Объем в другой системе координат выражается через матрицу Якоби. А для площади поверхности что использовать?

@oolegg · Регистрация: 10.07.2014

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Объем в другой системе координат выражается через матрицу Якоби.А для площади поверхности что использовать?

@jogano · 10.11.2018, 16:59

Пусть поверхность задана параметрически $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(x\left(u,v \right),y\left(u,v \right),z\left(u,v \right) \right)$ . Проведя на поверхности две близкие линии u0 и u0+du (т.е. это такие линии, для которых значения первого параметра фиксированы, а второй параметр v меняется как угодно в пределах поверхности), а так же две линии v0 и v0+dv, получаем криволинейный параллелограмм. Его площадь ищется как модуль векторного произведения касательных векторов в точке (u0,v0) вдоль линий u0 и v0. Касательный вектор вдоль линии u0 равен $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{\left(x'_v,y'_v,z'_v \right)}dv$ , а вдоль линии v0 равен $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{\left(x'_u,y'_u,z'_u \right)}du$ .
Берём модуль их векторного произведения и получаем (приближённо площадь этого криволинейного параллелограмма), т.е.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?dS=\left|\begin{vmatrix}\bar{i} & \bar{j} & \bar{k}\\ x'_u & y'_u & z'_u\\ x'_v & y'_v & z'_v \end{vmatrix}\right|dudv$
Дальше это выражение интегрируется по области D(u,v) в пределах нужных вам u,v.
Пример - кусок сферы на поверхности Земли в пределах широты $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi \in \left[\varphi _1;\varphi _2 \right]$ и в пределах долготы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda \in \left[\lambda _1;\lambda _2 \right]$ . Параметрическая запись поверхности сферы (единичной, это не ограничивает нас - ответ можно будет потом домножить на R², если сфера не единичная, зато не нужно всё время тащить этот множитель) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(\cos \varphi \cos \lambda ;\cos \varphi \sin \lambda ; \sin \varphi \right)$ , элемент площади поверхности тогда будет равен
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?dS=\left|\begin{vmatrix}\bar{i} & \bar{j} & \bar{k}\\ -\sin \varphi \cos \lambda & -\sin \varphi \sin \lambda & \cos \varphi \\ -\cos \varphi \sin \lambda & \cos \varphi \cos \lambda & 0\end{vmatrix} \right|d\varphi d\lambda =\left|\bar{\left(-\cos^2 \varphi \cos \lambda ;-\cos ^2 \varphi \sin \lambda ;-\sin \varphi \cos \varphi \cos ^2 \lambda -\sin \varphi \cos \varphi \sin^2 \lambda \right)} \right|d\varphi d\lambda =\\=\cos \varphi \left|\bar{\left(-\cos \varphi \cos \lambda ;-\cos \varphi \sin \lambda ;-\sin \varphi \right)} \right|d\varphi d\lambda =\cos \varphi d\varphi d\lambda$
И тогда площадь части сферы будет равна
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{\lambda _1}^{\lambda _2}d\lambda \int_{\varphi _1}^{\varphi _2}\cos \varphi d\varphi =\left(\lambda _2-\lambda _1 \right)\left(\sin \varphi _2-\sin \varphi _1 \right)$

@oolegg · 10.11.2018, 18:24 **[ТС]**

Сообщение от jogano

Пример - кусок сферы на поверхности Земли в пределах широты и в пределах долготы .

А если кусок сферы будет в виде параллелограмма(четырехугольник у которого противоположные углы равны)?Тогда как применить этот интеграл?

@jogano · 10.11.2018, 18:50

А какая разница? Подинтегральное выражение то же самое, изменятся лишь пределы по углам.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
[Owen Logic] Поддержание уровня воды в резервуаре количеством включённых насосов: моделирование и выбор регулятора ФедосеевПавел 14.03.2026 Поддержание уровня воды в резервуаре количеством включённых насосов: моделирование и выбор регулятора ВВЕДЕНИЕ Выполняя задание на управление насосной группой заполнения резервуара,. . .	делаю науч статью по влиянию грибов на сукцессию anaschu 13.03.2026 прикрепляю статью	SDL3 для Desktop (MinGW): Создаём пустое окно с нуля для 2D-графики на SDL3, Си и C++ 8Observer8 10.03.2026 Содержание блога Финальные проекты на Си и на C++: hello-sdl3-c. zip hello-sdl3-cpp. zip Результат:	Установка CMake и MinGW 13.1 для сборки С и C++ приложений из консоли и из Qt Creator в EXE 8Observer8 10.03.2026 Содержание блога MinGW - это коллекция инструментов для сборки приложений в EXE. CMake - это система сборки приложений. Здесь описаны базовые шаги для старта программирования с помощью CMake и. . .
Как дизайн сайта влияет на конверсию: 7 решений, которые реально повышают заявки Neotwalker 08.03.2026 Многие до сих пор воспринимают дизайн сайта как “красивую оболочку”. На практике всё иначе: дизайн напрямую влияет на то, оставит человек заявку или уйдёт через несколько секунд. Даже если у вас. . .	Модульная разработка через nuget packages DevAlt 07.03.2026 Сложившийся в . Net-среде способ разработки чаще всего предполагает монорепозиторий в котором находятся все исходники. При создании нового решения, мы просто добавляем нужные проекты и имеем. . .	Модульный подход на примере F# DevAlt 06.03.2026 В блоге дяди Боба наткнулся на такое определение: В этой книге («Подход, основанный на вариантах использования») Ивар утверждает, что архитектура программного обеспечения — это структуры,. . .	Управление камерой с помощью скрипта OrbitControls.js на Three.js: Вращение, зум и панорамирование 8Observer8 05.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере работает на Desktop и мобильных браузерах. Итоговый код: orbit-controls-threejs-js. zip. Сканируйте QR-код на мобильном. Вращайте камеру одним пальцем,. . .

@oolegg 33 / 31 / 4 Регистрация: 10.07.2014 Сообщений: 741

	Объем в другой системе координат выражается через матрицу Якоби. А для площади поверхности что использовать? 10.11.2018, 16:18. Показов 1223. Ответов 3 Метки нет (Все метки) Объем в другой системе координат выражается через матрицу Якоби.А для площади поверхности что использовать? 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	10.11.2018, 16:59
	Сообщение было отмечено oolegg как решение Решение Пусть поверхность задана параметрически $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(x\left(u,v \right),y\left(u,v \right),z\left(u,v \right) \right)$ . Проведя на поверхности две близкие линии u0 и u0+du (т.е. это такие линии, для которых значения первого параметра фиксированы, а второй параметр v меняется как угодно в пределах поверхности), а так же две линии v0 и v0+dv, получаем криволинейный параллелограмм. Его площадь ищется как модуль векторного произведения касательных векторов в точке (u0,v0) вдоль линий u0 и v0. Касательный вектор вдоль линии u0 равен $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{\left(x'_v,y'_v,z'_v \right)}dv$ , а вдоль линии v0 равен $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{\left(x'_u,y'_u,z'_u \right)}du$ . Берём модуль их векторного произведения и получаем (приближённо площадь этого криволинейного параллелограмма), т.е. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?dS=\left\|\begin{vmatrix}\bar{i} & \bar{j} & \bar{k}\\ x'_u & y'_u & z'_u\\ x'_v & y'_v & z'_v \end{vmatrix}\right\|dudv$ Дальше это выражение интегрируется по области D(u,v) в пределах нужных вам u,v. Пример - кусок сферы на поверхности Земли в пределах широты $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi \in \left[\varphi _1;\varphi _2 \right]$ и в пределах долготы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda \in \left[\lambda _1;\lambda _2 \right]$ . Параметрическая запись поверхности сферы (единичной, это не ограничивает нас - ответ можно будет потом домножить на R², если сфера не единичная, зато не нужно всё время тащить этот множитель) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(\cos \varphi \cos \lambda ;\cos \varphi \sin \lambda ; \sin \varphi \right)$ , элемент площади поверхности тогда будет равен $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?dS=\left\|\begin{vmatrix}\bar{i} & \bar{j} & \bar{k}\\ -\sin \varphi \cos \lambda & -\sin \varphi \sin \lambda & \cos \varphi \\ -\cos \varphi \sin \lambda & \cos \varphi \cos \lambda & 0\end{vmatrix} \right\|d\varphi d\lambda =\left\|\bar{\left(-\cos^2 \varphi \cos \lambda ;-\cos ^2 \varphi \sin \lambda ;-\sin \varphi \cos \varphi \cos ^2 \lambda -\sin \varphi \cos \varphi \sin^2 \lambda \right)} \right\|d\varphi d\lambda =\\=\cos \varphi \left\|\bar{\left(-\cos \varphi \cos \lambda ;-\cos \varphi \sin \lambda ;-\sin \varphi \right)} \right\|d\varphi d\lambda =\cos \varphi d\varphi d\lambda$ И тогда площадь части сферы будет равна $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{\lambda _1}^{\lambda _2}d\lambda \int_{\varphi _1}^{\varphi _2}\cos \varphi d\varphi =\left(\lambda _2-\lambda _1 \right)\left(\sin \varphi _2-\sin \varphi _1 \right)$ 1

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	10.11.2018, 18:50
	А какая разница? Подинтегральное выражение то же самое, изменятся лишь пределы по углам. 1

Объем в другой системе координат выражается через матрицу Якоби. А для площади поверхности что использовать?

Решение