Так оно и есть все в 3д. Можно свести до 2д. Сечение то плоскость. Можно не крутить уравнение эллипса а крутить проверяемые точки. Тут и численно можно решить и аналитически и смешано. Непонятно только зачем все это вообще.

0

Здравствуйте! Сорри, что исчез не некоторое время - куча работы было.

Спасибо всем за то что заинтересовались темой.
Честно говоря, посмотрел ссылки и ответы, но ясности не стало больше. Почитал ссылку на конические сечения - там все в общем виде - это и так понятно. Но случая с углами и я там не увидел.

Вы получили по конкретным уравнениям плоскости и конуса сечение - картинку. У меня же наоборот, есть картинка с углами и мне надо аналитически получить уравнение сечения. Далее я его буду обрабатывать в программе на питоне и делать дальнейшие расчеты - поэтому нужно именно аналитическое уравнение сечения по данным углам.

Расскажу, как я делал:
0. Дано: конус из начала координат, с углом раствора (это угол между направляющими конуса, полученными в сечении плоскостью OYZ, то есть угол между линиями z=k * y и z=-k * y, в той части плоскости, где ось OZ): уравнение я так понимаю такое:

это угол между осью конуса и осью OZ, а угол - угол между осью конуса и плоскостью OXY, то есть

То есть знаем три угла: и и высоту поднятия плоскости OXY h.

1. с помощью матрицы поворота я взял конус из начала координат и повернул его: сначала отклонил от оси OZ на угол (новая ось конуса OZ' образует угол с осью OZ)
Сама матрица такая:
, где

2. Далее то, что получилось я повернул на угол в плоскости OXY с помощью матрицы поворота (то есть если взять точку на оси конуса, то она по стандартным правилам. - это угол, который моно представить так: берем одну из точек оси конуса и поворачиваем вокруг ее в плоскости параллельной OXY и поднятой на h на этот угол и все тело за этой точкой тоже как единое целое поворачивается

повернется в плоскости z = h = const.

3. Далее берем общие точки конической поверхности и плоскости, то есть просто подставляем туда вместо z число h и выражаем y(x), или уравнение эллипса , но прикол в том, что у меня всегда получается гипербола, а должен эллипс. Убил кучу времени. Вот, что я делаю не так?
После всех преобразований у меня получается:
и это не эллипс. Уже многократно проверял - всегда получается гипербола, но по смыслу должен быть эллипс.

Не могли бы вы проделать данную операцию и посмотреть, что у вас получается? если я правильно делаю.

0

Хотите параметрическое или алгебраическое уравнение эллипса?
Зачем это все изначально?

0

Сообщение от Excalibur921 Хотите параметрическое или алгебраическое уравнение эллипса?

Любое, но лучше алгебраическое. нужно, что потом брать точки внутри эллипса и обрабатывать их. Буду брать некоторую точку и смотреть лежит ли она в этом эллипсе. Тут потом придется еще писать перебор точек и выяснение лежит ли она внутри этого эллипса, но сначала нужна граница. Для хитрой интерполяции данных по точкам.

0

Как вариант.

Миниатюры

 

1

Сообщение от Nacuott Как вариант

а числа откуда взяты на правом рисунке? в общем виде можно? вы как получили эти уравнения?

0

Сообщение от Fireball а числа откуда взяты на правом рисунке? в общем виде можно? вы как получили эти уравнения?

Fireball,

Странный Вы человек, я сделал как вы просили - по пунктам, оттуда и взялись.

0

Nacuott, ТС нужен алгоритм и формулы в общем виде вообще без участия мат пакетов. Т.к. это будет делаться с нуля в своей проге.

Сообщение от Fireball брать некоторую точку и смотреть лежит ли она в этом эллипсе

Сообщение от Fireball лучше алгебраическое

Это нужно было писать в первом посте темы.

В GeoGebra 5 есть коника по 5 точкам, это вроде и есть эллипс.

Может искать так
conic through 5 points.Значит существует и алгоритм задав произвольные 5 точек в 2д найти алгебраическое уравнение эллипса. Можно пускать 5 лучей вместо конуса и брать пересечение лучей и плоскости.


Можно вместо поворота конуса крутить проверяемые точки а эллипс всегда неподвижен.
Можно вместо наклона конуса задавать искажение формы изменяя параметры “a,b” уравнения эллипса.


В общем вам и ненужно уравнение эллипса.
Можно вместо мутного алгоритма получения настоящего уравнения эллипса проверять просто принадлежность точки наклоненному и повернутому конусу и плоскости.
Принадлежность плоскости это проверка Z координаты точки в 3д или уравнению плоскости если она произвольно наклонена.
Принадлежность произвольно наклоненному и повернутому конусу можно через тригонометрию проверять угол между лучом из вершины конуса и заданной точки в 3д и осью конуса. Это намного быстрей и проще поиска уравнения алгеброй или параметрического т.к. не будет минимума 1 неизвестной.

1

Сообщение от Excalibur921 Nacuott, ТС нужен алгоритм и формулы в общем виде вообще без участия мат пакетов. Т.к. это будет делаться с нуля в своей проге.

Так алгоритм ТС описал. Я сделал по его алгоритму. Пусть себе считает - вручною, вножную -как хочет!
Вы с ним занимаетесь пустопорожней болтавней.

0

Я кажется разобрался с вашей помощью!!!

1. Я правильно вывел выше уравнение эллипса, но долго не мог убедиться в этом. У меня получалась гипербола потому, что я неудачно выбирал параметры и строил график - вручную выбирая пределы.
Спасибо one man за статью - я почему то упорно думал, что сечение конуса всегда должно быть эллипсом, но оно может быть и гиперболой. Хотя об этом в следующих пунктах.
так вот я проверил, взяв дискриминант , у нас всегда получается , а знак C зависит как от угла так и от угла раствора :
. Выбирая разные значения мы получим или эллипс или параболу или гиперболу.

Проблема была в том, что:

1) масштабировал неправильно ручками, какую часть графика выбирать, а это было потому что не до конца понимал, как устроено уравнение и был уверен что получается всегда гипербола из-за минуса. Но надо было смотреть на уравнение как в ссылке конические сечения и в вики Конические сечения, там где Координатное представление
Не понимал, какие полуоси.

2) Подставлял неудачные параметры в формулу

Теперь получается вот такая картинка в Wolfram Mathematica

2. Часть задачи в следующем:
Есть погодный радар, который светит конусом с углом раствора в небо: у него есть угол места, под которым наклонен радар к горизонту , где - угол между вертикалью OZ и направлением луча радара. Он может вращаться в плоскости OXY на полный оборот: угол - это угол между осью OX и проекцией приемника радара на плоскость OXY - азимутальный угол.
Далее берем сечение луча радара (конуса наклонного) на высоте z = h и по идее получаем эллипс.

Вот тут и был затык тоже и остался вопросик. По идее мы знаем, что конические сечения - бывают трех типов: эллипс, гипербола и парабола. Так как коническая поверхность бесконечна (мы берем малые высоты до 100км), то по логике должен получаться только эллипс, так как плоскость всегда будет сечь конус по бокам (конической поверхности) и не будет по основанию. Но мы получаем иногда гиперболу, если выберем параметры неудачно. Какое-то противоречие здравому смыслу получается! Но по первому пункту это будет если удачно подобраны параметры. А если от руки нарисовать луч в виде конуса и горизонтальную плоскость, то будет всегда эллипс!

Из данных задачи я вывел, что при заданном из С получается, что если угол места , то получается гипербола, а для других наклонов радара от до (когда он смотрит ровно вверх) - получится эллипс.

В общем не пойму, почему.
Есть аналогия: что плоскость внутри конуса как вода в коническом стакане. И если наклонить его достаточно сильно, то она начнет выливаться, но все же думаю аналогия не полная. Кто пояснит - буду рад!

3. Уравнение с наклонным конусом на угол от OZ без поворота на , получается такое:
, где x', y', z' - локальные координаты в наклоненном конусе.
Если для простоты выбрать конус , то
получим уравнение:


Отсюда после преобразований получим:

, где должен быть , чтобы получился эллипс

Сам эллипс получается:



или и получим уравнение эллипса:
, где полуось , а полуось и сдвинута по Y на ,

Тут правда тоже есть вопросик: в первом посте у меня есть учет азимутального угла , но в тех уравнениях чудесным образом сокращается! то есть как бы нет зависимости от него, а вроде как должна быть. Почему она пропадает? у меня синусы и косинусы от там сократились. Хотя по логике вещей должна быть зависимость от него.

4. Хочу выразить благодарность всем, кто откликнулся! и особенно за идею Excalibur921 про принадлежность точки сечению, так как я хотел из данных выбирать эти точки и дальше с ними возиться. Думаю, так как я написал было бы очень сложно перебирать точки по эллипсу.

5. Nacuott, мы видимо не совсем поняли друг друга. Спасибо за картинки! Но мне нужно было уравнение, а вы строили картинки, я хотел понять: как оно получается, чтобы применить для своих нужд. Я и спросил, что значат цифры в вашем посте Сечение наклонного конуса: например,
и -5 - у меня то они могут быть произвольные. Мне нужно в общем виде, а не что-то частное, в терминах

Миниатюры

 

0