Координаты точки в повернутой системе координат

@jannne · Регистрация: 03.07.2012

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Добрый день, уважаемые участники!
Возникла такая задачка:
Из начала координат прямоугольной декартовой системы координат xyz вылетает частица в направлении, характеризуемом углами $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\theta }_{0}$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\varphi }_{0}$ . Она пролетает расстояние $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{L }_{0}$ и рассеивается в направлении, характеризуемом углами $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\theta$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi$ от своего первоначального направления (то есть углы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\theta$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi$ - это углы в системе координат x'y'z', у которой ось z' совпадает с вектором $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?({L}_{0}sin\theta cos\varphi ,{L}_{0}sin\theta sin\varphi, {L}_{0}cos\theta)$ ) и затем пролетает еще расстояние L. Найти координаты частицы в системе xyz.
Спасибо заранее.

@jogano · 13.11.2015, 20:52

Уточните, как направлены новые оси OX'+, OY'+?

@jannne · 16.11.2015, 12:49 **[ТС]**

Они перпендикулярны оси z' и между собой))
а большего я и не соображу..

@mathmichel · 16.11.2015, 13:16

Сообщение от jogano

Уточните, как направлены новые оси OX'+, OY'+?

Сообщение от jannne

Они перпендикулярны оси z' и между собой))
а большего я и не соображу.

Ось OX' в подвижной системе координат, которая была повернута на угол $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi$ вокруг 0Z, после рассеяния ещё повернется на угол $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi '$ , у нас получится третье направление 0X'' (т.е. исходная информация достаточна)

Добавлено через 6 минут
Ось OX' в подвижной системе координат, которая была повернута на угол $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi$ вокруг 0Z, после рассеяния ещё повернется на угол $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi '$ вокруг первоначального направления движения частицы, у нас получится третье направление 0X'' (т.е. исходная информация достаточна)

@jogano · 16.11.2015, 23:46

Давайте ещё раз определимся с новой системой координат. Представим себе, что вы лежите на земле и смотрите в небо, в направлении OZ, по правую руку у вас ось ОХ, и ОY направлена к ногам. Полетела частица под углами $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(\varphi _0;\theta _0 \right)$ ( $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi _0$ - угол между OX и проекцией вектора первоначального полёта частицы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{L_0}$ , отсчитываемый в направлении OY; $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\theta _0$ - угол между OZ и направлением $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{L_0}$ ). Вы поднялись на ноги и смотрите вдоль $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{L_0}$ , при этом новая ось OX' будет всё равно по правую руку, а новая ось OY' перпендикулярна OX' и OZ' с сохранением "правости" тройки новых ортов и их ортогональности (если частица полетела вверх, т.е. если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\theta _0<\frac{\pi}{2}$ , то новая OY' будет смотреть куда-то вниз-вперёд по отношению к направлению вашего взгляда).
Новая траектория полёта на расстояние L с углами $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(\varphi ;\theta \right)$ в новой системе координат.
Чтобы получить орты новой системы координат, делаем два последовательных поворота:
1) старую тройку ортов вращаем вокруг OZ на угол $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi _0-\frac{\pi}{2}$ в направлении от OX к OY, затем
2) вращаем полученную тройку ортов вокруг новой ОX' так, чтобы новая OZ' совпала с направлением $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{L_0}$
Если так сделать (учтите, порядок поворотом влияет на результирующую формулу), то вектор-столбец новых базисных векторов выражается через вектор-столбец старых базисных векторов (i,j,k) так:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E'^T=\begin{pmatrix}\bar{e'_1}\\ \bar{e'_2}\\ \bar{e'_2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sin \varphi _0 & -\cos \varphi _0 & 0\\ \cos \varphi _0 \cos \theta _0 & \sin \varphi _0 \cos \theta _0 & -\sin \theta _0\\ \cos \varphi _0 \sin \theta _0 & \sin \varphi _0 \sin \theta _0 & \cos \theta _0\end{pmatrix}E^T$
Если обозначить эту матрицу 3-го порядка через С (матрица перехода между базисами), то одна и та же точка (конец второго отрезка траектории) с координатами в новом базисе $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{x'}$ будет иметь в старом базисе координаты $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{x}=\bar{x'}C$
Чтобы получить конец второго отрезка полёта с учётом первого отрезка, нужно умножить вектор-строку $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?L\bar{\left(\cos \varphi \sin \theta ; \sin \varphi \sin \theta; \cos \theta\right)}$ на матрицу С и прибавить координаты конца первого куска траектории $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?L_0\bar{\left(\cos \varphi_0 \sin \theta_0 ; \sin \varphi_0 \sin \theta_0; \cos \theta_0 \right)}$
Это и будет ответ. Формулу окончательного ответа я не набиваю - реально долго.

@jannne · 17.11.2015, 12:23 **[ТС]**

Спасибо Вам огромное!

Сообщение от jogano

1) старую тройку ортов вращаем вокруг OZ на угол https://www.cyberforum.ru/cgi-... gi?\varphi _0-\frac{\pi}{2} в направлении от OX к OY, затем

А почему все-таки на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\varphi }_{0}-\pi /2$ , а не $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\varphi }_{0}$ ?
И Вы не могли бы написать, с помощью каких матриц поворота получена матрица С?

@jogano · 17.11.2015, 23:56

Нарисуйте рисунок и посмотрите, на какой угол и куда нужно вращать вокруг OZ, чтобы OY' (не OX' !) совпало с проекцией $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{L_0}$ на XOY.
Не мог бы. Время.

Добавлено через 8 часов 26 минут
jannne, нашлось время.
Матрица первого поворота
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}\cos\left(\varphi_0 -\frac{\pi}{2} \right) & \sin\left(\varphi_0 -\frac{\pi}{2} \right) & 0\\ -\sin\left(\varphi_0 -\frac{\pi}{2} \right) & \cos\left(\varphi_0 -\frac{\pi}{2} \right) & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sin \varphi_0 & -\cos \varphi_0 & 0\\ \cos \varphi_0 & \sin \varphi_0 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$
Матрица второго поворота
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & \cos \theta _0 & -\sin \theta _0\\ 0 & \sin \theta _0 & \cos \theta _0\end{pmatrix}$
При последовательных переходах между базисами ( $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E^T_{i+1}=C_iE^T_i, \: i=\bar{1,n}$ ) новые домножания делаются слева, т.е. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E^T_{n+1}=C_nC_{n-1}...C_2C_1E^T_1$

@jannne · 19.11.2015, 11:06 **[ТС]**

Еще раз спасибо!
Последний вопрос:
почему для получения координат в старом базисе надо строку х' умножать слева на С, а не столбец х' умножать справа на матрицу С?

@jogano · 19.11.2015, 11:37

Сообщение от jannne

почему для получения координат в старом базисе надо строку х' умножать слева на С, а не столбец х' умножать справа на матрицу С?

Уточнение обозначений постов #5 и #7: Если при векторе не пишется "Т", то я имею в виду строку. А если пишется - столбец.
Один и тот же вектор в старом базисе равен линейной комбинации $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{x}E^T$ (либо, что то же самое, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E\bar{x}^T$ ), а в новом базисе $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{x'}E'^T$ (или, что то же самое, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E'\bar{x'}^T$ ). Приравниваем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{x}E^T=\bar{x'}E'^T$ . Вместо $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E'^T$ подставляем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?CE^T$ и можно "сократить" на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E^T$ , вот и получаем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{x}=\bar{x'}C$ . Оно же равно $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{x}^T=C^T\bar{x'}^T$
Использовали правило транспонирования $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(AB \right)^T=B^TA^T$

Добавлено через 12 минут
Или вы имели в виду, почему так $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{x}C$ , а не так $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C\bar{x}$ ?
Правило умножения матриц: можно перемножать матрицы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(n\times k \right)\left(k\times m \right)=\left(n\times m \right)$ - средние размерности k должны быть одинаковы: вы умножаете СТРОКУ первой матрицы на СТОЛБЕЦ второй, а не наоборот. Поэтому и количество элементов в строке первой матрицы и столбце второй должно быть одинаковое - по 3. В вашем случае $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(1\times 3 \right)\left(3\times 3 \right)=\left(1\times 3 \right)$ - получили вектор-строку. Либо так: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(3\times 3 \right)\left(3\times 1 \right)=\left(3\times 1 \right)$ - получили вектор-столбец.

Добавлено через 2 минуты
В учебниках часто букву Т просто не пишут, а записывают $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A\bar{x}$ , но всё равно имеется в виду, что справа вектор-столбец, а не строка.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
SDL3 для Web (WebAssembly): Реализация движения на Box2D v3 - трение и коллизии с повёрнутыми стенами 8Observer8 20.02.2026 Содержание блога Box2D позволяет легко создать главного героя, который не проходит сквозь стены и перемещается с заданным трением о препятствия, которые можно располагать под углом, как верхнее. . .	Конвертировать закладки radiotray-ng в m3u-плейлист damix 19.02.2026 Это можно сделать скриптом для PowerShell. Использование . \СonvertRadiotrayToM3U. ps1 <path_to_bookmarks. json> Рядом с файлом bookmarks. json появится файл bookmarks. m3u с результатом. # Check if. . .	Семь CDC на одном интерфейсе: 5 U[S]ARTов, 1 CAN и 1 SSI Eddy_Em 18.02.2026 Постепенно допиливаю свою "многоинтерфейсную плату". Выглядит вот так: https:/ / www. cyberforum. ru/ blog_attachment. php?attachmentid=11617&stc=1&d=1771445347 Основана на STM32F303RBT6. На борту пять. . .	Камера Toupcam IUA500KMA Eddy_Em 12.02.2026 Т. к. у всяких "хикроботов" слишком уж мелкий пиксель, для подсмотра в ESPriF они вообще плохо годятся: уже 14 величину можно рассмотреть еле-еле лишь на экспозициях под 3 секунды (а то и больше),. . .
И ясному Солнцу zbw 12.02.2026 И ясному Солнцу, и светлой Луне. В мире покоя нет и люди не могут жить в тишине. А жить им немного лет.	«Знание-Сила» zbw 12.02.2026 «Знание-Сила» «Время-Деньги» «Деньги -Пуля»	SDL3 для Web (WebAssembly): Подключение Box2D v3, физика и отрисовка коллайдеров 8Observer8 12.02.2026 Содержание блога Box2D - это библиотека для 2D физики для анимаций и игр. С её помощью можно определять были ли коллизии между конкретными объектами и вызывать обработчики событий столкновения. . . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Загрузка PNG с прозрачным фоном с помощью SDL_LoadPNG (без SDL3_image) 8Observer8 11.02.2026 Содержание блога Библиотека SDL3 содержит встроенные инструменты для базовой работы с изображениями - без использования библиотеки SDL3_image. Пошагово создадим проект для загрузки изображения. . .

Координаты точки в повернутой системе координат

Решение

Решение

@jannne 137 / 137 / 21 Регистрация: 03.07.2012 Сообщений: 296

	Координаты точки в повернутой системе координат 13.11.2015, 17:29. Показов 3548. Ответов 8 Метки нет (Все метки) Добрый день, уважаемые участники! Возникла такая задачка: Из начала координат прямоугольной декартовой системы координат xyz вылетает частица в направлении, характеризуемом углами $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\theta }_{0}$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\varphi }_{0}$ . Она пролетает расстояние $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{L }_{0}$ и рассеивается в направлении, характеризуемом углами $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\theta$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi$ от своего первоначального направления (то есть углы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\theta$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi$ - это углы в системе координат x'y'z', у которой ось z' совпадает с вектором $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?({L}_{0}sin\theta cos\varphi ,{L}_{0}sin\theta sin\varphi, {L}_{0}cos\theta)$ ) и затем пролетает еще расстояние L. Найти координаты частицы в системе xyz. Спасибо заранее. 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	13.11.2015, 20:52
	Уточните, как направлены новые оси OX'+, OY'+? 0

@jannne 137 / 137 / 21 Регистрация: 03.07.2012 Сообщений: 296
	16.11.2015, 12:49 [ТС]
	Они перпендикулярны оси z' и между собой)) а большего я и не соображу.. 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	16.11.2015, 23:46
	Сообщение было отмечено jannne как решение Решение Давайте ещё раз определимся с новой системой координат. Представим себе, что вы лежите на земле и смотрите в небо, в направлении OZ, по правую руку у вас ось ОХ, и ОY направлена к ногам. Полетела частица под углами $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(\varphi _0;\theta _0 \right)$ ( $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi _0$ - угол между OX и проекцией вектора первоначального полёта частицы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{L_0}$ , отсчитываемый в направлении OY; $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\theta _0$ - угол между OZ и направлением $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{L_0}$ ). Вы поднялись на ноги и смотрите вдоль $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{L_0}$ , при этом новая ось OX' будет всё равно по правую руку, а новая ось OY' перпендикулярна OX' и OZ' с сохранением "правости" тройки новых ортов и их ортогональности (если частица полетела вверх, т.е. если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\theta _0<\frac{\pi}{2}$ , то новая OY' будет смотреть куда-то вниз-вперёд по отношению к направлению вашего взгляда). Новая траектория полёта на расстояние L с углами $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(\varphi ;\theta \right)$ в новой системе координат. Чтобы получить орты новой системы координат, делаем два последовательных поворота: 1) старую тройку ортов вращаем вокруг OZ на угол $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi _0-\frac{\pi}{2}$ в направлении от OX к OY, затем 2) вращаем полученную тройку ортов вокруг новой ОX' так, чтобы новая OZ' совпала с направлением $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{L_0}$ Если так сделать (учтите, порядок поворотом влияет на результирующую формулу), то вектор-столбец новых базисных векторов выражается через вектор-столбец старых базисных векторов (i,j,k) так: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E'^T=\begin{pmatrix}\bar{e'_1}\\ \bar{e'_2}\\ \bar{e'_2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sin \varphi _0 & -\cos \varphi _0 & 0\\ \cos \varphi _0 \cos \theta _0 & \sin \varphi _0 \cos \theta _0 & -\sin \theta _0\\ \cos \varphi _0 \sin \theta _0 & \sin \varphi _0 \sin \theta _0 & \cos \theta _0\end{pmatrix}E^T$ Если обозначить эту матрицу 3-го порядка через С (матрица перехода между базисами), то одна и та же точка (конец второго отрезка траектории) с координатами в новом базисе $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{x'}$ будет иметь в старом базисе координаты $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{x}=\bar{x'}C$ Чтобы получить конец второго отрезка полёта с учётом первого отрезка, нужно умножить вектор-строку $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?L\bar{\left(\cos \varphi \sin \theta ; \sin \varphi \sin \theta; \cos \theta\right)}$ на матрицу С и прибавить координаты конца первого куска траектории $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?L_0\bar{\left(\cos \varphi_0 \sin \theta_0 ; \sin \varphi_0 \sin \theta_0; \cos \theta_0 \right)}$ Это и будет ответ. Формулу окончательного ответа я не набиваю - реально долго. 1

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	17.11.2015, 23:56
	Нарисуйте рисунок и посмотрите, на какой угол и куда нужно вращать вокруг OZ, чтобы OY' (не OX' !) совпало с проекцией $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{L_0}$ на XOY. Не мог бы. Время. Добавлено через 8 часов 26 минут jannne, нашлось время. Матрица первого поворота $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}\cos\left(\varphi_0 -\frac{\pi}{2} \right) & \sin\left(\varphi_0 -\frac{\pi}{2} \right) & 0\\ -\sin\left(\varphi_0 -\frac{\pi}{2} \right) & \cos\left(\varphi_0 -\frac{\pi}{2} \right) & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sin \varphi_0 & -\cos \varphi_0 & 0\\ \cos \varphi_0 & \sin \varphi_0 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$ Матрица второго поворота $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & \cos \theta _0 & -\sin \theta _0\\ 0 & \sin \theta _0 & \cos \theta _0\end{pmatrix}$ При последовательных переходах между базисами ( $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E^T_{i+1}=C_iE^T_i, \: i=\bar{1,n}$ ) новые домножания делаются слева, т.е. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E^T_{n+1}=C_nC_{n-1}...C_2C_1E^T_1$ 1

@jannne 137 / 137 / 21 Регистрация: 03.07.2012 Сообщений: 296
	19.11.2015, 11:06 [ТС]
	Еще раз спасибо! Последний вопрос: почему для получения координат в старом базисе надо строку х' умножать слева на С, а не столбец х' умножать справа на матрицу С? 0