Найдите угол в треугольнике по трём данным биссектрисам

@dim10102806 · Регистрация: 04.12.2017

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Отрезки АК и ВМ - биссектрисы треугольника АВС. Найдите угол ВАС, если луч КМ - биссектриса угла АКС

@jogano · 08.03.2018, 17:49

120^о.
Обозначьте углы исходного треугольника $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\angle A=\alpha, \: \angle B=\beta$ и стороны а, b, c.
Используя свойство биссектрисы (разбиение противолежащей стороны), найдите отрезки, на которые разбиваются стороны ВС и АС точками К и М соответственно.
В треугольнике АКС КМ биссектриса, поэтому в нём будет то же разбиение, откуда длина биссектрисы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?AK=\frac{bc}{b+c}$
Из треугольника АКВ угол АКВ выражается через $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\beta$ , а из него угол АКМ.
Из нижнего треугольника АКС выражается угол С, который оказывается равным $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\beta$ . Т.о., исходный треугольник равнобедренный, т.е. b=c, откуда АК=b/2. Значит, в равнобедренном треугольнике АВС АК - биссектриса и высота, равная b/2, значит $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\alpha}{2}=60^\circ$ , значит $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha=120^\circ$

@dim10102806 · 08.03.2018, 20:12 **[ТС]**

Скажите, пожалуйста, как вы получили АК=вс/(в+с)?

@jogano · 08.03.2018, 20:20

Сообщение от dim10102806

Скажите, пожалуйста, как вы получили АК=вс/(в+с)?

Сообщение от jogano

Используя свойство биссектрисы (разбиение противолежащей стороны)

Предполагается, что вам не всё расписывают, а вы и сами прилагаете усилия.

@dim10102806 · 08.03.2018, 20:23 **[ТС]**

Ок, а под свойством биссектрисы вы подразумевали, например, ВК=СК*с/b или какое-то другое?

@jogano · 08.03.2018, 20:32

Конечно его, какое же ещё...

@mathmichel · 08.03.2018, 22:27

Увы, треугольник АВС не обязан быть равнобедренным, хотя ответ остается тот же самый - 120 градусов.

@jogano · 08.03.2018, 22:36

mathidiot, точно...
Тогда применим формулу для длины биссектрисы (АК) по 1-му признаку равенства треугольников:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?AK=\frac{2bc}{b+c} \cdot \cos \frac{\alpha }{2}=\frac{bc}{b+c}$

@mathmichel · 08.03.2018, 23:01

Отличное решение, хотя не люблю тригонометрию в геометрических доказательствах, но это тот случай, когда она оказывается к месту - решение практически в одну строчку!

@splen · 08.03.2018, 23:05

М - точка пересечения биссектрисы внутреннего угла В и внешнего угла К треугольника АВК.
Следовательно, луч АМ - биссектриса внешнего угла А того же треугольника. Значит,
развёрнутый угол А делится на три равные части лучами АК и АМ.

@mathmichel · 08.03.2018, 23:17

Да, супер-решение в духе И.Ф.Шарыгина (задача Шебаршина)

@dim10102806 · 09.03.2018, 15:40 **[ТС]**

Спасибо!

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Как дизайн сайта влияет на конверсию: 7 решений, которые реально повышают заявки Neotwalker 08.03.2026 Многие до сих пор воспринимают дизайн сайта как “красивую оболочку”. На практике всё иначе: дизайн напрямую влияет на то, оставит человек заявку или уйдёт через несколько секунд. Даже если у вас. . .	Модульная разработка через nuget packages DevAlt 07.03.2026 Сложившийся в . Net-среде способ разработки чаще всего предполагает монорепозиторий в котором находятся все исходники. При создании нового решения, мы просто добавляем нужные проекты и имеем. . .	Модульный подход на примере F# DevAlt 06.03.2026 В блоге дяди Боба наткнулся на такое определение: В этой книге («Подход, основанный на вариантах использования») Ивар утверждает, что архитектура программного обеспечения — это структуры,. . .	Управление камерой с помощью скрипта OrbitControls.js на Three.js: Вращение, зум и панорамирование 8Observer8 05.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере работает на Desktop и мобильных браузерах. Итоговый код: orbit-controls-threejs-js. zip. Сканируйте QR-код на мобильном. Вращайте камеру одним пальцем,. . .
SDL3 для Web (WebAssembly): Синхронизация спрайтов SDL3 и тел Box2D 8Observer8 03.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере. Итоговый код: finish-sync-physics-sprites-sdl3-c. zip На первой гифке отладочные линии отключены, а на второй включены:. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Идентификация объектов на Box2D v3 - использование userData и событий коллизий 8Observer8 02.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере. Итоговый код: finish-collision-events-sdl3-c. zip Сканируйте QR-код на мобильном и вы увидите, что появится джойстик для управления главным героем. . . .	Реалии Hrethgir 01.03.2026 Нет, я не закончил до сих пор симулятор. Эта задача сложнее. Не получилось уйти в плавсостав, но оно и к лучшему, возможно. Точнее получалось - но сварщиком в палубную команду, а это значит, в моём. . .	Ритм жизни kumehtar 27.02.2026 Иногда приходится жить в ритме, где дел становится всё больше, а вовлечения в происходящее — всё меньше. Плотный график не даёт вниманию закрепиться ни на одном событии. Утро начинается с быстрых,. . .

Найдите угол в треугольнике по трём данным биссектрисам

Решение

Решение

@dim10102806 1 / 1 / 7 Регистрация: 04.12.2017 Сообщений: 74

	Найдите угол в треугольнике по трём данным биссектрисам 08.03.2018, 15:42. Показов 4253. Ответов 11 Метки нет (Все метки) Отрезки АК и ВМ - биссектрисы треугольника АВС. Найдите угол ВАС, если луч КМ - биссектриса угла АКС 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	08.03.2018, 17:49
	120^о. Обозначьте углы исходного треугольника $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\angle A=\alpha, \: \angle B=\beta$ и стороны а, b, c. Используя свойство биссектрисы (разбиение противолежащей стороны), найдите отрезки, на которые разбиваются стороны ВС и АС точками К и М соответственно. В треугольнике АКС КМ биссектриса, поэтому в нём будет то же разбиение, откуда длина биссектрисы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?AK=\frac{bc}{b+c}$ Из треугольника АКВ угол АКВ выражается через $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\beta$ , а из него угол АКМ. Из нижнего треугольника АКС выражается угол С, который оказывается равным $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\beta$ . Т.о., исходный треугольник равнобедренный, т.е. b=c, откуда АК=b/2. Значит, в равнобедренном треугольнике АВС АК - биссектриса и высота, равная b/2, значит $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\alpha}{2}=60^\circ$ , значит $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha=120^\circ$ Миниатюры 0

@dim10102806 1 / 1 / 7 Регистрация: 04.12.2017 Сообщений: 74
	08.03.2018, 20:12 [ТС]
	Скажите, пожалуйста, как вы получили АК=вс/(в+с)? 0

@dim10102806 1 / 1 / 7 Регистрация: 04.12.2017 Сообщений: 74
	08.03.2018, 20:23 [ТС]
	Ок, а под свойством биссектрисы вы подразумевали, например, ВК=СК*с/b или какое-то другое? 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	08.03.2018, 20:32
	Конечно его, какое же ещё... 0

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 11074 / 7375 / 3990 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 16,811
	08.03.2018, 22:27
	Увы, треугольник АВС не обязан быть равнобедренным, хотя ответ остается тот же самый - 120 градусов. Миниатюры 1

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	08.03.2018, 22:36
	mathidiot, точно... Тогда применим формулу для длины биссектрисы (АК) по 1-му признаку равенства треугольников: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?AK=\frac{2bc}{b+c} \cdot \cos \frac{\alpha }{2}=\frac{bc}{b+c}$ 1

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 11074 / 7375 / 3990 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 16,811
	08.03.2018, 23:01
	Отличное решение, хотя не люблю тригонометрию в геометрических доказательствах, но это тот случай, когда она оказывается к месту - решение практически в одну строчку! 0

@splen 1728 / 1020 / 181 Регистрация: 03.06.2012 Сообщений: 1,220
	08.03.2018, 23:05
	Сообщение было отмечено dim10102806 как решение Решение М - точка пересечения биссектрисы внутреннего угла В и внешнего угла К треугольника АВК. Следовательно, луч АМ - биссектриса внешнего угла А того же треугольника. Значит, развёрнутый угол А делится на три равные части лучами АК и АМ. 3

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 11074 / 7375 / 3990 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 16,811
	08.03.2018, 23:17
	Сообщение было отмечено dim10102806 как решение Решение Да, супер-решение в духе И.Ф.Шарыгина (задача Шебаршина) 1

@dim10102806 1 / 1 / 7 Регистрация: 04.12.2017 Сообщений: 74
	09.03.2018, 15:40 [ТС]
	Спасибо! 0