Найти расстояние от точки до прямой

@anna587 · Регистрация: 30.09.2013

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Прошу помочь с решением задач:
Дана точка А (3,5,1). Найти расстояние от А до прямой

(x-1)/2= (y-2)/3= (z-3)/4

@angor6 · 26.04.2020, 11:44

anna587, в своём вопросе Вы интересуетесь выполнением сразу трёх заданий. Следуя своим представлениям о работе форума, я ограничусь рассмотрением следующего:

Сообщение от anna587

Дана точка А (3,5,1). Найти расстояние от А до прямой
(x-1)/2= (y-2)/3= (z-3)/4

Решение этой задачи, по-моему, может быть таким. Определим проекцию A' точки A на заданную прямую. Проектирующая плоскость проходит через точку A и в качестве её нормального вектора можно принять направляющий вектор прямой $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{a}(2;3;4).$ Тогда уравнение проектирующей плоскости суть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2(x-3)+3(y-5)+4(z-1)=0,$ или $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2x+3y+4z-25=0.$ Чтобы определить проекцию, укажем уравнение заданной прямой в параметрическом виде: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=2t+1,$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=3t+2,$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=4t+3$ и подставим эти значения в уравнение проектирующей плоскости. Получим

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2(2t+1-3)+3(3t+2-5)+4(4t+3-1)=0,$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2(2t-2)+3(3t-3)+4(4t+2)=0,$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?4t-4+9t-9+16t+8=0,$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?29t-5=0,$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t=\frac{5}{29}.$

Отсюда получим $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A'(\frac{39}{29},~\frac{73}{29},~\frac{107}{29})$ и искомое расстояние

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\rho(A,~A')=sqrt{(\frac{39}{29}-3)^2+(\frac{73}{29}-5)^2+(\frac{107}{29}-1)^2}=...$

(закончите, пожалуйста, расчёт самостоятельно, предварительно проверив правильность выполненных мной выкладок. Вероятность того, что я допустил ошибку в вычислениях, весьма велика. Всё-таки возраст сказывается...).

Байт · 26.04.2020, 12:32

Можно еще и так
B(1,2,3) - точка на прямой
BA = (2, 3, -2)
d = ( 2, 3, 4)
cos(BA, d) = (4+9-8)/sqrt(17) sqrt(29)
sin (BA, d) = sqrt(1 - cos²(BA, d))
Расстояние = |BA*sin(BA, d)|

@Nacuott · 26.04.2020, 14:30

Или так.

@anna587 · 26.04.2020, 15:13 **[ТС]**

Спасибо большое, за помощь в решении!

@anna587 0 / 0 / 0 Регистрация: 30.09.2013 Сообщений: 147
		1
	Найти расстояние от точки до прямой 26.04.2020, 10:43. Показов 643. Ответов 4 Метки расстояние от а до прямой (Все метки) Прошу помочь с решением задач: Дана точка А (3,5,1). Найти расстояние от А до прямой (x-1)/2= (y-2)/3= (z-3)/4 0

@angor6 Любитель математики 1476 / 987 / 282 Регистрация: 27.01.2014 Сообщений: 3,275
	26.04.2020, 11:44	2
	anna587, в своём вопросе Вы интересуетесь выполнением сразу трёх заданий. Следуя своим представлениям о работе форума, я ограничусь рассмотрением следующего: Сообщение от anna587 Дана точка А (3,5,1). Найти расстояние от А до прямой (x-1)/2= (y-2)/3= (z-3)/4 Решение этой задачи, по-моему, может быть таким. Определим проекцию A' точки A на заданную прямую. Проектирующая плоскость проходит через точку A и в качестве её нормального вектора можно принять направляющий вектор прямой $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{a}(2;3;4).$ Тогда уравнение проектирующей плоскости суть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2(x-3)+3(y-5)+4(z-1)=0,$ или $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2x+3y+4z-25=0.$ Чтобы определить проекцию, укажем уравнение заданной прямой в параметрическом виде: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=2t+1,$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=3t+2,$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=4t+3$ и подставим эти значения в уравнение проектирующей плоскости. Получим $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2(2t+1-3)+3(3t+2-5)+4(4t+3-1)=0,$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2(2t-2)+3(3t-3)+4(4t+2)=0,$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?4t-4+9t-9+16t+8=0,$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?29t-5=0,$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t=\frac{5}{29}.$ Отсюда получим $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A'(\frac{39}{29},~\frac{73}{29},~\frac{107}{29})$ и искомое расстояние $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\rho(A,~A')=sqrt{(\frac{39}{29}-3)^2+(\frac{73}{29}-5)^2+(\frac{107}{29}-1)^2}=...$ (закончите, пожалуйста, расчёт самостоятельно, предварительно проверив правильность выполненных мной выкладок. Вероятность того, что я допустил ошибку в вычислениях, весьма велика. Всё-таки возраст сказывается...). 0

Байт Диссидент 27706 / 17322 / 3812 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	26.04.2020, 12:32	3
	Можно еще и так B(1,2,3) - точка на прямой BA = (2, 3, -2) d = ( 2, 3, 4) cos(BA, d) = (4+9-8)/sqrt(17) sqrt(29) sin (BA, d) = sqrt(1 - cos²(BA, d)) Расстояние = \|BA*sin(BA, d)\| 0

@Nacuott 1806 / 1001 / 187 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 2,923 Записей в блоге: 12
	26.04.2020, 14:30	4
	Или так. Миниатюры 0

@anna587 0 / 0 / 0 Регистрация: 30.09.2013 Сообщений: 147
	26.04.2020, 15:13 [ТС]	5
	Спасибо большое, за помощь в решении! 0