Найти угол в треугольнике

@chelovechek- · Регистрация: 16.10.2015

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Уважаемые форумчане, вынуждена прибегнуть к вашей помощи. Не решается задача. Наверно, с подвохом.
И сумма углов в треугольнике и теорема синусов не помогают ...
К сообщению прикреплю фото.

magirus · 31.10.2016, 21:14

может соизволите полностью напечатать условие?

@chelovechek- · 31.10.2016, 21:26 **[ТС]**

Да мне не сложно. Сейчас напишу.
Думала, по картинке удобней информацию воспринимать.

Есть равнобедренный треугольник ABC с основанием AC и углом B, равным 20°.
Из угла А под углом 50° к основанию проведен отрезок к стороне BC.
Из угла С под углом 60° к основанию проведен отрезок к стороне АВ.
Отрезки пересекают стороны треугольника в точках Е и К.
Е на стороне АВ, К на стороне ВС.
Найти угол КЕС.

@jogano · 31.10.2016, 23:51

Хорошая задачка....
Посмотрите на мой рисунок. На нём есть соотношение между частями третьей стороны треугольника, на которые она разбивается внутренним отрезком, в зависимости от величины прилежащий углов $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha ,\beta$ и углов $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\gamma _1 ,\gamma _2$ , составляющих третий угол треугольника. Это соотношение получается из теоремы синусов для двух этих малых треугольников, если ввести длину внутреннего отрезка (например, 1).
В вашей задаче есть два таких треугольника BEC и BAC с общей стороной BC, которая разбивается в одном и том же отношении отрезками EK и AK соответственно. Углы этих треугольников BEC и BAC найти легко. При вершине E один угол х, тогда другой 140-х градусов. Запишите пропорцию с синусами из моего рисунка для двух этих треугольников. Получите тригонометрическое уравнение относительно х. Путём некоторых тригонометрических упрощений выйдет
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\sin \left(140^{\circ}-x \right)}{\sin x}=2 \cos 20^{\circ}$ , откуда
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sin \left(140^{\circ}-x \right)=\sin \left(x-20^{\circ} \right)+\sin \left(x+20^{\circ} \right)\\\sin \left(140^{\circ}-x \right)-\sin \left(x-20^{\circ} \right)=\sin \left(x+20^{\circ} \right)$
Теперь посмотрите на тригонометрическое тождество на моём рисунке. Сумма углов слева на нём равна 120 градусов. В последнем соотношении слева тоже разность синусов с суммой углов 120 градусов, откуда легко ищется $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha =80^{\circ}-x$ . Значит, по тождеству, левая разность синусов равна $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sin\left( 80^{\circ}-x\right)$ . И справа синус через х, откуда х=30 градусов.

@Nacuott · 01.11.2016, 00:08

Эта задача имеется у авторов Г.С.М.Кокстер,С.Л.Грейтцер НОВЫЕ ВСТРЕЧИ С ГЕОМЕТРИЕЙ.
Там эта задача решается без уравнений и вычислений.

@chelovechek- · 01.11.2016, 17:15 **[ТС]**

Сообщение от jogano

Запишите пропорцию с синусами из моего рисунка для двух этих треугольников. Получите тригонометрическое уравнение относительно х. Путём некоторых тригонометрических упрощений выйдет
, откуда

у меня получилось sin(140-x)/sinx = sin80/sin20 - 1

как из этого получить 2cos20 ?

@jogano · 01.11.2016, 17:31

chelovechek-, знание тригонометрии...
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\sin 80^{\circ}}{\sin 20^{\circ}}-1=\frac{\sin 80^{\circ}-\sin 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ}}=\frac{2\cos 50^{\circ}\cdot \sin 30^{\circ}}{\sin 20^{\circ}}=\frac{\cos 50^{\circ}}{\sin 20^{\circ}}=\frac{\sin 40^{\circ}}{\sin 20^{\circ}}=\frac{2\sin 20^{\circ} \cdot \cos 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ}}=2\cos 20^{\circ}$

Добавлено через 9 минут
Или так:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\cos 10^{\circ}}{2\sin 10^{\circ}\cos 10^{\circ}}-1=\frac{1}{2\sin 10^{\circ}}-1=\frac{1-2\sin 10^{\circ}}{2\sin 10^{\circ}}=\left|\frac{:2}{:2} \right|=\frac{\sin 30^{\circ}-\sin 10^{\circ}}{\sin 10^{\circ}}=\frac{2\cos 20^{\circ} \cdot \sin 10^{\circ}}{\sin 10^{\circ}}=2\cos 20^{\circ}$

@chelovechek- · 01.11.2016, 20:54 **[ТС]**

Сижу весь вечер вникаю ....
Всё сходится, всё получается, всё понятно, но

как мне догадаться, что 2sinx•cos20 нужно как-то в обратную сторону преобразовать...

В ту сторону поняла как :
sin(x-20) +sin(x+20) = 2sin(0.5(2x-20+20))•cos(0.5(x-20-x-20))=2sinx•cos20

А в обратную?
Как-то видно, что нужно именно так было делать?
Или я уже старею ....

@jogano · 01.11.2016, 21:02

Сообщение от chelovechek-

как мне догадаться, что 2sinx•cos20 нужно как-то в обратную сторону преобразовать...

Вот школьное уравнение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sin 5x \cdot \cos 2x = \sin 3x \cdot \cos 4x$ .
Как здесь можно догадаться, что нужно преобразовать произведения в суммы синусов? Перед преобразованием убедиться, что слева и справа после преобразования получится одинаковая функция одинакового аргумента, в данном случае синус суммы, и этот синус слева и справа уничтожается. Т.е. вы сначала видете, что суммы 5х+2х и 3х+4х одинаковы. Устно. Затем проверяете, будут ли одинаковыми функции при этой сумме. Тоже устно. Как в шахматах - видеть на какое-то количество ходов вперёд.
В вашем случае то же самое. Интуиция + проверка, "что будет, если..."

@chelovechek- · 02.11.2016, 08:20 **[ТС]**

Спасибо большое за помощь! Тригонометрию в век бы не разгребла )

@chelovechek- · 02.11.2016, 08:22 **[ТС]**

Сообщение от Nacuott

Эта задача имеется у авторов Г.С.М.Кокстер,С.Л.Грейтцер НОВЫЕ ВСТРЕЧИ С ГЕОМЕТРИЕЙ.
Там эта задача решается без уравнений и вычислений.

Скачала учебник, полистала.
А где она там? Не помните, в каком разделе?

@Nacuott · 02.11.2016, 15:21

Глава 1 параграф 9. Упражнение 4. стр37.
Решение-в ответах.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Модульная разработка через nuget packages DevAlt 07.03.2026 Сложившийся в . Net-среде способ разработки чаще всего предполагает монорепозиторий в котором находятся все исходники. При создании нового решения, мы просто добавляем нужные проекты и имеем. . .	Модульный подход на примере F# DevAlt 06.03.2026 В блоге дяди Боба наткнулся на такое определение: В этой книге («Подход, основанный на вариантах использования») Ивар утверждает, что архитектура программного обеспечения — это структуры,. . .	Управление камерой с помощью скрипта OrbitControls.js на Three.js: Вращение, зум и панорамирование 8Observer8 05.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере работает на Desktop и мобильных браузерах. Итоговый код: orbit-controls-threejs-js. zip. Сканируйте QR-код на мобильном. Вращайте камеру одним пальцем,. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Синхронизация спрайтов SDL3 и тел Box2D 8Observer8 04.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере. Итоговый код: finish-sync-physics-sprites-sdl3-c. zip На первой гифке отладочные линии отключены, а на второй включены:. . .
SDL3 для Web (WebAssembly): Идентификация объектов на Box2D v3 - использование userData и событий коллизий 8Observer8 02.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере. Итоговый код: finish-collision-events-sdl3-c. zip Сканируйте QR-код на мобильном и вы увидите, что появится джойстик для управления главным героем. . . .	Реалии Hrethgir 01.03.2026 Нет, я не закончил до сих пор симулятор. Эта задача сложнее. Не получилось уйти в плавсостав, но оно и к лучшему, возможно. Точнее получалось - но сварщиком в палубную команду, а это значит, в моём. . .	Ритм жизни kumehtar 27.02.2026 Иногда приходится жить в ритме, где дел становится всё больше, а вовлечения в происходящее — всё меньше. Плотный график не даёт вниманию закрепиться ни на одном событии. Утро начинается с быстрых,. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Сборка библиотек: SDL3, Box2D, FreeType, SDL3_ttf, SDL3_mixer и SDL3_image из исходников с помощью CMake и Emscripten 8Observer8 27.02.2026 Недавно вышла версия 3. 4. 2 библиотеки SDL3. На странице официальной релиза доступны исходники, готовые DLL (для x86, x64, arm64), а также библиотеки для разработки под Android, MinGW и Visual Studio. . . .

@chelovechek- 0 / 0 / 0 Регистрация: 16.10.2015 Сообщений: 7

	Найти угол в треугольнике 31.10.2016, 21:10. Показов 3154. Ответов 11 Метки нет (Все метки) Уважаемые форумчане, вынуждена прибегнуть к вашей помощи. Не решается задача. Наверно, с подвохом. И сумма углов в треугольнике и теорема синусов не помогают ... К сообщению прикреплю фото. Миниатюры 0

magirus Почетный модератор 28049 / 15785 / 983 Регистрация: 15.09.2009 Сообщений: 67,752 Записей в блоге: 78
	31.10.2016, 21:14
	может соизволите полностью напечатать условие? 0

@chelovechek- 0 / 0 / 0 Регистрация: 16.10.2015 Сообщений: 7
	31.10.2016, 21:26 [ТС]
	Да мне не сложно. Сейчас напишу. Думала, по картинке удобней информацию воспринимать. Есть равнобедренный треугольник ABC с основанием AC и углом B, равным 20°. Из угла А под углом 50° к основанию проведен отрезок к стороне BC. Из угла С под углом 60° к основанию проведен отрезок к стороне АВ. Отрезки пересекают стороны треугольника в точках Е и К. Е на стороне АВ, К на стороне ВС. Найти угол КЕС. 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	31.10.2016, 23:51
	Хорошая задачка.... Посмотрите на мой рисунок. На нём есть соотношение между частями третьей стороны треугольника, на которые она разбивается внутренним отрезком, в зависимости от величины прилежащий углов $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha ,\beta$ и углов $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\gamma _1 ,\gamma _2$ , составляющих третий угол треугольника. Это соотношение получается из теоремы синусов для двух этих малых треугольников, если ввести длину внутреннего отрезка (например, 1). В вашей задаче есть два таких треугольника BEC и BAC с общей стороной BC, которая разбивается в одном и том же отношении отрезками EK и AK соответственно. Углы этих треугольников BEC и BAC найти легко. При вершине E один угол х, тогда другой 140-х градусов. Запишите пропорцию с синусами из моего рисунка для двух этих треугольников. Получите тригонометрическое уравнение относительно х. Путём некоторых тригонометрических упрощений выйдет $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\sin \left(140^{\circ}-x \right)}{\sin x}=2 \cos 20^{\circ}$ , откуда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sin \left(140^{\circ}-x \right)=\sin \left(x-20^{\circ} \right)+\sin \left(x+20^{\circ} \right)\\\sin \left(140^{\circ}-x \right)-\sin \left(x-20^{\circ} \right)=\sin \left(x+20^{\circ} \right)$ Теперь посмотрите на тригонометрическое тождество на моём рисунке. Сумма углов слева на нём равна 120 градусов. В последнем соотношении слева тоже разность синусов с суммой углов 120 градусов, откуда легко ищется $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha =80^{\circ}-x$ . Значит, по тождеству, левая разность синусов равна $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sin\left( 80^{\circ}-x\right)$ . И справа синус через х, откуда х=30 градусов. Миниатюры 1

@Nacuott 1833 / 1027 / 192 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 3,084 Записей в блоге: 12
	01.11.2016, 00:08
	Эта задача имеется у авторов Г.С.М.Кокстер,С.Л.Грейтцер НОВЫЕ ВСТРЕЧИ С ГЕОМЕТРИЕЙ. Там эта задача решается без уравнений и вычислений. 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	01.11.2016, 17:31
	chelovechek-, знание тригонометрии... $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\sin 80^{\circ}}{\sin 20^{\circ}}-1=\frac{\sin 80^{\circ}-\sin 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ}}=\frac{2\cos 50^{\circ}\cdot \sin 30^{\circ}}{\sin 20^{\circ}}=\frac{\cos 50^{\circ}}{\sin 20^{\circ}}=\frac{\sin 40^{\circ}}{\sin 20^{\circ}}=\frac{2\sin 20^{\circ} \cdot \cos 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ}}=2\cos 20^{\circ}$ Добавлено через 9 минут Или так: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\cos 10^{\circ}}{2\sin 10^{\circ}\cos 10^{\circ}}-1=\frac{1}{2\sin 10^{\circ}}-1=\frac{1-2\sin 10^{\circ}}{2\sin 10^{\circ}}=\left\|\frac{:2}{:2} \right\|=\frac{\sin 30^{\circ}-\sin 10^{\circ}}{\sin 10^{\circ}}=\frac{2\cos 20^{\circ} \cdot \sin 10^{\circ}}{\sin 10^{\circ}}=2\cos 20^{\circ}$ 0

@chelovechek- 0 / 0 / 0 Регистрация: 16.10.2015 Сообщений: 7
	01.11.2016, 20:54 [ТС]
	Сижу весь вечер вникаю .... Всё сходится, всё получается, всё понятно, но как мне догадаться, что 2sinx•cos20 нужно как-то в обратную сторону преобразовать... В ту сторону поняла как : sin(x-20) +sin(x+20) = 2sin(0.5(2x-20+20))•cos(0.5(x-20-x-20))=2sinx•cos20 А в обратную? Как-то видно, что нужно именно так было делать? Или я уже старею .... 0

@chelovechek- 0 / 0 / 0 Регистрация: 16.10.2015 Сообщений: 7
	02.11.2016, 08:20 [ТС]
	Спасибо большое за помощь! Тригонометрию в век бы не разгребла ) 0

@Nacuott 1833 / 1027 / 192 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 3,084 Записей в блоге: 12
	02.11.2016, 15:21
	Глава 1 параграф 9. Упражнение 4. стр37. Решение-в ответах. 0