Стереометрия. Правильная треугольная призма. Поиск объемов отсекаемых частей через отношения сторон

@Jeks145 · Регистрация: 03.12.2024

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Найдите объем частей, на которые делит правильную треугольную призму ABCA1B1C1 плоскость, параллельная диагонали BA1 боковой грани ABB1A1, проходящая через центр описанного около призмы шара и вершину основания A, если стороны основания призмы равны 2, а расстояние от центра основания призмы до секущей плоскости равно 1/5

Добрый день! Подскажите, пожалуйста, как этот ужас можно грамотно разрешить? Есть предположение, что нужно считать объемы как отношение сторон в отсекаемых частях и самой призмы. Заранее спасибо.

@kitonum · 07.12.2024, 23:44

Не думаю, что все эти отношения можно получить чисто геометрически без предварительного вычисления высоты призмы, которая в свою очередь зависит от условия задачи (расстояние равное 1/5)

Это ответ на предыдущее сообщение. Не нашёл как вставлять цитаты.

@mathmichel · 08.12.2024, 11:26

Сообщение от kitonum

Не думаю, что все эти отношения можно получить чисто геометрически без предварительного вычисления высоты призмы

Можно. Вот вывод ключевого отношения отрезков A'D : DC'=2:3

@kitonum · 08.12.2024, 13:18

Сообщение от mathmichel

Можно. Вот вывод ключевого отношения отрезков A'D : DC'=2:3

В этом Вы правы! И это конечно полезно, если нужно построить саму секущую плоскость. Но в задаче в исходной постановке требуется найти не отношения объёмов, а сами объёмы, на которые секущая плоскость делит правильную треугольную призму. И здесь без знания конкретной высоты исходной призмы не обойтись. Именно для этого и задано в условии число 1/5

@mathmichel · 08.12.2024, 13:45

Сообщение от kitonum

И здесь без знания конкретной высоты исходной призмы не обойтись

Тут я не спорю, но после построения нижней линии AF плоскости сечения уже нетрудно длину перпендикуляра из точки О на AF и затем вычислить отрезок OQ по заданному отрезку, равному 1/5. Таким образом, на всех этапах можно обойтись методами элементарной геометрии. К сожалению ТС не сообщил источник задачи!

@Nacuott · 08.12.2024, 17:44

Сообщение от mathmichel

Можно. Вот вывод ключевого отношения отрезков A'D : DC'=2:3

Так приступая к решению задачи, Вы не знаете значение этого ключевого соотношения....

Добавлено через 16 минут

Сообщение от mathmichel

Можно. Вот вывод ключевого отношения отрезков A'D : DC'=2:3

Так приступая к решению задачи, Вы не знаете значение этого ключевого соотношения....
Используя это соотношение Вы находите высоту призмы и решаете задачу без применения 1/5.
А это расстояние устанавливается автоматически. Используя соотношение 2:3 Вы фактически изменили условие задачи.

@mathmichel · 08.12.2024, 18:00

Сообщение от Nacuott

Используя соотношение 2:3 Вы фактически изменили условие задачи

Это отношение было выведено чисто геометрически, для его получения не требуется ни знания заданного расстояния 1/5, ни высоты призмы. Прочитайте внимательно мой пост с последним чертежом!
Почему Вы решили, что это соотношение "автоматически" задаёт высоту (если не использовать расстояние 1/5)? Высота может быть любой (в известных пределах), если не заданы никакие метрические отношения, включая длины сторон основания, которые тоже не использовались при выводе вышеуказанного отношения!

@Nacuott · 09.12.2024, 00:36

Сообщение от mathmichel

Почему Вы решили, что это соотношение "автоматически" задаёт высоту (если не использовать расстояние 1/5)? Высота может быть любой (в известных пределах), если не заданы никакие метрические отношения, включая длины сторон основания, которые тоже не использовались при выводе вышеуказанного отношения!

Что-то я Вас совершенно не понимаю. Пусть рассудит кто-то другой.

Добавлено через 1 час 47 минут
Я рассмотрел задачу заменив 1/5 на 1/4 , так "ключевое" отношение вообще получилось число иррациональное ?
Вы его не знаете, как Вы будете решать задачу?

@mathmichel · 09.12.2024, 13:14

Сообщение от Nacuott

Я рассмотрел задачу заменив 1/5 на 1/4 , так "ключевое" отношение вообще получилось число иррациональное ?

Вот пример с призмой, где высота равна 2, в ней точка D пересечения плоскости сечения призмы с ребром A₁C₁ делит его в отношении 2:3, считая от A₁. Можете сами проверить, что это выполняется для любых значений длин рёбер правильной треугольной призмы.

@Nacuott · 09.12.2024, 22:43

mathmichel, проверил Ваше утверждение относительно отношения 2:3 .
Действительно оно имеет место для призм любой высоты исходя из условия задачи.
Хотел доказать аналитически, но бросил и убедился практически.
На картинке ниже изображены ряд призм разной высоты с общим нижним основанием со стороной
основания 2.; вертикальная прямая, проходящая через точки делящие А1С1 на всех призмах в отношении 2:3;
следы секущих плоскостей проведенных для каждой призмы (точнее для трех); следы секущих плоскостей
на гранях призм ACC1A1.
Так вот, все секущие плоскости (провел три из пяти) проходят через свои следы и точки, делящие все ребра призм
A1C1 в отношении 2:3.
Нк, хорошо. Отношение 2:3 Вы имеете, как дальше решать задачу будете?
См.картинку.

@mathmichel · 10.12.2024, 11:51

Сообщение от Nacuott

Отношение 2:3 Вы имеете, как дальше решать задачу будете?

Дальше находим высоту призмы - это несложная метрическая часть задачи. Опускаем перпендикуляр из центра основания О на прямую AF, находим его длину. Этот перпендикуляр будет нижним катетом в прямоугольном треугольнике, верхний катет которого равен OQ (смотрите мой последний чертёж), где Q центр призмы (середина высоты призмы). В этом треугольнике высота, опущенная из точки О на его гипотенузу, равна 1/5... Хватит дальше подсказывать ТС, который наблюдает за сообщениями, но не ответил ни на один пост!

@kitonum · 10.12.2024, 18:41

Nacuott писал: "Пусть рассудит кто-то другой"

Вычисление ниже (код в Maple) показывает аналитически, что в самом деле при любой высоте h исходной призмы, соответствующее отношение (коэффициент подобия двух пирамид), что геометрически доказал mathmichel, равен 3/5 . Кроме того, установлена связь между расстоянием d от центра основания до секущей плоскости и высотой призмы h . Из полученного соотношения, мы получаем, что d может изменяться только в диапазоне 0<d<sqrt(13)/13 . Кроме того, мы находим, что пересечением секущей плоскости с ребром основания ВС будет точка D(sqrt(3), 3/7, 0), которая как видим не зависит от h . Поэтому при любом h мы можем однозначно найти отношение объёмов частей, на которые секущая плоскость делит призму. Если же нужно найти сами эти объемы, то уже без знания h никак не обойтись, но она может быть однозначно найдена, если известно d .

Code
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
restart;
local O, D:
A:=<0,0,0>: B:=<sqrt(3),1,0>: C:=<sqrt(3),-1,0>: O:=<2*sqrt(3)/3,0,h/2>: A1:=<0,0,h>: B1:=<sqrt(3),1,h>: C1:=<sqrt(3),-1,h>: 
O1:=<2*sqrt(3)/3,0,0>: BA1:=A1-B: AO:=A-O:
n:=LinearAlgebra:-CrossProduct(BA1,AO);
Eq:=n.<x,y,z> assuming real;
d:=abs(eval(Eq,[x=O1[1],y=O1[2],z=O1[3]]))/sqrt(n.n) assuming positive;
solve(d=1/5) assuming positive;
solve(d=(1/13)*sqrt(13)) assuming positive;
maximize(d, h=0..infinity, location);
solve(eval(Eq,{x=sqrt(3),z=0}),y);
zC1:=h; zS:=solve(eval(Eq,{x=sqrt(3),y=-1}),z);
(zS-zC1)/zS;

Результат вычислений ниже в виде картинки:

@Nacuott · 10.12.2024, 19:59

mathmichel, Вы по-моему владеете и Maple. Как будет выглядеть программа, написанная
kitonum, в Маткаде? Интересно посмотреть.

@mathmichel · 10.12.2024, 20:37

Сообщение от Nacuott

Как будет выглядеть программа, написанная
kitonum, в Маткаде?

Чуть подправил свой предыдущий Mathcad-код, в котором использовались заданные значения а и h, в котором проверяется принадлежность точки D на ребре A₁C₁, делящей его в отношении 2:3, плоскости сечения.

@mihailm · 10.12.2024, 20:45

Сообщение от Nacuott

Пусть рассудит кто-то другой.

тут пратически все однозначно
mathmichel решил 1000 задач из них 10 неправильно,
а Nacuott 10 из них поначалу половину неправильно))

@Nacuott · 10.12.2024, 21:02

Сообщение от mihailm

Цитата Сообщение от Nacuott Посмотреть сообщение
Пусть рассудит кто-то другой.
тут пратически все однозначно
mathmichel решил 1000 задач из них 10 неправильно,
а Nacuott 10 из них поначалу половину неправильно))
mihailm вне форума Обратить внимание администрации на это сообщение
0

А mihailm ни одной задачи не решил. Неясно. что он вообще здесь делает?

Добавлено через 6 минут

Сообщение от mathmichel

Чуть подправил свой предыдущий Mathcad-код, в котором использовались заданные значения а и h, в котором проверяется принадлежность точки D на ребре A1C1, делящей его в отношении 2:3, плоскости сечения

Нет. Я говорю о дословном переводе кода kitonum в код на Mathcad с использованием программирования.

@mathmichel · 10.12.2024, 22:07

Сообщение от Nacuott

Я говорю о дословном переводе кода kitonum в код на Mathcad с использованием программирования

Я использовал другую систему координат, в которой был приведён последний чертёж для призмы с пирамидами, в итоге выражения, которые не зависят от её выбора, совпали с приведёнными kitonum

@mihailm · 10.12.2024, 22:12

Не по теме:

Какая то странная от меня цитата, которую привел Nacuott
я такого не писал)

@Nacuott · 10.12.2024, 23:01

Сообщение от mihailm

е по теме:
Какая то странная от меня цитата, которую привел Nacuott
я такого не писал)

Интересно. А как же появилось на форуме сообщение №34. И возможно ли это и кто это может сделать?

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
GitHub Copilot в JetBrains: модель по умолчанию, Fix и контроль MCP and_y87 12.10.2026 10 октября 2026 года GitHub обновил Copilot для JetBrains: добавил настройки стартовой модели, исправления из диагностики и управление автозапуском MCP. Поддержка IDE 2025. 1 прекращена — требуется. . .	GitHub Copilot в JetBrains: модель по умолчанию, Fix и контроль MCP and_y87 12.10.2026 10 октября 2026 года GitHub обновил Copilot для JetBrains: добавил настройки стартовой модели, исправления из диагностики и управление автозапуском MCP. Поддержка IDE 2025. 1 прекращена — требуется. . .	День 5 из 28: Codex подсказывает следующий запрос and_y87 12.10.2026 9 октября 2026 года OpenAI запустила бету Composer predictions — подсказок следующего сообщения в текущем диалоге Codex. Это помощь с формулировкой запроса, а не автоматическое продолжение задачи. . . .	Запустил конкурс "тем и промптов для текстовых квестов созданных почти чисто ИИ" Adler 06.10.2026 Всем привет! За последние три-четыре дня я создал более 16 текстовых квестовых игр используя преимущественно по одному запросу к ИИ на игру. Мне так понравилось смотреть все ветки/ сцены во всех. . .
ИИ не может найти нужный язык в списке Supersumestria 05.10.2026 Я ему даю вот такое изображение и прошу найти и подчеркнуть немецкий язык. Возвращает он вот это: https:/ / i. **********/ vqBWLe2. png Нужную строчку в 3й колонке просто выдумал. . Это. . .	Новая последняя моя музыка в SUNO zorxor 05.10.2026 Здравствуйте, дорогие мои друзья! С большой радостью я хотел бы представить вам свою новую последнею музыку, которую сгенерировала мне по моей просьбе нейросеть SUNO. С уважением, zorxor. Это. . .	Программный домашний кинотеатр russiannick 27.09.2026 Сподобился на программный домашний кинотеатр. В качестве ЯВУ по традиции выбрал js. В помощники взял Яндекс-Алису. Было создано три зала на разные интересы. исторические и ретро сериал Хичкок. . .	Беседа с ИИ о программистах, недопускающих к созданию и правке кода генеративные ИИ и причины этого zorxor 21.09.2026 Раньше я радовался или получал некоторые эмоции, пусть небольшие, но всё же, от самого процесса написания кода, рекомпиляции и запуска, видя постепенное развитие программы и прочее. А теперь лень. . .

@Jeks145 0 / 0 / 0 Регистрация: 03.12.2024 Сообщений: 1

	Стереометрия. Правильная треугольная призма. Поиск объемов отсекаемых частей через отношения сторон 03.12.2024, 10:40. Показов 3420. Ответов 37 Метки геометрия, математика, стереометрия (Все метки) Найдите объем частей, на которые делит правильную треугольную призму ABCA1B1C1 плоскость, параллельная диагонали BA1 боковой грани ABB1A1, проходящая через центр описанного около призмы шара и вершину основания A, если стороны основания призмы равны 2, а расстояние от центра основания призмы до секущей плоскости равно 1/5 Добрый день! Подскажите, пожалуйста, как этот ужас можно грамотно разрешить? Есть предположение, что нужно считать объемы как отношение сторон в отсекаемых частях и самой призмы. Заранее спасибо. 0

@kitonum 90 / 73 / 28 Регистрация: 07.12.2024 Сообщений: 142
	07.12.2024, 23:44
	Не думаю, что все эти отношения можно получить чисто геометрически без предварительного вычисления высоты призмы, которая в свою очередь зависит от условия задачи (расстояние равное 1/5) Это ответ на предыдущее сообщение. Не нашёл как вставлять цитаты. 0

@Nacuott 1865 / 1054 / 195 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 3,177 Записей в блоге: 12
	09.12.2024, 22:43
	mathmichel, проверил Ваше утверждение относительно отношения 2:3 . Действительно оно имеет место для призм любой высоты исходя из условия задачи. Хотел доказать аналитически, но бросил и убедился практически. На картинке ниже изображены ряд призм разной высоты с общим нижним основанием со стороной основания 2.; вертикальная прямая, проходящая через точки делящие А1С1 на всех призмах в отношении 2:3; следы секущих плоскостей проведенных для каждой призмы (точнее для трех); следы секущих плоскостей на гранях призм ACC1A1. Так вот, все секущие плоскости (провел три из пяти) проходят через свои следы и точки, делящие все ребра призм A1C1 в отношении 2:3. Нк, хорошо. Отношение 2:3 Вы имеете, как дальше решать задачу будете? См.картинку. Миниатюры 0

@Nacuott 1865 / 1054 / 195 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 3,177 Записей в блоге: 12
	10.12.2024, 19:59
	mathmichel, Вы по-моему владеете и Maple. Как будет выглядеть программа, написанная kitonum, в Маткаде? Интересно посмотреть. 0

@mihailm
	10.12.2024, 22:12
	Не по теме: Какая то странная от меня цитата, которую привел Nacuott я такого не писал) 0