известной формуле. 0

@tarasso 749 / 460 / 50 Регистрация: 13.05.2012 Сообщений: 963
	12.01.2014, 20:51
	$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=Rctg\frac{\alpha }{2};\; \; x=Rtg\alpha \\H=\sqrt{{R}^{2}+{x}^{2}}+R=\sqrt{{R}^{2}+{\left( Rtg\alpha\right) }^{2}}+R=R\left( \sqrt{1+{tg\alpha }^{2}}+1\right)=R\left(\frac{1}{\cos \alpha }+1 \right)=R\left(\frac{1+\cos \alpha }{\cos \alpha } \right)\\S={\left(2y \right)}^{2}=4{y}^{2}=4{\left(Rctg\frac{\alpha }{2} \right)}^{2}=4{R}^{2}{ctg}^{2}\left(\frac{\alpha }{2} \right)=4{R}^{2}\cdot \frac{1+\cos \alpha }{1-\cos \alpha }\\V=\frac{1}{3}SH=\frac{1}{3}\cdot4{R}^{2}\cdot \frac{1+\cos \alpha }{1-\cos \alpha } \cdot R\left(\frac{1+\cos \alpha }{\cos \alpha } \right)=\frac{4}{3}{R}^{3}\cdot \frac{{\left(1+\cos \alpha \right)}^{2}}{\cos \alpha \cdot \left(1-\cos \alpha \right)}$ 1

@tarasso 749 / 460 / 50 Регистрация: 13.05.2012 Сообщений: 963
	12.01.2014, 20:53
	Рисунок к задаче Миниатюры 1

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	12.01.2014, 21:00
	Нарисуйте пирамиду PABCD (P - вершина), обозначьте центр основания т. О, а центр вписанного шара - т. I. Проведите апофему PK к стороне АВ. Из точки I опустите перпендикуляр IL на апофему PK. Итак, вам дано угол $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\angle PKO=\alpha$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?IO=IL=R$ . Рассмотрим два прямоугольных треугольника $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\triangle KOI= \triangle KLI$ . Они равны по равным катетам $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?IO=IL$ и общей гипотенузе $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?IK$ . Тогда из острые углы напротив этих катетов тоже равны $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\angle IKO = \angle IKL = \frac{\alpha}{2}$ . Из $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\triangle IKO :\: OK=\frac{IO}{tg\frac{\alpha}{2}}=\frac{R}{tg\frac{\alpha}{2}},\; OK=\frac{AB}{2}\Rightarrow S_{ABCD}=AB^2=\frac{4R^2}{tg^2\frac{\alpha}{2}}$ , а из $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\triangle POK :\: PO=OK\cdot tg\alpha = \frac{R\cdot tg\alpha}{tg\frac{\alpha}{2}}=\frac{2R}{1-tg^2\frac{\alpha}{2}}\Rightarrow V=\frac{S_{ABCD}PO}{3}=\frac{1}{3}\cdot \frac{4R^2}{tg^2\frac{\alpha}{2}}\cdot \frac{2R}{1-tg^2\frac{\alpha}{2}}=\frac{8R^3}{3}\cdot \frac{1}{\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}\cdot \left(1-\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha} \right)}=\frac{8R^3}{3}\cdot \frac{1}{\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}\cdot \frac{2\cos \alpha}{1+\cos \alpha}}=\frac{4R^3}{3}\cdot \frac{\left( 1+\cos\alpha\right)^2}{\cos \alpha \left( 1-\cos \alpha\alpha\right)}$ 0