Задачка из математической олимпиады

@dmkh · Регистрация: 21.09.2017

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Пожалуйста помогите с решением следующей задачи или, хотя бы, подскажите в каком направлении копать. Спасибо заранее!

Углы пятиконечной звезды таким образом лежат на сторонах квадрата ABCD с длиной стороны равной 1, что вершины двух её углов совпадают с точками A и D. Внутри других сторон квадрата: AB, BC, CD располагаются остальные углы этой звезды. Площадь центрального пятиугольника звезды равна 1/12. Вычислить сумму площадей треугольников, закрашенных серым.

@jogano · 21.09.2017, 20:26

Обозначим длины, на которые делятся стороны, кроме левой:
нижняя сторона квадрата на длины a и 1-a,
верхняя на b и 1-b,
правая на c и 1-c.
Сложим площади 4-х треугольников: левого с вершиной D (площадью а/2), левого с вершиной А (площадью b/2), нижнего (площадью c/2), верхнего (площадью (1-с)/2 ) и площадь правой трапеции ((1-a)+(1-b))/2*1=(2-a-b)/2.
Получим в сумме $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_{grey}+2S_{white}=\frac{a}{2}+\frac{b}{2}+\frac{c}{2}+\frac{1-c}{2}+\frac{2-a-b}{2}=\frac{3}{2}$
С другой стороны, площадь всего квадрата равна $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_{grey}+S_{white}+\frac{1}{12}=1$
Вычтем из 1-го уравнения 2-е, получаем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_{white}=\frac{7}{12}$ , тогда из 2-го уравнения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_{grey}=\frac{11}{12}-\frac{7}{12}=\frac{1}{3}$
Всё.

@Nacuott · 21.09.2017, 21:23

jogano, что-то я не понял?
В сумме, составляющей серую площадь два треугольника учитываются три раза, значит сумма будет больше серой площади? См.картинку.

@dmkh · 21.09.2017, 21:46 **[ТС]**

Классно!!! Ещё раз огромное спасибо Вам за помощь!

@jogano · 21.09.2017, 22:47

Сообщение от Nacuott

что-то я не понял?

Я тоже. Ваши цифры.
Проверил только что ещё раз на рисунке - при переборе 4-х треугольников и трапеции и выставлении галочек в каждой непересекающийся области при подключении очередной из этих 5-и фигур на серых областях стоИт по одной галочке, на белых областях (кроме центрального 5-угольника) по две. Возможно, вы брали не те треугольники. Если бы ТС удосужился, кроме вершин квадрата, обозвать как-нибудь и три точки на его сторонах (внутренние не нужны), разночтений не было бы.

@Nacuott · 22.09.2017, 07:21

jogano, нужно брать сумму всех прямоугольных треугольников.
Я их видел и раньше, но взял остроугольные-левый верхний и нижний (случайно) т.к. не указывалось какие взять конкретно.
На свежую голову виднее

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
SDL3 для Web (WebAssembly): Реализация движения на Box2D v3 - трение и коллизии с повёрнутыми стенами 8Observer8 20.02.2026 Содержание блога Box2D позволяет легко создать главного героя, который не проходит сквозь стены и перемещается с заданным трением о препятствия, которые можно располагать под углом, как верхнее. . .	Конвертировать закладки radiotray-ng в m3u-плейлист damix 19.02.2026 Это можно сделать скриптом для PowerShell. Использование . \СonvertRadiotrayToM3U. ps1 <path_to_bookmarks. json> Рядом с файлом bookmarks. json появится файл bookmarks. m3u с результатом. # Check if. . .	Семь CDC на одном интерфейсе: 5 U[S]ARTов, 1 CAN и 1 SSI Eddy_Em 18.02.2026 Постепенно допиливаю свою "многоинтерфейсную плату". Выглядит вот так: https:/ / www. cyberforum. ru/ blog_attachment. php?attachmentid=11617&stc=1&d=1771445347 Основана на STM32F303RBT6. На борту пять. . .	Камера Toupcam IUA500KMA Eddy_Em 12.02.2026 Т. к. у всяких "хикроботов" слишком уж мелкий пиксель, для подсмотра в ESPriF они вообще плохо годятся: уже 14 величину можно рассмотреть еле-еле лишь на экспозициях под 3 секунды (а то и больше),. . .
И ясному Солнцу zbw 12.02.2026 И ясному Солнцу, и светлой Луне. В мире покоя нет и люди не могут жить в тишине. А жить им немного лет.	«Знание-Сила» zbw 12.02.2026 «Знание-Сила» «Время-Деньги» «Деньги -Пуля»	SDL3 для Web (WebAssembly): Подключение Box2D v3, физика и отрисовка коллайдеров 8Observer8 12.02.2026 Содержание блога Box2D - это библиотека для 2D физики для анимаций и игр. С её помощью можно определять были ли коллизии между конкретными объектами и вызывать обработчики событий столкновения. . . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Загрузка PNG с прозрачным фоном с помощью SDL_LoadPNG (без SDL3_image) 8Observer8 11.02.2026 Содержание блога Библиотека SDL3 содержит встроенные инструменты для базовой работы с изображениями - без использования библиотеки SDL3_image. Пошагово создадим проект для загрузки изображения. . .

@dmkh 0 / 0 / 0 Регистрация: 21.09.2017 Сообщений: 2

	Задачка из математической олимпиады 21.09.2017, 19:16. Показов 1118. Ответов 5 Метки нет (Все метки) Пожалуйста помогите с решением следующей задачи или, хотя бы, подскажите в каком направлении копать. Спасибо заранее! Углы пятиконечной звезды таким образом лежат на сторонах квадрата ABCD с длиной стороны равной 1, что вершины двух её углов совпадают с точками A и D. Внутри других сторон квадрата: AB, BC, CD располагаются остальные углы этой звезды. Площадь центрального пятиугольника звезды равна 1/12. Вычислить сумму площадей треугольников, закрашенных серым. Миниатюры 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	21.09.2017, 20:26
	Сообщение было отмечено dmkh как решение Решение Обозначим длины, на которые делятся стороны, кроме левой: нижняя сторона квадрата на длины a и 1-a, верхняя на b и 1-b, правая на c и 1-c. Сложим площади 4-х треугольников: левого с вершиной D (площадью а/2), левого с вершиной А (площадью b/2), нижнего (площадью c/2), верхнего (площадью (1-с)/2 ) и площадь правой трапеции ((1-a)+(1-b))/2*1=(2-a-b)/2. Получим в сумме $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_{grey}+2S_{white}=\frac{a}{2}+\frac{b}{2}+\frac{c}{2}+\frac{1-c}{2}+\frac{2-a-b}{2}=\frac{3}{2}$ С другой стороны, площадь всего квадрата равна $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_{grey}+S_{white}+\frac{1}{12}=1$ Вычтем из 1-го уравнения 2-е, получаем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_{white}=\frac{7}{12}$ , тогда из 2-го уравнения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_{grey}=\frac{11}{12}-\frac{7}{12}=\frac{1}{3}$ Всё. 2

@Nacuott 1833 / 1027 / 192 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 3,084 Записей в блоге: 12
	21.09.2017, 21:23
	jogano, что-то я не понял? В сумме, составляющей серую площадь два треугольника учитываются три раза, значит сумма будет больше серой площади? См.картинку. Миниатюры 0

@dmkh 0 / 0 / 0 Регистрация: 21.09.2017 Сообщений: 2
	21.09.2017, 21:46 [ТС]
	Классно!!! Ещё раз огромное спасибо Вам за помощь! 0

@Nacuott 1833 / 1027 / 192 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 3,084 Записей в блоге: 12
	22.09.2017, 07:21
	jogano, нужно брать сумму всех прямоугольных треугольников. Я их видел и раньше, но взял остроугольные-левый верхний и нижний (случайно) т.к. не указывалось какие взять конкретно. На свежую голову виднее 0

Задачка из математической олимпиады

Решение