Прямая проходящая через точку и делящая 4х угольник на пропорциональные части

@lenarskiy · Регистрация: 11.06.2014

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

1. Дан 4х угольник, заданный 4 точками.
2. Дана точка P внутри него
3. Найти прямую, проходящую через точку P, которая делит противоположные стороны AB и DC на
пропорциональные части. Или найти пропорцию или соотношение деления или точку пересечения P-AB или P-DC
Картинка во вложении

iifat · 06.09.2016, 15:06

Найти точку пересечения других сторон и поискать подобные треугольники.

@lenarskiy · 06.09.2016, 15:09 **[ТС]**

iifat Каких других? AD и BC Можно подробнее?

iifat · 06.09.2016, 15:41

Сообщение от lenarskiy

AD и BC

Именно

@lenarskiy · 06.09.2016, 15:53 **[ТС]**

Можете по картинке пояснить?

iifat · 06.09.2016, 17:19

Не. Не могу. Ерунду написал. Думал, прямая пройдёт через точку пересечения. Ни фига.
Ну, тогда можно по координатам составить уравнение прямой и написать уравнения.

@lenarskiy · 06.09.2016, 17:24 **[ТС]**

Я тоже думал что пройдет, но как видно на рисунке она проходит, но не делит на пропорциональные части
Чтобы написать такое уравнение прямой надо учесть то что она должна пройти через 2 отрезка поделив их на пропорциональные части, а я не знаю как это записать в уравнении поэтому и обратился сюда

iifat · 06.09.2016, 17:32

Сообщение от lenarskiy

как это записать в уравнении

Последовательно.
Для начала записываем уравнение произвольной прямой, проходящей через точку P.
Потом берём отрезок AB и смотрим, в каком отношении она его делит.
Аналогично с CD.
Потом приравниваем эти два отношения.

@lenarskiy · 06.09.2016, 18:26 **[ТС]**

А можно попросить вывести эти формулы

, я далек от геометрии

@jogano · 06.09.2016, 21:54

lenarskiy, формулы довольно громоздкие, получаемые решением квадратного уравнения с коэффициентами в виде определителей второго порядка. Это задача совершенно не уровня человека, далёкого от геометрии. Откуда вы её взяли, раз далеки от геометрии? В какой форме вам даны исходные данные? - точки заданы геометрически или даны их координаты? Что значит "найти прямую"? - написать её уравнение или нарисовать её геометрическими методами. Это вопросы о том, нужно искать геометрическими методами или аналитически.

@lenarskiy · 06.09.2016, 22:07 **[ТС]**

jogano Исходные данные: A,B,C,D,P в формате (x,y)
Задача вышла в ходе реализации алгоритма для программы, как я и писал в самом начале нужно найти прямую (две точки через которые проходит прямая или уравнение прямой) или соотношение сторон или точку пересечения P-AB или P-DC. Аналитическим или геометрическим способом. Любой из этих вариантов меня устроит.

@jogano · 06.09.2016, 22:40

Чтобы решить вашу задачу, нужно решить уравнение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t\left(C-D \right)+u\left(A-D \right)+tu\left(B-A-C+D \right)=P-D$ относительно переменных t,u, причём $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t \in \left(0;1 \right)$ - доля левого отрезка во всём АВ (или во всём СД), а $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u \in \left(0;1 \right)$ - нижняя доля среднего отрезка через Р.
Найдя t, получаем верхнюю точку $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A+t\left(B-A \right)$ и нижнюю $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?D+t\left(C-D \right)$ .
Для конкретных координат ваших точек нелинейную систему 2*2 можно решить в Маткаде. Это не сложно. Сложно (громоздко) вывести формулу в общем виде, которую можно было бы переложить на язык программирования. Поэтому я и спросил, откуда такая задача.

@lenarskiy · 06.09.2016, 23:01 **[ТС]**

jogano c t все понятно, а вот что такое u не очень понял, одним уравнением находится также и соотношение по сторонам AD BC?

@jogano · 06.09.2016, 23:09

Уравнение не одно, а два. Коэффициенты уравнение - точки, т.е. упорядоченные двойки чисел. Одно уравнение с первыми координатами точек, второе со вторыми координатами. Получается система двух уравнений.
С u не поняли, потому что вы не все точки обозначили на рисунке поста #1 - пять обозначили, а ещё две не удосужились.

Не по теме:

У вас ещё ничего рисунок. Есть такие уникумы, которые рисуют техническую конструкцию (механизм) вообще без точек. И хотят, чтобы им нашли в общем виде закон движения. И НИ ОДНОГО буквенного обозначения. Пальцем, что ли, в экран им тыкать...

@lenarskiy · 06.09.2016, 23:19 **[ТС]**

Спасибо, завтра буду разбираться

Решал систему уравнений часа 2, потом бросил и решил попробовать геометрическим способом. Перепробовав различные варианты пришел к выводу, что задача решается очень легко, а именно в случае если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?AB,CD$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?AD,BC$ не параллельны (именно этот случай не мог решить), то проведя прямую через точку пересечения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?AB,CD$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P$ получаем отрезок $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?ad,bc$ , в котором расстояние $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?ad-P$ пропорционально искомому расстоянию $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A-E$
Если я не прав поправьте меня

iifat · 07.09.2016, 15:02

Сообщение от lenarskiy

расстояние $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?ad-P$ пропорционально искомому расстоянию $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A-E$

Шозахрень? Любые два расстояния, будучи числами, пропорциональны, вообще-то.

@lenarskiy · 07.09.2016, 15:11 **[ТС]**

iifat имел ввиду отношение длины отрезка $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?ad-P$ к длине отрезка $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?ad-bc$ такое же как и отношение длины отрезков $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A-E$ к $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?AB$

iifat · 07.09.2016, 16:32

Нет

@lenarskiy · 07.09.2016, 16:41 **[ТС]**

iifat Я привел картинки которые показывают, не доказывают а показывают что действительно это так, возможно с какой то погрешностью но совпадает, можете привести свои доводы кроме слова Нет?

@splen · 07.09.2016, 17:01

Условие принадлежности точек E, F и P одной прямой можно записать в виде

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{vmatrix} 1 & x_E & y_E\\ 1 & x_F & y_F\\ 1 & x_P & y_P \end{vmatrix} = 0,$

или

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{vmatrix} x_E - x_P & y_E - y_P\\ x_F - x_P & y_F - y_P \end{vmatrix} = 0.$

Точки E и F должны делить отрезки AB и DC в одном и том же отношении. Значит, при некотором $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda \in [0;1]$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_E = \lambda x_A + (1- \lambda) x_B, y_E = \lambda y_A + (1- \lambda) y_B, x_F = \lambda x_D + (1- \lambda) x_C, y_F = \lambda y_D + (1- \lambda) y_C.$

Тогда после подстановки этих выражений в определитель получается уравнение

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{vmatrix} \lambda (x_A - x_B) + x_B - x_P & \lambda (y_A - y_B) + y_B - y_P\\ \lambda (x_D - x_C) + x_C - x_P & \lambda (y_D - y_C) + y_C - y_P \end{vmatrix} = 0,$

которое можно записать в виде

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\det (\lambda \alpha + \beta) = 0,$

где

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha = \begin{pmatrix} x_A - x_B & y_A - y_B \\ x_D - x_C & y_D - y_C, \end{pmatrix}, \, \beta = \begin{pmatrix} x_B - x_P & y_B - y_P \\ x_C - x_P & y_C - y_P, \end{pmatrix}.$

После раскрытия определителя получается квадратное уравнение относительно $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a \lambda ^2 + b \lambda + c =0,$

где

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a = \det \alpha, b = \begin{vmatrix} \alpha_{11} & \beta_{12}\\ \alpha_{21} & \beta_{22}\end{vmatrix} + \begin{vmatrix} \beta_{11} & \alpha_{12}\\ \beta_{21} & \alpha_{22}\end{vmatrix}, c = \det \beta.$

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
SDL3 для Desktop (MinGW): Создаём пустое окно с нуля для 2D-графики на SDL3, Си и C++ 8Observer8 10.03.2026 Содержание блога Финальные проекты на Си и на C++: hello-sdl3-c. zip hello-sdl3-cpp. zip Результат:	Установка CMake и MinGW 13.1 для сборки С и C++ приложений из консоли и из Qt Creator в EXE 8Observer8 10.03.2026 Содержание блога MinGW - это коллекция инструментов для сборки приложений в EXE. CMake - это система сборки приложений. Здесь описаны базовые шаги для старта программирования с помощью CMake и. . .	Как дизайн сайта влияет на конверсию: 7 решений, которые реально повышают заявки Neotwalker 08.03.2026 Многие до сих пор воспринимают дизайн сайта как “красивую оболочку”. На практике всё иначе: дизайн напрямую влияет на то, оставит человек заявку или уйдёт через несколько секунд. Даже если у вас. . .	Модульная разработка через nuget packages DevAlt 07.03.2026 Сложившийся в . Net-среде способ разработки чаще всего предполагает монорепозиторий в котором находятся все исходники. При создании нового решения, мы просто добавляем нужные проекты и имеем. . .
Модульный подход на примере F# DevAlt 06.03.2026 В блоге дяди Боба наткнулся на такое определение: В этой книге («Подход, основанный на вариантах использования») Ивар утверждает, что архитектура программного обеспечения — это структуры,. . .	Управление камерой с помощью скрипта OrbitControls.js на Three.js: Вращение, зум и панорамирование 8Observer8 05.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере работает на Desktop и мобильных браузерах. Итоговый код: orbit-controls-threejs-js. zip. Сканируйте QR-код на мобильном. Вращайте камеру одним пальцем,. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Синхронизация спрайтов SDL3 и тел Box2D 8Observer8 04.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере. Итоговый код: finish-sync-physics-sprites-sdl3-c. zip На первой гифке отладочные линии отключены, а на второй включены:. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Идентификация объектов на Box2D v3 - использование userData и событий коллизий 8Observer8 02.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере. Итоговый код: finish-collision-events-sdl3-c. zip Сканируйте QR-код на мобильном и вы увидите, что появится джойстик для управления главным героем. . . .

@lenarskiy 0 / 0 / 0 Регистрация: 11.06.2014 Сообщений: 25

	Прямая проходящая через точку и делящая 4х угольник на пропорциональные части 06.09.2016, 14:59. Показов 2033. Ответов 40 Метки нет (Все метки) 1. Дан 4х угольник, заданный 4 точками. 2. Дана точка P внутри него 3. Найти прямую, проходящую через точку P, которая делит противоположные стороны AB и DC на пропорциональные части. Или найти пропорцию или соотношение деления или точку пересечения P-AB или P-DC Картинка во вложении Миниатюры 0

iifat 2903 / 1937 / 210 Регистрация: 05.06.2011 Сообщений: 5,712
	06.09.2016, 15:06
	Найти точку пересечения других сторон и поискать подобные треугольники. 0

@lenarskiy 0 / 0 / 0 Регистрация: 11.06.2014 Сообщений: 25
	06.09.2016, 15:09 [ТС]
	iifat Каких других? AD и BC Можно подробнее? 0

@lenarskiy 0 / 0 / 0 Регистрация: 11.06.2014 Сообщений: 25
	06.09.2016, 15:53 [ТС]
	Можете по картинке пояснить? Миниатюры 0

iifat 2903 / 1937 / 210 Регистрация: 05.06.2011 Сообщений: 5,712
	06.09.2016, 17:19
	Не. Не могу. Ерунду написал. Думал, прямая пройдёт через точку пересечения. Ни фига. Ну, тогда можно по координатам составить уравнение прямой и написать уравнения. 0

@lenarskiy 0 / 0 / 0 Регистрация: 11.06.2014 Сообщений: 25
	06.09.2016, 17:24 [ТС]
	Я тоже думал что пройдет, но как видно на рисунке она проходит, но не делит на пропорциональные части Чтобы написать такое уравнение прямой надо учесть то что она должна пройти через 2 отрезка поделив их на пропорциональные части, а я не знаю как это записать в уравнении поэтому и обратился сюда 0

@lenarskiy 0 / 0 / 0 Регистрация: 11.06.2014 Сообщений: 25
	06.09.2016, 18:26 [ТС]
	А можно попросить вывести эти формулы , я далек от геометрии 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	06.09.2016, 21:54
	lenarskiy, формулы довольно громоздкие, получаемые решением квадратного уравнения с коэффициентами в виде определителей второго порядка. Это задача совершенно не уровня человека, далёкого от геометрии. Откуда вы её взяли, раз далеки от геометрии? В какой форме вам даны исходные данные? - точки заданы геометрически или даны их координаты? Что значит "найти прямую"? - написать её уравнение или нарисовать её геометрическими методами. Это вопросы о том, нужно искать геометрическими методами или аналитически. 0

@lenarskiy 0 / 0 / 0 Регистрация: 11.06.2014 Сообщений: 25
	06.09.2016, 22:07 [ТС]
	jogano Исходные данные: A,B,C,D,P в формате (x,y) Задача вышла в ходе реализации алгоритма для программы, как я и писал в самом начале нужно найти прямую (две точки через которые проходит прямая или уравнение прямой) или соотношение сторон или точку пересечения P-AB или P-DC. Аналитическим или геометрическим способом. Любой из этих вариантов меня устроит. 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	06.09.2016, 22:40
	Чтобы решить вашу задачу, нужно решить уравнение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t\left(C-D \right)+u\left(A-D \right)+tu\left(B-A-C+D \right)=P-D$ относительно переменных t,u, причём $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t \in \left(0;1 \right)$ - доля левого отрезка во всём АВ (или во всём СД), а $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u \in \left(0;1 \right)$ - нижняя доля среднего отрезка через Р. Найдя t, получаем верхнюю точку $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A+t\left(B-A \right)$ и нижнюю $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?D+t\left(C-D \right)$ . Для конкретных координат ваших точек нелинейную систему 2*2 можно решить в Маткаде. Это не сложно. Сложно (громоздко) вывести формулу в общем виде, которую можно было бы переложить на язык программирования. Поэтому я и спросил, откуда такая задача. 0

@lenarskiy 0 / 0 / 0 Регистрация: 11.06.2014 Сообщений: 25
	06.09.2016, 23:01 [ТС]
	jogano c t все понятно, а вот что такое u не очень понял, одним уравнением находится также и соотношение по сторонам AD BC? 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	06.09.2016, 23:09
	Уравнение не одно, а два. Коэффициенты уравнение - точки, т.е. упорядоченные двойки чисел. Одно уравнение с первыми координатами точек, второе со вторыми координатами. Получается система двух уравнений. С u не поняли, потому что вы не все точки обозначили на рисунке поста #1 - пять обозначили, а ещё две не удосужились. Не по теме: У вас ещё ничего рисунок. Есть такие уникумы, которые рисуют техническую конструкцию (механизм) вообще без точек. И хотят, чтобы им нашли в общем виде закон движения. И НИ ОДНОГО буквенного обозначения. Пальцем, что ли, в экран им тыкать... 0

@lenarskiy 0 / 0 / 0 Регистрация: 11.06.2014 Сообщений: 25
	06.09.2016, 23:19 [ТС]
	Спасибо, завтра буду разбираться Решал систему уравнений часа 2, потом бросил и решил попробовать геометрическим способом. Перепробовав различные варианты пришел к выводу, что задача решается очень легко, а именно в случае если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?AB,CD$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?AD,BC$ не параллельны (именно этот случай не мог решить), то проведя прямую через точку пересечения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?AB,CD$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P$ получаем отрезок $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?ad,bc$ , в котором расстояние $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?ad-P$ пропорционально искомому расстоянию $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A-E$ Если я не прав поправьте меня Миниатюры 0

@lenarskiy 0 / 0 / 0 Регистрация: 11.06.2014 Сообщений: 25
	07.09.2016, 15:11 [ТС]
	iifat имел ввиду отношение длины отрезка $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?ad-P$ к длине отрезка $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?ad-bc$ такое же как и отношение длины отрезков $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A-E$ к $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?AB$ 0

iifat 2903 / 1937 / 210 Регистрация: 05.06.2011 Сообщений: 5,712
	07.09.2016, 16:32
	Нет 0

@lenarskiy 0 / 0 / 0 Регистрация: 11.06.2014 Сообщений: 25
	07.09.2016, 16:41 [ТС]
	iifat Я привел картинки которые показывают, не доказывают а показывают что действительно это так, возможно с какой то погрешностью но совпадает, можете привести свои доводы кроме слова Нет? 0

@splen 1728 / 1020 / 181 Регистрация: 03.06.2012 Сообщений: 1,220
	07.09.2016, 17:01
	Условие принадлежности точек E, F и P одной прямой можно записать в виде $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{vmatrix}<br /> 1 & x_E & y_E\\ <br /> 1 & x_F & y_F\\ <br /> 1 & x_P & y_P<br /> \end{vmatrix} = 0,$ или $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{vmatrix}<br /> x_E - x_P & y_E - y_P\\ <br /> x_F - x_P & y_F - y_P<br /> \end{vmatrix} = 0.$ Точки E и F должны делить отрезки AB и DC в одном и том же отношении. Значит, при некотором $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda \in [0;1]$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_E = \lambda x_A + (1- \lambda) x_B,<br /> y_E = \lambda y_A + (1- \lambda) y_B,<br /> x_F = \lambda x_D + (1- \lambda) x_C,<br /> y_F = \lambda y_D + (1- \lambda) y_C.$ Тогда после подстановки этих выражений в определитель получается уравнение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{vmatrix}<br /> \lambda (x_A - x_B) + x_B - x_P & \lambda (y_A - y_B) + y_B - y_P\\ <br /> \lambda (x_D - x_C) + x_C - x_P & \lambda (y_D - y_C) + y_C - y_P<br /> \end{vmatrix} = 0,$ которое можно записать в виде $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\det (\lambda \alpha + \beta) = 0,$ где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha = \begin{pmatrix}<br /> x_A - x_B & y_A - y_B \\ <br /> x_D - x_C & y_D - y_C,<br /> \end{pmatrix}, \, \beta = \begin{pmatrix}<br /> x_B - x_P & y_B - y_P \\ <br /> x_C - x_P & y_C - y_P,<br /> \end{pmatrix}.$ После раскрытия определителя получается квадратное уравнение относительно $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a \lambda ^2 + b \lambda + c =0,$ где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a = \det \alpha,<br /> b = \begin{vmatrix}<br /> \alpha_{11} & \beta_{12}\\ <br /> \alpha_{21} & \beta_{22}\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}<br /> \beta_{11} & \alpha_{12}\\ <br /> \beta_{21} & \alpha_{22}\end{vmatrix},<br /> c = \det \beta.$ 1