О решении задач по аналитической геометрии

@iamkettle · Регистрация: 15.11.2016

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Здравствуйте!

Я студент первого курса технического университета. Не так давно мы прошли матрицы и сейчас занимаемся аналитической геометрией, которая показалась мне довольно интересной, как и, впрочем, многое в математике, и я решил немного углубиться в её изучение. Решая задачи, я столкнулся с тем, что далеко не каждую задачу мне удаётся решить без черчения графиков и прочих визуальных репрезентаций, а ведь суть аналитической геометрии как раз в том, чтобы обходиться только аналитическими методами!

Например, задача: составить уравнения прямых, равноудалённых от трёх точек A1(1,2), A2(3,0), A3(-4,-5). Конечно, имея какой-то опыт в решении подобных задач, вам не понадобится чертёж, ведь вы уже имеете представление об используемых методах, но что, если вы не только не решали подобных задач, но и с аналитической геометрией-то едва знакомы? Тогда я разместил точки на плоскость и получил такую картину. Далее я увидел, что если соединить две любые точки отрезком и найти координаты его центра, то можно построить прямую, проходящую через этот центр и рядом с третьей точкой на расстоянии, равном половине известного отрезка, а дальше я не продвинулся (описывать последующие действия не стану, потому что все они лишь соображения без теоретического основания).

Внимание, вопросы:
1. Возможно ли (в наиболее распространённом случае) полностью абстрагироваться от использования чертежей в решении задач по аналитической геометрии?
2. Что нужно знать для решения большинства задач? Как то: формулы, свойства и т.д.
3. Как вы решаете задачи по аналитиеской геометрии?

Спасибо!

Байт · 15.11.2016, 19:02

iamkettle, Что касается конкретной вашей задачи, то на плоскости равноудаленной от трех точек будет не прямая, а точка. А именно, центр описанной окружности. Возможно, все ваши трудности от того, что вы пытались решить заведомо неразрешимую задачу.
Теперь вопросы.
1. Как правило, да. Если мне приходится делать чертеж к задаче, значит у меня слабые знания и опыт в этом разделе аналитической геометрии. Но это вовсе не означает, что делать чертежи запрещается.
2. Понимание и опыт.
3. Сороконожку как-то спросили - "С какой ноги ту начинаешь свой бег?". Она задумалась. Вот так и стоит до сих пор на месте. Можно, я не буду отвечать на ваш вопрос?

@Nacuott · 15.11.2016, 19:54

iamkettle , дело обстоит так.
Чертеж можно не делать, но в вашем мозгу должен быть "чертеж" -план решения.
Без этого-никак. Аналитическая геометрия - это только аппарат, инструмент, которым вы пользуетесь.

@jogano · 15.11.2016, 22:59

iamkettle,
1) Может быть, но я обычно рисунок делаю. Например, чтобы видеть, какие векторы через какие выражаются. Ну или как минимум представить себе это в голове. С головы, собственно, всё и начинается.
2) Если речь идёт о точках, прямых и плоскостях, то векторы, в частности, скалярное и векторное произведения (и смешанное), понимать их геометрический смысл; арифметические операции с векторами (и геометрически как сложить-вычесть два вектора, и аналитически). Определитель матрицы 2*2 и 3*3, часто придётся приравнивать его к нулю, и нужно понимать, что это означает, когда он равен нулю. В задачах с этими тремя объектами лучше оперировать векторами, чем уравнениями (особенно чем квадратными). Если возникает линейная система 2*2 и особенно 3*3, быстрее решить её через обратные матрицы, чем Крамером или Гауссом, особенно если коэффициенты уравнений - конкретные числа, а не какие-то выражения от параметров. Да и матричный способ программируется проще. В Матлабе, например, который заточен под матрицы и операции с ними.
3) Ну, ... интуиция, опыт. Такой общий вопрос...

Добавлено через 49 минут
Вот на примере вашей задачи. Есть три точки, найти равноудалённую точку (дело происходит в XOY). Можно делать так: неизвестная точка Х, раз она равноудалена, то давайте-ка приравняем расстояния от неё до А, В, С (а лучше квадраты расстояний) и будем решать систему:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases}\rho ^2\left(X,A \right)=\rho ^2\left(X,B \right)\\ \rho ^2\left(X,A \right)=\rho ^2\left(X,C \right)\end{cases} \: \Leftrightarrow \: \begin{cases}\left(x-x_a \right)^2+\left(y-y_a \right)^2=\left(x-x_b \right)^2+\left(y-y_b \right)^2\\ \left(x-x_a \right)^2+\left(y-y_a \right)^2=\left(x-x_c \right)^2+\left(y-y_c \right)^2\end{cases}$
После раскрытия скобок квадраты поуничтожаются, получится линейная система 2*2. Но это ручные действия - скобки раскрывать, переносить, и этот процесс сложно автоматизировать.
А можно записать поизящнее, составив уравнения серединных перпендикуляров для отрезков АВ и ВС и найдя их пересечение. Уравнение первого серединного перпендикуляра $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{A+B}{2}+\bar{AB}_{\perp}u, \: u \in R$ , второго $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{B+C}{2}+\bar{BC}_{\perp}v, \: v \in R$ . Приравниваем, получаем линейную систему для переменных u,v:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{AB}_{\perp}u-\bar{BC}_{\perp}v=\frac{C-A}{2}$ , которая записывается в матричной форме так:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{\left(u,v \right)}\begin{pmatrix}\bar{AB}_{\perp}\\ -\bar{BC}_{\perp}\end{pmatrix}=\frac{C-A}{2}$ и решается через обратную матрицу так:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{\left(u,v \right)}=\frac{C-A}{2}\begin{pmatrix}\bar{AB}_{\perp}\\ -\bar{BC}_{\perp}\end{pmatrix}^{-1}$
Насчёт перпендикулярных векторов: чтобы получить перпендикулярный к данному вектору (в плоскости), нужно поменять местами координаты данного вектора и в одной из них изменить знак. Т.е. к вектору (1;2) перпендикулярный будет (-2;1) или любой, ему коллинеарный. Вот этот метод легко кодируется на Матлабе:

Кликните здесь для просмотра всего текста

Matlab M
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
>> A=[1 2];
>> B=[3 0];
>> C=[-4 -5];
>> AB_p=[A(2)-B(2) B(1)-A(1)];
>> BC_p=[B(2)-C(2) C(1)-B(1)];
>> UV=(C-A)/2*inv([AB_p; -BC_p]) % вектор-строка искомых переменных u и v
 
UV =
 
   -1.4583   -0.0833
 
>> % дальше подставляем перевое значение (это u) в уравнение первого серединного перепендикуляра
>> X=(A+B)/2+AB_p*UV(1)
 
X =
 
   -0.9167   -1.9167
 
>> % проверка: нахождение расстояний XA, XB, XC
>> norm(X-A)
 
ans =
 
    4.3605
 
>> norm(X-B)
 
ans =
 
    4.3605
 
>> norm(X-C)
 
ans =
 
    4.3605
 
>> % расстояния равны, задача решена правильно

Добавлено через 33 минуты
P.S. А если ещё и знать, что для того чтобы получить перпендикулярный вектор, нужно исходный вектор строку умножить на матрицу поворота на 90 градусов $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix}$ , или на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ в зависимости от того, в каком направлении поворачиваем - то вообще здорово.
И тогда можно в Матлабе не составлять вручную перпендикулярные векторы, а записать сразу после координат исходных точек

Matlab M
1
UV=(C-A)/2*inv([B-A; B-C]*[0 1; -1 0])

И подставить по-другому:

Matlab M
1
X=(A+B)/2+(B-A)*[0 1; -1 0]*UV(1)

@iamkettle · 17.11.2016, 21:09 **[ТС]**

jogano, спасибо за настолько развернутый ответ, мнения важны

Впечатляющее решение, конечно, но Ваши старания пропадут — в задании сказано найти именно прямые, а не точку. В моем понимании, эти прямые будут лежать так, что для каждой точки перпендикуляры (которые есть кратчайшие расстояния) до данной прямой одинаковы. Я пытался построить решение, исходя из данного свойства, но достиг только того, что нашел координаты центра отрезка от точки один до точки два. Тогда, если учесть, что при любом повороте прямой расстояния от нее до точек не изменяются (в чем я не уверен), то остается лишь найти такой угловой коэффицент, при котором расстояния от прямой до оставшейся третьей точки будет равен расстояниям до других точек, но как это сделать, я не знаю. Все-таки, перебор всех возможных K не вполне математическое решение...
P.S. Предполагаю также, что для каждой третьей точки существуют две такие прямые

@jogano · 17.11.2016, 21:27

iamkettle, понятно, перечитал ещё раз условие - вам нужны уравнения средних линий треугольника А₁A₂A₃.
В параметрической форме:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X=\frac{A_2+A_3}{2}+\bar{A_1A_2}u\\X=\frac{A_1+A_2}{2}+\bar{A_1A_3}u\\X=\frac{A_1+A_2}{2}+\bar{A_2A_3}u, \; u \in R\\$
В общем виде уравнение первой прямой $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(y_2-y_1 \right)\left(x-\frac{x_2+x_3}{2} \right)-\left(x_2-x_1 \right)\left(y-\frac{y_2+y_3}{2} \right)=0$

Байт · 17.11.2016, 22:03

Сообщение от Байт

на плоскости равноудаленной от трех точек будет не прямая, а точка. А именно, центр описанной окружности.

Да, я тоже неправильно прочел условие задачи...

@iamkettle · 18.11.2016, 17:27 **[ТС]**

jogano, всё гениальное — просто! Большое спасибо!
Действительно, нужно лишь знать свойства геометрических фигур...

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Архитектура слоя интернета для сервера-слоя. Hrethgir 11.04.2026 В продолжение https:/ / www. cyberforum. ru/ blogs/ 223907/ 10860. html Знаешь что я подумал? Раз мы все источники пишем в голове ветки, то ничего не мешает добавить в голову такой источник, который сам. . .	Подстановка значения реквизита справочника в табличную часть документа Maks 10.04.2026 Алгоритм из решения ниже реализован на примере нетипового документа "ПланированиеПерсонала", разработанного в конфигурации КА2. Задача: при выборе сотрудника (справочник Сотрудники) в ТЧ документа. . .	Очистка реквизитов документа при копировании Maks 09.04.2026 Алгоритм из решения ниже применим как для типовых, так и для нетиповых документов на самых различных конфигурациях. Задача: при копировании документа очищать определенные реквизиты и табличную. . .	модель ЗдравоСохранения 8. Подготовка к разному выполнению заданий anaschu 08.04.2026 https:/ / github. com/ shumilovas/ med2. git main ветка * содержимое блока дэлэй из старой модели теперь внутри зайца новой модели 8ATzM_2aurI
Блокировка документа от изменений, если он открыт у другого пользователя Maks 08.04.2026 Алгоритм из решения ниже реализован на примере нетипового документа, разработанного в конфигурации КА2. Задача: запретить редактирование документа, если он открыт у другого пользователя. / / . . .	Система безопасности+живучести для сервера-слоя интернета (сети). Двойная привязка. Hrethgir 08.04.2026 Далее были размышления о системе безопасности. Сообщения с наклонным текстом - мои. А как нам будет можно проверить, что ссылка наша, а не подделана хулиганами, которая выбросит на другую ветку и. . .	Модель ЗдрввоСохранения 7: больше работников, больше ресурсов. anaschu 08.04.2026 работников и заданий может быть сколько угодно, но настроено всё так, что используется пока что только 20% kYBz3eJf3jQ	Дальние перспективы сервера - слоя сети с космологическим дизайном интефейса карты и логики. Hrethgir 07.04.2026 Дальнейшее ближайшее планирование вывело к размышлениям над дальними перспективами. И вот тут может быть даже будут нужны оценки специалистов, так как в дальних перспективах всё может очень сильно. . .

@iamkettle 0 / 0 / 0 Регистрация: 15.11.2016 Сообщений: 4

	О решении задач по аналитической геометрии 15.11.2016, 16:12. Показов 1420. Ответов 7 Метки нет (Все метки) Здравствуйте! Я студент первого курса технического университета. Не так давно мы прошли матрицы и сейчас занимаемся аналитической геометрией, которая показалась мне довольно интересной, как и, впрочем, многое в математике, и я решил немного углубиться в её изучение. Решая задачи, я столкнулся с тем, что далеко не каждую задачу мне удаётся решить без черчения графиков и прочих визуальных репрезентаций, а ведь суть аналитической геометрии как раз в том, чтобы обходиться только аналитическими методами! Например, задача: составить уравнения прямых, равноудалённых от трёх точек A1(1,2), A2(3,0), A3(-4,-5). Конечно, имея какой-то опыт в решении подобных задач, вам не понадобится чертёж, ведь вы уже имеете представление об используемых методах, но что, если вы не только не решали подобных задач, но и с аналитической геометрией-то едва знакомы? Тогда я разместил точки на плоскость и получил такую картину. Далее я увидел, что если соединить две любые точки отрезком и найти координаты его центра, то можно построить прямую, проходящую через этот центр и рядом с третьей точкой на расстоянии, равном половине известного отрезка, а дальше я не продвинулся (описывать последующие действия не стану, потому что все они лишь соображения без теоретического основания). Внимание, вопросы: 1. Возможно ли (в наиболее распространённом случае) полностью абстрагироваться от использования чертежей в решении задач по аналитической геометрии? 2. Что нужно знать для решения большинства задач? Как то: формулы, свойства и т.д. 3. Как вы решаете задачи по аналитиеской геометрии? Спасибо! 0

Байт Диссидент 27714 / 17332 / 3810 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,978
	15.11.2016, 19:02
	iamkettle, Что касается конкретной вашей задачи, то на плоскости равноудаленной от трех точек будет не прямая, а точка. А именно, центр описанной окружности. Возможно, все ваши трудности от того, что вы пытались решить заведомо неразрешимую задачу. Теперь вопросы. 1. Как правило, да. Если мне приходится делать чертеж к задаче, значит у меня слабые знания и опыт в этом разделе аналитической геометрии. Но это вовсе не означает, что делать чертежи запрещается. 2. Понимание и опыт. 3. Сороконожку как-то спросили - "С какой ноги ту начинаешь свой бег?". Она задумалась. Вот так и стоит до сих пор на месте. Можно, я не буду отвечать на ваш вопрос? 1

@Nacuott 1836 / 1030 / 193 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 3,114 Записей в блоге: 12
	15.11.2016, 19:54
	iamkettle , дело обстоит так. Чертеж можно не делать, но в вашем мозгу должен быть "чертеж" -план решения. Без этого-никак. Аналитическая геометрия - это только аппарат, инструмент, которым вы пользуетесь. 0

@iamkettle 0 / 0 / 0 Регистрация: 15.11.2016 Сообщений: 4
	17.11.2016, 21:09 [ТС]
	jogano, спасибо за настолько развернутый ответ, мнения важны Впечатляющее решение, конечно, но Ваши старания пропадут — в задании сказано найти именно прямые, а не точку. В моем понимании, эти прямые будут лежать так, что для каждой точки перпендикуляры (которые есть кратчайшие расстояния) до данной прямой одинаковы. Я пытался построить решение, исходя из данного свойства, но достиг только того, что нашел координаты центра отрезка от точки один до точки два. Тогда, если учесть, что при любом повороте прямой расстояния от нее до точек не изменяются (в чем я не уверен), то остается лишь найти такой угловой коэффицент, при котором расстояния от прямой до оставшейся третьей точки будет равен расстояниям до других точек, но как это сделать, я не знаю. Все-таки, перебор всех возможных K не вполне математическое решение... P.S. Предполагаю также, что для каждой третьей точки существуют две такие прямые 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	17.11.2016, 21:27
	Сообщение было отмечено iamkettle как решение Решение iamkettle, понятно, перечитал ещё раз условие - вам нужны уравнения средних линий треугольника А₁A₂A₃. В параметрической форме: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X=\frac{A_2+A_3}{2}+\bar{A_1A_2}u\\X=\frac{A_1+A_2}{2}+\bar{A_1A_3}u\\X=\frac{A_1+A_2}{2}+\bar{A_2A_3}u, \; u \in R\\$ В общем виде уравнение первой прямой $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(y_2-y_1 \right)\left(x-\frac{x_2+x_3}{2} \right)-\left(x_2-x_1 \right)\left(y-\frac{y_2+y_3}{2} \right)=0$ 2

@iamkettle 0 / 0 / 0 Регистрация: 15.11.2016 Сообщений: 4
	18.11.2016, 17:27 [ТС]
	jogano, всё гениальное — просто! Большое спасибо! Действительно, нужно лишь знать свойства геометрических фигур... 0

О решении задач по аналитической геометрии

Решение