На прямой найти точку, одинаково удаленную от 2 точек

@lolalolli · Регистрация: 18.10.2016

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Пожалуйста, объясните ход действий, не понимаю, что делать. Подобные темы читала,не разобралась.
Дано: на прямой $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases} & \text{ } x+y-x=1 \\ & \text{ } 3x-7y+3z=11 \end{cases}$
найти точу,одинаково удаленную от двух данных точек А (1,0,-1) и B (-1,2,1)

С нормалями разобралась, N1(1,1,-1) N2 (3,-7,3)
Как дальше?

@Nacuott · 23.10.2016, 13:40

Уточните первое уравнение системы, определяющую прямую.?

@lolalolli · 23.10.2016, 13:43 **[ТС]**

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases} & \text{ } x+y-z=1 \\ & \text{ } 3x-7y+3z=11 \end{cases}$

Добавлено через 23 секунды
Случайно описалась, извините

@jogano · 23.10.2016, 14:28

1) Нужно найти параметрическое уравнение данной прямой в виде $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X=X_0+\bar{L}t, \: t \in R$ . $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{L}$ - направляющий вектор данной прямой, ищется из данных нормальных векторов как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{L}=\left[\bar{N_1},\bar{N_2} \right]$ или любой, ему коллинеарный. Выйдет (после деления векторного произведения на -2), $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{L}\left(2;3;5 \right)$ . Точка $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X_0$ , через которую проходит данная прямая ищется, например, подстановкой в данную систему вместо х значения 0 и поиском y и z, выйдет $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X_0\left(0;-\frac{7}{2};-\frac{9}{2} \right)$ (на прямой бесконечное число точек, и любая из них может служить начальной точкой $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X_0$ , это я взял такую точку, абсцисса которой равна 0).
2) Нужно для найденного уравнения прямой найти такое значение параметра t, чтобы выполнялось равенство $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left| X_0-A+\bar{L}t\right|=\left| X_0-B+\bar{L}t\right|$ . Возведя в квадрат и взаимоуничтожив слагаемые с t², получаем нужное значение параметра t: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t=\frac{\left|X_0-B \right|^2-\left|X_0-A \right|^2}{2\left(\bar{L},B-A \right)}$ , т.е. искомая точка на данной прямой будет $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X_0+\bar{L}\frac{\left|X_0-B \right|^2-\left|X_0-A \right|^2}{2\left(\bar{L},B-A \right)}$ . В числах это точка $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(3;1;3 \right)$
Проверка:
Эта точка лежит на данной прямой, так как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases}3+1-3=1 \\ 3\cdot 3-7 \cdot 1+3 \cdot 3=11 \end{cases}$
Расстояния до А и В от неё равны соответственно $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{\left(3-1 \right)^2+\left(1-0 \right)^2+\left(3+1 \right)^2}=\sqrt{21}$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{\left(3+1 \right)^2+\left(1-2 \right)^2+\left(3-1 \right)^2}=\sqrt{21}$

@Nacuott · 23.10.2016, 16:14

...

@Nacuott · 23.10.2016, 16:15

Можно сделать по-проще.
См.картинку

@Excalibur921 · 23.10.2016, 16:53

Можно сделать сложней:
Найти точку ближайшую на прямой к A будет A0, тоже B будет A1.
Есть уравнение кривой Безье 1 ст ( прямая по 2 точкам в 3д). Подставляет t получаем точку на прямой A2(t).
Теперь минимизируем разность квадратов расстояний(или расстояний) от точки на прямой A2(t) до A и B.
Минимизировать f(t)=dist(A,A2)- dist(B,A2) получим t, подставляем в Безье 1 ст получаем координаты A2

@lolalolli · 23.10.2016, 18:17 **[ТС]**

Спасибо большое за разъяснение, всё поняла, очень благодарна!!

Добавлено через 29 минут
И вы не подскажете, откуда именно берется формула N= B-A/2? она как-то выводится или просто это дело принять как данность? думала,что будет поиск через векторное произведение на основе системы,но там не то выходит.

@Nacuott · 23.10.2016, 18:38

N=(B-A) так определяется вектор, который направлен от точки А к точке В. Разделил его на два, чтобы координаты были поменьше.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Переходник USB-CAN-GPIO Eddy_Em 20.03.2026 Достаточно давно на работе возникла необходимость в переходнике CAN-USB с гальваноразвязкой, оный и был разработан. Однако, все меня терзала совесть, что аж 48-ногий МК используется так тупо: просто. . .	Оттенки серого Argus19 18.03.2026 Оттенки серого Нашёл в интернете 3 прекрасных модуля: Модуль класса открытия диалога открытия/ сохранения файла на Win32 API; Модуль класса быстрого перекодирования цветного изображения в оттенки. . .	SDL3 для Desktop (MinGW): Рисуем цветные прямоугольники с помощью рисовальщика SDL3 на Си и C++ 8Observer8 17.03.2026 Содержание блога Финальные проекты на Си и на C++: finish-rectangles-sdl3-c. zip finish-rectangles-sdl3-cpp. zip	Символические и жёсткие ссылки в Linux. algri14 15.03.2026 Существует два типа ссылок — символические и жёсткие. Ссылка в Linux — это запись в каталоге, которая может указывать либо на inode «файла-ИСТОЧНИКА», тогда это будет «жёсткая ссылка» (hard link),. . .
[Owen Logic] Поддержание уровня воды в резервуаре количеством включённых насосов: моделирование и выбор регулятора ФедосеевПавел 14.03.2026 Поддержание уровня воды в резервуаре количеством включённых насосов: моделирование и выбор регулятора ВВЕДЕНИЕ Выполняя задание на управление насосной группой заполнения резервуара,. . .	делаю науч статью по влиянию грибов на сукцессию anaschu 13.03.2026 прикрепляю статью	SDL3 для Desktop (MinGW): Создаём пустое окно с нуля для 2D-графики на SDL3, Си и C++ 8Observer8 10.03.2026 Содержание блога Финальные проекты на Си и на C++: hello-sdl3-c. zip hello-sdl3-cpp. zip Результат:	Установка CMake и MinGW 13.1 для сборки С и C++ приложений из консоли и из Qt Creator в EXE 8Observer8 10.03.2026 Содержание блога MinGW - это коллекция инструментов для сборки приложений в EXE. CMake - это система сборки приложений. Здесь описаны базовые шаги для старта программирования с помощью CMake и. . .

@lolalolli 0 / 0 / 0 Регистрация: 18.10.2016 Сообщений: 5

	На прямой найти точку, одинаково удаленную от 2 точек 23.10.2016, 12:06. Показов 8604. Ответов 8 Метки нет (Все метки) Пожалуйста, объясните ход действий, не понимаю, что делать. Подобные темы читала,не разобралась. Дано: на прямой $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases} & \text{ } x+y-x=1 \\ & \text{ } 3x-7y+3z=11 \end{cases}$ найти точу,одинаково удаленную от двух данных точек А (1,0,-1) и B (-1,2,1) С нормалями разобралась, N1(1,1,-1) N2 (3,-7,3) Как дальше? 0

@Nacuott 1835 / 1029 / 193 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 3,089 Записей в блоге: 12
	23.10.2016, 13:40
	Уточните первое уравнение системы, определяющую прямую.? 0

@lolalolli 0 / 0 / 0 Регистрация: 18.10.2016 Сообщений: 5
	23.10.2016, 13:43 [ТС]
	$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases} & \text{ } x+y-z=1 \\ & \text{ } 3x-7y+3z=11 \end{cases}$ Добавлено через 23 секунды Случайно описалась, извините 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	23.10.2016, 14:28
	1) Нужно найти параметрическое уравнение данной прямой в виде $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X=X_0+\bar{L}t, \: t \in R$ . $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{L}$ - направляющий вектор данной прямой, ищется из данных нормальных векторов как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{L}=\left[\bar{N_1},\bar{N_2} \right]$ или любой, ему коллинеарный. Выйдет (после деления векторного произведения на -2), $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{L}\left(2;3;5 \right)$ . Точка $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X_0$ , через которую проходит данная прямая ищется, например, подстановкой в данную систему вместо х значения 0 и поиском y и z, выйдет $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X_0\left(0;-\frac{7}{2};-\frac{9}{2} \right)$ (на прямой бесконечное число точек, и любая из них может служить начальной точкой $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X_0$ , это я взял такую точку, абсцисса которой равна 0). 2) Нужно для найденного уравнения прямой найти такое значение параметра t, чтобы выполнялось равенство $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\| X_0-A+\bar{L}t\right\|=\left\| X_0-B+\bar{L}t\right\|$ . Возведя в квадрат и взаимоуничтожив слагаемые с t², получаем нужное значение параметра t: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t=\frac{\left\|X_0-B \right\|^2-\left\|X_0-A \right\|^2}{2\left(\bar{L},B-A \right)}$ , т.е. искомая точка на данной прямой будет $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X_0+\bar{L}\frac{\left\|X_0-B \right\|^2-\left\|X_0-A \right\|^2}{2\left(\bar{L},B-A \right)}$ . В числах это точка $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(3;1;3 \right)$ Проверка: Эта точка лежит на данной прямой, так как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases}3+1-3=1 \\ 3\cdot 3-7 \cdot 1+3 \cdot 3=11 \end{cases}$ Расстояния до А и В от неё равны соответственно $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{\left(3-1 \right)^2+\left(1-0 \right)^2+\left(3+1 \right)^2}=\sqrt{21}$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{\left(3+1 \right)^2+\left(1-2 \right)^2+\left(3-1 \right)^2}=\sqrt{21}$ 0

@Nacuott 1835 / 1029 / 193 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 3,089 Записей в блоге: 12
	23.10.2016, 16:14
	... 0

@Nacuott 1835 / 1029 / 193 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 3,089 Записей в блоге: 12
	23.10.2016, 16:15
	Сообщение было отмечено lolalolli как решение Решение Можно сделать по-проще. См.картинку Миниатюры 1

@Excalibur921 1472 / 827 / 140 Регистрация: 12.10.2013 Сообщений: 5,456
	23.10.2016, 16:53
	Можно сделать сложней: Найти точку ближайшую на прямой к A будет A0, тоже B будет A1. Есть уравнение кривой Безье 1 ст ( прямая по 2 точкам в 3д). Подставляет t получаем точку на прямой A2(t). Теперь минимизируем разность квадратов расстояний(или расстояний) от точки на прямой A2(t) до A и B. Минимизировать f(t)=dist(A,A2)- dist(B,A2) получим t, подставляем в Безье 1 ст получаем координаты A2 0

@lolalolli 0 / 0 / 0 Регистрация: 18.10.2016 Сообщений: 5
	23.10.2016, 18:17 [ТС]
	Спасибо большое за разъяснение, всё поняла, очень благодарна!! Добавлено через 29 минут И вы не подскажете, откуда именно берется формула N= B-A/2? она как-то выводится или просто это дело принять как данность? думала,что будет поиск через векторное произведение на основе системы,но там не то выходит. 0

@Nacuott 1835 / 1029 / 193 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 3,089 Записей в блоге: 12
	23.10.2016, 18:38
	N=(B-A) так определяется вектор, который направлен от точки А к точке В. Разделил его на два, чтобы координаты были поменьше. 0

На прямой найти точку, одинаково удаленную от 2 точек

Решение