Какую наибольшую длину может иметь высота треугольника?

@Утконос · Регистрация: 22.11.2015

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

В параболу y=2x² вписан прямоугольный треугольник (то есть все вершины треугольника лежат на параболе), гипотенуза которого параллельна оси Ox. Какую наибольшую длину может иметь высота этого треугольника, опущенная на гипотенузу? Мне кажется 2.

@vlisp · 04.12.2015, 02:36

Сообщение от Утконос

Мне кажется 2.

Если гипотенуза горизонтальна, то треугольник равносторонний, а прямой угол лежит в точке (0,0 ; 0,0)
Имеем систему уравнений y = x и y=2x^2 откуда находим точку пересечения треугольника с параболой (0,5 ; 0,5)
и наконец длина катета равна $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\sqrt{2}}{ 2}$

@Klavdia · 04.12.2015, 09:34

Можно описать вокруг тр-ка окружность и поместить центр её в начало координат
x^2+y^2=r^2
Тогда парабола будет иметь вид
y=2x^2-b (b>0)
Имеем систему, сводящуюся к биквадратному уравнению с двумя неизвестными параметрами b и r. Из условия, гипотенуза лежит на диаметре окр-ти, т.е. на оси Х, поэтому максимальную пару корней (по абс. знач.) приравниваем r.
Откуда выражаем один параметр через другой.

Оставшийся корень выражаем уже через 1 параметр, и выражаем через него у, находим минимум функции y от параметра. (оставшегося)

@vlisp · 04.12.2015, 11:48

Сообщение от Klavdia

Можно описать вокруг тр-ка окружность и поместить центр её в начало координат

Окружность с центром в начале координат пересекает параболу в двух точках, поэтому вписанный в нее треугольник никак не может быть вписанным в параболу, что противоречит условию задачи

@Klavdia · 04.12.2015, 12:24

Сообщение от vlisp

Окружность с центром в начале координат пересекает параболу в двух точках, поэтому вписанный в нее треугольник никак не может быть вписанным в параболу, что противоречит условию задачи

...Биквадратное уравнение в общем случае имеет 4 корня

.....Может Вы не заметили параметр b?...
y=2x^2-b

@Alex5 · 04.12.2015, 14:06

Не по теме:

Сообщение от vlisp

Если гипотенуза горизонтальна, то треугольник равносторонний

vlisp, наверное, Вы имели в виду, равнобедренный ?

Не по теме:

Сообщение от Klavdia

Может Вы не заметили параметр b

Klavdia, откуда у Вас взялся параметр b ?

Сообщение от Утконос

В параболу y=2x² вписан прямоугольный треугольник

@Alex5 · 04.12.2015, 14:16

Сообщение от vlisp

а прямой угол лежит в точке (0,0 ; 0,0)

vlisp, это ещё надо доказать.

@Alex5 · 04.12.2015, 15:48

Получается такой результат. См. рис.

@Alex5 · 04.12.2015, 15:49

Не по теме:

Сообщение от Утконос

Мне кажется...

Утконос, для проверки можно нарисовать параболу, треугольник.

@kabenyuk · 04.12.2015, 18:54

Пусть А(х₁,у₁), В(х₂,у₂), С(х₃,у₃) - три точки вершины прямоугольного треугольника и гипотенуза АС.

По условию у₁=2x²₁, у₂=у₃=2x²₂ => x₃=-x₂.

Поскольку угол А прямой, то векторы АВ и АС ортогональны. Вычислив их координаты, а затем их скалярное произведение, получим 1+4(x²₁-x²₂)=0.

Расстояние от точки А до прямой ВС равно |2x²₁-2x²₂|. С учетом предыдущего это расстояние равно 1/2.

Это и есть искомый максимум высоты на гипотенузу. Он же и минимум. Других значений и быть не может. Кстати и рисунки абсолютно излишни, хотя и полезны.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Реалии Hrethgir 01.03.2026 Нет, я не закончил до сих пор симулятор. Эта задача сложнее. Не получилось уйти в плавсостав, но оно и к лучшему, возможно. Точнее получалось - но сварщиком в палубную команду, а это значит, в моём. . .	Ритм жизни kumehtar 27.02.2026 Иногда приходится жить в ритме, где дел становится всё больше, а вовлечения в происходящее — всё меньше. Плотный график не даёт вниманию закрепиться ни на одном событии. Утро начинается с быстрых,. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Сборка SDL3, Box2D, FreeType, SDL3_ttf, SDL3_mixer и SDL3_image из исходников с помощью CMake и Emscripten 8Observer8 27.02.2026 Недавно вышла версия 3. 4. 2 библиотеки SDL3. На странице официальной релиза доступны исходники, готовые DLL (для x86, x64, arm64), а также библиотеки для разработки под Android, MinGW и Visual Studio. . . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Реализация движения на Box2D v3 - трение и коллизии с повёрнутыми стенами 8Observer8 20.02.2026 Содержание блога Box2D позволяет легко создать главного героя, который не проходит сквозь стены и перемещается с заданным трением о препятствия, которые можно располагать под углом, как верхнее. . .
Конвертировать закладки radiotray-ng в m3u-плейлист damix 19.02.2026 Это можно сделать скриптом для PowerShell. Использование . \СonvertRadiotrayToM3U. ps1 <path_to_bookmarks. json> Рядом с файлом bookmarks. json появится файл bookmarks. m3u с результатом. # Check if. . .	Семь CDC на одном интерфейсе: 5 U[S]ARTов, 1 CAN и 1 SSI Eddy_Em 18.02.2026 Постепенно допиливаю свою "многоинтерфейсную плату". Выглядит вот так: https:/ / www. cyberforum. ru/ blog_attachment. php?attachmentid=11617&stc=1&d=1771445347 Основана на STM32F303RBT6. На борту пять. . .	Камера Toupcam IUA500KMA Eddy_Em 12.02.2026 Т. к. у всяких "хикроботов" слишком уж мелкий пиксель, для подсмотра в ESPriF они вообще плохо годятся: уже 14 величину можно рассмотреть еле-еле лишь на экспозициях под 3 секунды (а то и больше),. . .	И ясному Солнцу zbw 12.02.2026 И ясному Солнцу, и светлой Луне. В мире покоя нет и люди не могут жить в тишине. А жить им немного лет.

@Утконос 4 / 5 / 0 Регистрация: 22.11.2015 Сообщений: 143

	Какую наибольшую длину может иметь высота треугольника? 03.12.2015, 21:11. Показов 4159. Ответов 9 Метки нет (Все метки) В параболу y=2x² вписан прямоугольный треугольник (то есть все вершины треугольника лежат на параболе), гипотенуза которого параллельна оси Ox. Какую наибольшую длину может иметь высота этого треугольника, опущенная на гипотенузу? Мне кажется 2. 0

@Klavdia 135 / 112 / 13 Регистрация: 03.06.2013 Сообщений: 270
	04.12.2015, 09:34
	Можно описать вокруг тр-ка окружность и поместить центр её в начало координат x^2+y^2=r^2 Тогда парабола будет иметь вид y=2x^2-b (b>0) Имеем систему, сводящуюся к биквадратному уравнению с двумя неизвестными параметрами b и r. Из условия, гипотенуза лежит на диаметре окр-ти, т.е. на оси Х, поэтому максимальную пару корней (по абс. знач.) приравниваем r. Откуда выражаем один параметр через другой. Оставшийся корень выражаем уже через 1 параметр, и выражаем через него у, находим минимум функции y от параметра. (оставшегося) 0

@Alex5 1130 / 789 / 232 Регистрация: 12.04.2010 Сообщений: 2,012
	04.12.2015, 15:48
	Получается такой результат. См. рис. Миниатюры 1

@kabenyuk $Эксперт по математике/физике$ 4182 / 3052 / 918 Регистрация: 19.11.2012 Сообщений: 6,196
	04.12.2015, 18:54
	Пусть А(х₁,у₁), В(х₂,у₂), С(х₃,у₃) - три точки вершины прямоугольного треугольника и гипотенуза АС. По условию у₁=2x²₁, у₂=у₃=2x²₂ => x₃=-x₂. Поскольку угол А прямой, то векторы АВ и АС ортогональны. Вычислив их координаты, а затем их скалярное произведение, получим 1+4(x²₁-x²₂)=0. Расстояние от точки А до прямой ВС равно \|2x²₁-2x²₂\|. С учетом предыдущего это расстояние равно 1/2. Это и есть искомый максимум высоты на гипотенузу. Он же и минимум. Других значений и быть не может. Кстати и рисунки абсолютно излишни, хотя и полезны. 1