Докажите, что все четыре медианы пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в соотношении 3:1

Медианой четырёхугольника назовем отрезок, соединяющий какую-нибудь из его вершин с центром медиан треугольника, вершинами которого будут служить остальные три вершины четырёхугольника.
1. Докажите, что все четыре медианы пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в соотношении 3:1 (считая от вершины).
2. Является ли данная точка центром тяжести четырёхугольника?
3. Если две медианы четырёхугольника равны, то следует ли отсюда, что два угла в четырёхугольнике равны?
4. Дайте определение медианы n-угольника, по аналогии с медианой четырёхугольника. Сформулируйте теорему, аналогичную пункту 1, и докажите её.
5. Исследуйте пункты 2–3 для медиан n-угольника.
6. Предложите и исследуйте свойства других отрезков и конструкций для других отрезков четырехугольников и n-угольников, определяемых по некоторой аналогии с треугольниками. (Например: пусть высота четырёхугольника – это отрезок, соединяющий вершину четырехугольника с ортоцентром треугольника, образованного остальными тремя вершинами. Пересекаются ли высоты четырёхугольника в одной точке? Если да, то в каком отношении они делятся точкой пересечения?)

0

И где такие исследовательские задачи предлагают? А сдавать уже завтра?

0

Задача для 9 класса. Нет, сдавать не завтра

0

По пункту 1. Доказательство можно получить по аналогии с доказательством для медиан в треугольнике. Рассмотрите треугольник, стороной которого является сторона четырёхугольника, а противолежащая стороне вершина треугольника находится на середине противоположной стороны четырёхугольника. Этот треугольник содержит в себе две пересекающиеся "медианы" четырёхугольника. Далее всё по аналогии: "средняя линия", параллельность, накрест лежащие углы, подобие, отношение сторон.

По пункту 2. Просто найдите и прочтите алгоритм получения центра тяжести четырёхугольника. Четырёхугольник разбивается диагональю на два треугольника. Его центр тяжести находится на линии соединяющей центры тяжести треугольников. Центры тяжести треугольников совпадают с точкой пересечения его медиан. Из данного вами определения "медиан" четырёхугольника очевидно, что одна точка "медианы" соответствуют алгоритму, а вторая не соответствует. В общем случае, точка пересечения "медиан" четырёхугольника не будет являться его центром масс.

1

У меня не получается доказать 1.
Не известно, в каком отношении делят основания "медиан" четырехугольника стороны этого треугольника

0

Если вам нужно рассуждать о центре тяжести, то имеет смысл выучить барицентрический метод, или метод применения аффинных комбинаций точек, например, по следующей книге: Балк М.Б., Болтянский В.Г. Геометрия масс. М.: Наука. 1987.

Пересечение медиан треугольника BCD есть . Пусть O есть центр тяжести ABCD, то есть . Покажем, что O лежит на AP. Для этого попытаемся найти такой x, что (1-x)A + xP = O. Можно угадать, что x = 3/4. Альтернативно можно подставить в предпоследнее равенство выражение для P, выразить x и проверить, что он делает равенство верным. Значит, любая медиана четырехугольника проходит через его центр тяжести.

Изображения

 

2

Самое сложно в этом деле нарисовать всё красиво
У меня как-то так вышло.

Миниатюры

 

1

Я рисовала с помощью сервиса Geogebra

Доказала, что LIGM параллелограмм. А вот как перейти к отношению, ведь не известно в каком отношении точки I и G делят стороны треугольника AFB?
Еще такое соотношение (т. Менелая) пробовала
AI/IF*FJ/IK*KB/AB=1
Пробовала через векторы (рис2)

Доказала, что (OG1) ̅= 1/3((OB) ̅+(OC) ̅+(OD) ̅).

Потом 1/4((OA) ̅+(OB) ̅+(OC) ̅+(OD) ̅)=(OG) ̅.

Миниатюры

     

0

Сообщение от zolga2010 ведь не известно в каком отношении точки I и G делят стороны треугольника AFB?

Очень даже известно. Я это отметил на своём рисунке в картинках второго ряда. Точка пересечения медиан треугольника делит медианы в отношении 2:1. По аналогии с доказательство этого факта я и строил свои рассуждения. Давайте я по вашему последнему рисунку разберу ход мыслей.
Точка I делит отрезок AF в отношении 2 к 1
Точка G делит отрезок BF в отношении 2 к 1
Отрезок IG параллелен отрезку AB
Треугольники ABF и IGF подобны
Отношения их сторон равны: AF/IF=BF/GF=AB/IG=3
Углы ABI и BIG равны, как накрест лежащие
Углы BAG и AGI равны, как накрест лежащие
Треугольники ABJ и GIJ подобны, так как равны их углы
Отношения их сторон равны: AJ/GJ=BJ/IJ=AB/IG=3

3D Homer, я долго не мог понять, почему "мой" центр тяжести не совпадает с "вашим". Но начал читать книгу, сразу попытался применить доказательство Архимеда о центре масс треугольника к четырёхугольнику и понял, что речь идёт о разных центрах масс. В моём случае про центр масс площади. В вашем случае о центре масс одинаковых по массе грузов в вершинах. Собственно, это разные центры и они не совпадают.

Если исходить из центра масс вершин, то всё получается гораздо проще и наглядней (по вашей картинке).

Есть четыре груза одинаковой массы: 1A, 1B, 1C, 1D.
Находим центр масс трёх из них 1B, 1C, 1D.
Геометрически он расположен в точке пересечения медиан P. Эквивалентная масса составит 3.
По 3му закону центр масс системы не поменяется, если мы заменим три точки (1B, 1C, 1D) одной 3P.
По 2му закону центр масс O будет лежать на "медиане" четырёхугольника и делить её в отношении 3 к 1.
По 1му закону центр масс единственен, значит взяв три другие начальные точки мы получим пересечение медиан в одной точке O.

1

Сообщение от Ygg Очень даже известно.

Вот я не внимательная, слона то и не увидела. Спасибо! Теперь все получается!

0