Геодезическое расстояние на поверхности цилиндра

@9083 · Регистрация: 15.05.2025

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Столкнулся со следующей, кажущейся несложной, на первый взгляд, задачей, которую так и не смог решить.
1) Дан тонкостенный полый цилиндр диаметром 1020 мм. Ось цилиндра совпадает с осью Z системы координат. В этом цилиндре выполнено 2 отверстия. Ось первого отверстия сонаправлено с осью Y а само отверстие смещено по оси Z на 200 мм (то есть центр отверстия имеет координаты 0, 510, 200). Второе смещено по оси Z на 600 мм, повернуто вокруг оси Z на 20 градусов, после чего смещено по нормали к оси отверстия на 200 мм (координаты центра данного отверстия 352.11, 137.35, 600).
2) Дан тот же цилиндр с тем же первым отверстием. Однако, второе отверстие расположено немного по-другому: само отверстие смещено также на 600 мм по оси Z и повернуто на 20 градусов вокруг оси Z. Затем, если представить, что в получившейся точке мы строим локальную систему координат с направлениями осей по же логике (то есть ось Z лск сонаправлена с осью Z цилиндра), отверстие "наклонено" на 30 градусов вокруг оси X ЛСК и повернуто на 45 градусов вокруг оси Z ЛСК (центр отверстия в координатах 174.43, 0, 600).
Собственно суть задачи: нужно численно найти расстояние по дуге цилиндра (по сути, геодезическое расстояние) между точками на этих отверстиях, которые наиболее приближены друг к другу. Я смог найти расстояние между центрами отверстий, а дальше моих знаний катастрофически не хватает, чтобы пересчитать вторые отверстия на развертку цилиндра.

У меня есть правильные ответы для этих случаев, полученные с помощью CAD системы: в первом ответ будет 330,68 мм, а во втором 195,17 мм

По ссылкам приложил изображение и два stp файла с геометрией данных цилиндров.
https://drive.google.com/file/... sp=sharing
https://drive.google.com/file/... sp=sharing
https://drive.google.com/file/... sp=sharing

@one man · 15.05.2025, 13:07

Непонятно, если ответы уже есть, то надо разобраться, как они получены, или для расстояний между точками на границах дырок ответа ещё нет?

@9083 · 15.05.2025, 13:13 **[ТС]**

Ответ я получил, используя CAD систему. Мне же нужно понять, как найти эти расстояния численно, не используя средства моделирования. Приложенные мной ответы - это и есть необходимая величина между двумя наиболее близкими друг к другу точками на двух отверстиях.

Также прикладываю код на python, с помощью которого я нашел расстояния между центрами отверстий (здесь x1, y1, z1, x2, y2, z2 - координаты центров отверстий)

Python
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
def calculating_arc_distance(x1, y1, z1, x2, y2, z2):
    # функция получения угле тетта в полярных координатах цилиндра
    def compute_theta(x, y):
        cos_theta = x / (cilinder/2)      # Косинус угла θ = x / R
        sin_theta = (y - cilinder/2) / (cilinder/2)  # Синус угла θ = (y - R) / R
        theta = math.atan2(sin_theta, cos_theta)   # Арктангенс с учетом квадранта 
        # Корректировка угла для диапазона [0, 2π)
        return theta if theta >= 0 else theta + 2 * math.pi
    # Вычисление углов θ для точек
    theta1 = compute_theta(x1, y1)
    theta2 = compute_theta(x2, y2)
    # Вычисление минимальной разности углов Δθ (учитывая периодичность 2π)
    delta_theta = min(abs(theta2 - theta1), 2 * math.pi - abs(theta2 - theta1))
    arc_length = math.sqrt((cilinder/2 * delta_theta)**2 + (z2 - z1)**2)
    
    return arc_length
arc_between_centers = calculating_arc_distance(x1, y1, z1, x2, y2, z2)

Комментарий модератора

Правила форума: пункт 4.9. Используйте тэги форматирования текста и редактор формул для удобства восприятия ваших сообщений другими пользователями.

@one man · 15.05.2025, 13:21

Сообщение от 9083

Приложенные мной ответы

Кто будет файлы разбирать, тем более скачивать?
Каждое отверстие это линия пересечения двух цилиндров, правильно? Если через центры отверстий провести плоскость, перпендикулярную оси исходного цилиндра, то на линии её пересечения с этим цилиндром будет лежать отрезок кривой между точками на отверстиях. А не будет ли он той самой геодезической?

@9083 · 15.05.2025, 13:38 **[ТС]**

Ну, во-первых, ответ я написал вполне себе числами, поэтому надобности куда-то лезть нет. Во-вторых, если кто-то захочет - может открыть приложенные файлы, я же, кажется, никого не принуждаю. Тем более, если есть софт - это вообще не проблема.
И по вашему вопросу: в моем случае, если я трактовал правильно ваш ответ, у меня физически не получится создать плоскость через точки в центрах отверстий, перпендикулярную оси исходного цилиндра. По первой ссылке прикреплено изображение, на котором показано, как примерно располагаются отверстия. Если вы на нее посмотрите, то увидите, что прямая, проходящая через эти две точки в плоскости XY не перпендикулярная оси цилиндра, поэтому и создать плоскость, которую вы предлагаете, не получится.

@one man · 15.05.2025, 15:51

Сообщение от 9083

создать плоскость через точки в центрах отверстий, перпендикулярную оси исходного цилиндра.

Ну, это я впопыхах снебрежничал. Плоскость, содержащая перпендикуляр к оси, и проходящая через две точки. Всё получится.

@9083 · 15.05.2025, 16:15 **[ТС]**

Я, кажется, все равно не до конца правильно понимаю. В таком случае у получится криволинейная поверхность. И даже если мы получим уравнение этой плоскости, то я не представляю, что делать дальше, т к. Координаты точек между которыми нужно найти расстояние все равно неизвестно.

@one man · 15.05.2025, 17:08

Сообщение от 9083

Координаты точек между которыми нужно найти расстояние все равно неизвестно.

Координаты каких точек, пересечений осей свёрл с цилиндром, или точек по периметрам дырок. В любом случае составляем соответствующие системы уравнений и решаем. Решения, скорее всего, численные, уравнения должны быть несложные. Если решать в параметрическом виде, то надо думать, но самое простое, как мне кажется, это прямоугольные координаты.
Например, точки на периметре: два уравнение - точка принадлежит обоим цилиндрам, то же самое для второй точки. 4 уравнения. Ищем минимум расстояния с условием этих четырёх уравнений. То есть, задача на условный экстремум, решать можно через множители Лагранжа. Можно решать дискретным перебором точек на линиях пересечения. Найдя координаты точек, найдём расстояние между ними, но уже по цилиндру.
Всё должно получиться, но лучше, мне кажется, пользоваться мат пакетом.

@9083 · 15.05.2025, 19:09 **[ТС]**

Расстояние между точками, образованными пересечением "сверл" и цилиндра диаметром 1020 я нашел. Я выше прикреплял код на python, в котором это реализовано. Проблема в нахождении расстояния между двумя точками на поверхностях отверстий (то есть на их периметрах), которые наиболее приближены друг к другу. Я прикрепил иллюстрацию для лучшего понимания. Я пытался решить эту задачу в прямоугольных координатах, но, в данных случаях, я могу найти координаты точек центров получившихся отверстий, но не тех, которые на их периметрах. Скорее всего, эту задачу можно решить таким методом, но у меня не хватает знаний.

@one man · 15.05.2025, 20:59

Сообщение от 9083

Скорее всего, эту задачу можно решить таким методом, но у меня не хватает знаний

Я уже несколько способов предложил, по какому именно способу и в каком его месте не хватает знаний? Первый способ через плоскость

Сообщение от one man

Плоскость, содержащая перпендикуляр к оси, и проходящая через две точки

самый простой. Получается 6 уравнений и 6 переменных. 6 переменных это три координаты точек на периметре отверстий.
4 уравнения это принадлежность каждой точки двум цилиндрам, и 2 уравнения это принадлежность точек общей плоскости. Плоскость проходит через центры отверстий и прямую, перпендикулярную оси основного цилиндра. То есть, отрезок b на чертеже принадлежит прямой, которая скрещивается с осью основного цилиндра. Это школьная геометрия.

@Nacuott · 16.05.2025, 13:16

9083, запишите уравнение винтовой линии на основном цилиндре (угол бета имеется согласно картинке).
Расположите на ней линии пересечения цилиндров сверления с основным цилиндром.
Найдите длину винтовой винтовой линии между точками пересечения кривых сверления с винтовой линии.

@u235 · 16.05.2025, 13:33

9083, я так понимаю, что геодезическая на цилиндре будет просто отрезком (минимальным) на его развертке.

@Nacuott · 16.05.2025, 13:59

Пояснение к посту 11
Кратчайшая на цилиндре - винтовая линия.

@u235 · 16.05.2025, 14:48

Nacuott, так винтовых линий можно сколько угодно провести. И точно не факт что геодезическая будет проходить через оси/центры отверстий.

@Nacuott · 16.05.2025, 14:59

Сообщение от u235

Nacuott, так винтовых линий можно сколько угодно провести. И точно не факт что геодезическая будет проходить через оси/центры отверстий.

Под углом бета только одну

@u235 · 16.05.2025, 15:11

Nacuott, угол бета это угол между центрами. А геодезическая через центры не проходит.
По сути, надо отобразить отверстия на развертку и искать минимальное растояние между кривыми/отверстиями.

@Nacuott · 16.05.2025, 15:37

Сообщение от u235

Nacuott, угол бета это угол между центрами. А геодезическая через центры не проходит.
По сути, надо отобразить отверстия на развертку и искать минимальное растояние между кривыми/отверстиями.

Если цилиндр с отверстиями развернуть на плоскость, то винтовая (т.е. геодезическая превратится в прямую) и эта прямая пройдет через центры окружностей и через точки на окружностях, находящихся друг от друга на минимальном расстоянии.

@u235 · 16.05.2025, 16:09

Nacuott, нет, окружностей на развертке уже не будет, они превратятся в замкнутые кривые (жестянщики подтвердят)

. И надо искать минимальное растояние между этими кривыми. С центрами это растояние никак не связано.

@Nacuott · 16.05.2025, 16:38

Сообщение от u235

Nacuott, нет, окружностей на развертке уже не будет, они превратятся в замкнутые кривые (жестянщики подтвердят). И надо искать минимальное растояние между этими кривыми. С центрами это растояние никак не связа

Да у Вас мощные аргументы- апелляция к жестянщикам.
Неважно, что окружности превратятся в эллипсы, прямая пройдет через точки эллипсов, расстояние между которыми минимально.

@u235 · 16.05.2025, 16:58

Nacuott, это даже не эллипсы будут.

Возьмите простой случай: два одинаковых по диаметру цилиндра, пересекающиеся под углом 90 градусов.
На развертке линия их пересечения будет состоять из участков двух синусоид. Какой же это эллипс?

Сообщение от Nacuott

прямая пройдет через точки эллипсов, расстояние между которыми минимально.

Именно это я и говорил.
Даже если (допустим) это эллипсы. Задача сведется к тому, чтобы найти минимальное расстояние между двумя эллипсами на плоскости. Она не решается аналитически, только численно. И этот отрезок минимальной длины не будет находиться на прямой между центрами эллипсов. Это понятно?

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Подключение Box2D v3 к SDL3 для Android: физика и отрисовка коллайдеров 8Observer8 29.01.2026 Содержание блога Box2D - это библиотека для 2D физики для анимаций и игр. С её помощью можно определять были ли коллизии между конкретными объектами. Версия v3 была полностью переписана на Си, в. . .	Инструменты COM: Сохранение данный из VARIANT в файл и загрузка из файла в VARIANT bedvit 28.01.2026 Сохранение базовых типов COM и массивов (одномерных или двухмерных) любой вложенности (деревья) в файл, с возможностью выбора алгоритмов сжатия и шифрования. Часть библиотеки BedvitCOM Использованы. . .	Загрузка PNG с альфа-каналом на SDL3 для Android: с помощью SDL_LoadPNG (без SDL3_image) 8Observer8 28.01.2026 Содержание блога SDL3 имеет собственные средства для загрузки и отображения PNG-файлов с альфа-каналом и базовой работы с ними. В этой инструкции используется функция SDL_LoadPNG(), которая. . .	Загрузка PNG с альфа-каналом на SDL3 для Android: с помощью SDL3_image 8Observer8 27.01.2026 Содержание блога SDL3_image - это библиотека для загрузки и работы с изображениями. Эта пошаговая инструкция покажет, как загрузить и вывести на экран смартфона картинку с альфа-каналом, то есть с. . .
Влияние грибов на сукцессию anaschu 26.01.2026 Бифуркационные изменения массы гриба происходят тогда, когда мы уменьшаем массу компоста в 10 раз, а скорость прироста биомассы уменьшаем в три раза. Скорость прироста биомассы может уменьшаться за. . .	Воспроизведение звукового файла с помощью SDL3_mixer при касании экрана Android 8Observer8 26.01.2026 Содержание блога SDL3_mixer - это библиотека я для воспроизведения аудио. В отличие от инструкции по добавлению текста код по проигрыванию звука уже содержится в шаблоне примера. Нужно только. . .	Установка Android SDK, NDK, JDK, CMake и т.д. 8Observer8 25.01.2026 Содержание блога Перейдите по ссылке: https:/ / developer. android. com/ studio и в самом низу страницы кликните по архиву "commandlinetools-win-xxxxxx_latest. zip" Извлеките архив и вы увидите. . .	Вывод текста со шрифтом TTF на Android с помощью библиотеки SDL3_ttf 8Observer8 25.01.2026 Содержание блога Если у вас не установлены Android SDK, NDK, JDK, и т. д. то сделайте это по следующей инструкции: Установка Android SDK, NDK, JDK, CMake и т. д. Сборка примера Скачайте. . .

@9083 0 / 0 / 0 Регистрация: 15.05.2025 Сообщений: 6

	Геодезическое расстояние на поверхности цилиндра 15.05.2025, 12:13. Показов 1916. Ответов 21 Метки нет (Все метки) Столкнулся со следующей, кажущейся несложной, на первый взгляд, задачей, которую так и не смог решить. 1) Дан тонкостенный полый цилиндр диаметром 1020 мм. Ось цилиндра совпадает с осью Z системы координат. В этом цилиндре выполнено 2 отверстия. Ось первого отверстия сонаправлено с осью Y а само отверстие смещено по оси Z на 200 мм (то есть центр отверстия имеет координаты 0, 510, 200). Второе смещено по оси Z на 600 мм, повернуто вокруг оси Z на 20 градусов, после чего смещено по нормали к оси отверстия на 200 мм (координаты центра данного отверстия 352.11, 137.35, 600). 2) Дан тот же цилиндр с тем же первым отверстием. Однако, второе отверстие расположено немного по-другому: само отверстие смещено также на 600 мм по оси Z и повернуто на 20 градусов вокруг оси Z. Затем, если представить, что в получившейся точке мы строим локальную систему координат с направлениями осей по же логике (то есть ось Z лск сонаправлена с осью Z цилиндра), отверстие "наклонено" на 30 градусов вокруг оси X ЛСК и повернуто на 45 градусов вокруг оси Z ЛСК (центр отверстия в координатах 174.43, 0, 600). Собственно суть задачи: нужно численно найти расстояние по дуге цилиндра (по сути, геодезическое расстояние) между точками на этих отверстиях, которые наиболее приближены друг к другу. Я смог найти расстояние между центрами отверстий, а дальше моих знаний катастрофически не хватает, чтобы пересчитать вторые отверстия на развертку цилиндра. У меня есть правильные ответы для этих случаев, полученные с помощью CAD системы: в первом ответ будет 330,68 мм, а во втором 195,17 мм По ссылкам приложил изображение и два stp файла с геометрией данных цилиндров. https://drive.google.com/file/... sp=sharing https://drive.google.com/file/... sp=sharing https://drive.google.com/file/... sp=sharing 0

@one man Нарушитель 212 / 352 / 62 Регистрация: 09.06.2015 Сообщений: 1,436
	15.05.2025, 13:07
	Непонятно, если ответы уже есть, то надо разобраться, как они получены, или для расстояний между точками на границах дырок ответа ещё нет? 0

@9083 0 / 0 / 0 Регистрация: 15.05.2025 Сообщений: 6
	15.05.2025, 13:38 [ТС]
	Ну, во-первых, ответ я написал вполне себе числами, поэтому надобности куда-то лезть нет. Во-вторых, если кто-то захочет - может открыть приложенные файлы, я же, кажется, никого не принуждаю. Тем более, если есть софт - это вообще не проблема. И по вашему вопросу: в моем случае, если я трактовал правильно ваш ответ, у меня физически не получится создать плоскость через точки в центрах отверстий, перпендикулярную оси исходного цилиндра. По первой ссылке прикреплено изображение, на котором показано, как примерно располагаются отверстия. Если вы на нее посмотрите, то увидите, что прямая, проходящая через эти две точки в плоскости XY не перпендикулярная оси цилиндра, поэтому и создать плоскость, которую вы предлагаете, не получится. 0

@9083 0 / 0 / 0 Регистрация: 15.05.2025 Сообщений: 6
	15.05.2025, 16:15 [ТС]
	Я, кажется, все равно не до конца правильно понимаю. В таком случае у получится криволинейная поверхность. И даже если мы получим уравнение этой плоскости, то я не представляю, что делать дальше, т к. Координаты точек между которыми нужно найти расстояние все равно неизвестно. 0

@9083 0 / 0 / 0 Регистрация: 15.05.2025 Сообщений: 6
	15.05.2025, 19:09 [ТС]
	Расстояние между точками, образованными пересечением "сверл" и цилиндра диаметром 1020 я нашел. Я выше прикреплял код на python, в котором это реализовано. Проблема в нахождении расстояния между двумя точками на поверхностях отверстий (то есть на их периметрах), которые наиболее приближены друг к другу. Я прикрепил иллюстрацию для лучшего понимания. Я пытался решить эту задачу в прямоугольных координатах, но, в данных случаях, я могу найти координаты точек центров получившихся отверстий, но не тех, которые на их периметрах. Скорее всего, эту задачу можно решить таким методом, но у меня не хватает знаний. Миниатюры 0

@Nacuott 1833 / 1027 / 192 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 3,084 Записей в блоге: 12
	16.05.2025, 13:16
	9083, запишите уравнение винтовой линии на основном цилиндре (угол бета имеется согласно картинке). Расположите на ней линии пересечения цилиндров сверления с основным цилиндром. Найдите длину винтовой винтовой линии между точками пересечения кривых сверления с винтовой линии. 0

@u235 5515 / 2868 / 571 Регистрация: 07.11.2019 Сообщений: 4,758
	16.05.2025, 13:33
	9083, я так понимаю, что геодезическая на цилиндре будет просто отрезком (минимальным) на его развертке. 0

@Nacuott 1833 / 1027 / 192 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 3,084 Записей в блоге: 12
	16.05.2025, 13:59
	Пояснение к посту 11 Кратчайшая на цилиндре - винтовая линия. Миниатюры 0

@u235 5515 / 2868 / 571 Регистрация: 07.11.2019 Сообщений: 4,758
	16.05.2025, 14:48
	Nacuott, так винтовых линий можно сколько угодно провести. И точно не факт что геодезическая будет проходить через оси/центры отверстий. 0

@u235 5515 / 2868 / 571 Регистрация: 07.11.2019 Сообщений: 4,758
	16.05.2025, 15:11
	Nacuott, угол бета это угол между центрами. А геодезическая через центры не проходит. По сути, надо отобразить отверстия на развертку и искать минимальное растояние между кривыми/отверстиями. 0

@u235 5515 / 2868 / 571 Регистрация: 07.11.2019 Сообщений: 4,758
	16.05.2025, 16:09
	Nacuott, нет, окружностей на развертке уже не будет, они превратятся в замкнутые кривые (жестянщики подтвердят). И надо искать минимальное растояние между этими кривыми. С центрами это растояние никак не связано. 0