Надо построить в одной трехмерной системе координат гиперболоид и плоскость

@Elmar_Velihanov · Регистрация: 19.10.2015

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Гиперболоид задан уравнением:

x^2+2y^2-4z^2=-1

Плоскость задана уравнением:

z=y/2+1

Надо построить две эти поверхности в одной трехмерной системе координат для того, чтобы найти часть плоскости, ограниченную гиперболоидом (лежащую внутри гиперболоида).

Далее нужно будет построить проекции этой плоскости на координатные плоскости для того, чтобы можно было вычислить поток векторного поля через эту поверхность (часть плоскости, лежащую внутри гиперболоида) с помощью поверхностного интеграла второго рода.

Где и как построить эту поверхность?

@nick55782012 · 06.12.2025, 21:31

Сообщение от Elmar_Velihanov

Где и как построить эту поверхность?

вот картинка.

@Nacuott · 06.12.2025, 21:33

Будет так. См. картинку.

@Elmar_Velihanov · 06.12.2025, 21:40 **[ТС]**

Отлично, проекция данной поверхности на плоскость XOY будет выглядеть, как эллипс, я уже нашел его формулу, но как будет выглядеть проекция этой поверхности на остальные координатные плоскости? В остальных случаях получается не всё так просто.

Добавлено через 1 минуту
Думаю, что проекция на плоскость YOZ должна выглядеть просто как отрезок прямой.

@Iliodor · 06.12.2025, 21:43

может тут https://www.geogebra.org/3d

@Elmar_Velihanov · 06.12.2025, 21:46 **[ТС]**

Iliodor, да, я здесь уже построил. Но нужны аналитические уравнения всех трех проекций в плоскостях, так как потом надо будет считать поверхностный интеграл второго рода. Он нужен для вычисления потока векторного поля.

@nick55782012 · 06.12.2025, 21:54

вот ишо проекции...

@Nacuott · 06.12.2025, 22:29

Пропустил двойку в уравнении гиперболоида.
Картинка будет такая.

@palva · 07.12.2025, 00:41

Сообщение от Elmar_Velihanov

но как будет выглядеть проекция этой поверхности на остальные координатные плоскости?

А зачем вам это? По-моему, для вычисления интеграла достаточно одной проекции. Вы преобразуете интеграл второго рода в двойной интеграл по этой проекции.

Добавлено через 1 час 50 минут

Сообщение от Elmar_Velihanov

Но нужны аналитические уравнения всех трех проекций в плоскостях

Ну если очень нужны, то выразите y через уравнение плоскости и подставьте в уравнение гиперболоида. У меня получился такой эллипс (мог ошибиться в выкладках). $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^2+4(z-2)^2=7$
Ну а проекция на плоскость Oyz, как вам справедливо заметили, -- это отрезок прямой, уравнение которой совпадает с уравнением плоскости. Остаётся найти концы этого отрезка. Для этого посмотрите на уравнение выше и подумайте в каких пределах может меняться x.

@Nacuott · 07.12.2025, 00:52

Параметрическое уравнение эллипса и его проекций на координатные плоскости.
См.картинку.

@Elmar_Velihanov · 07.12.2025, 11:20 **[ТС]**

Сообщение от palva

По-моему, для вычисления интеграла достаточно одной проекции. Вы преобразуете интеграл второго рода в двойной интеграл по этой проекции.

То есть вы имеете в виду, что все остальные интегралы, входящие в сумму, будут равны 0? Или что? То, что интеграл, соответствующий проекции плоскости перпендикулярной, будет равен 0, это точно. Но есть еще третья проекция.

Добавлено через 2 минуты
Да, и хорошо, что есть параметрическое уравнение проекции на плоскость XOY. Оно может очень понадобиться для вычисления соответствующего двойного интеграла. Но как оно было получено?

@Nacuott · 07.12.2025, 12:16

Сообщение от Elmar_Velihanov

Да, и хорошо, что есть параметрическое уравнение проекции на плоскость XOY. Оно может очень понадобиться для вычисления соответствующего двойного интеграла. Но как оно было получено?

У кого Вы спрашиваете?

@Elmar_Velihanov · 07.12.2025, 14:44 **[ТС]**

Сообщение от Nacuott

У кого Вы спрашиваете?

У всех, кто может ответить.

Добавлено через 1 час 20 минут
Nacuott, в данном случае радиус окружности, которая является проекцией на плоскость X0Y, равен sqrt(7)? Я правильно понял?

@Nacuott · 07.12.2025, 15:49

Сообщение от Elmar_Velihanov

Nacuott, в данном случае радиус окружности, которая является проекцией на плоск

С чего Вы взяли, что проекция на ХОУ будет окружность?
В моем посте ведь есть уравнение этой проекции!

@palva · 07.12.2025, 16:22

Сообщение от Elmar_Velihanov

То есть вы имеете в виду, что все остальные интегралы, входящие в сумму, будут равны 0?

Не понимаю о какой сумме вы говорите. Возможно, я неправильно понял вашу задачу.

@Elmar_Velihanov · 07.12.2025, 16:36 **[ТС]**

Сообщение от Nacuott

С чего Вы взяли, что проекция на ХОУ будет окружность?

Ну, эллипс.

@palva · 07.12.2025, 16:42

Сообщение от Elmar_Velihanov

в данном случае радиус окружности, которая является проекцией на плоскость X0Y, равен sqrt(7)? Я правильно понял?

По моим прикидкам это правильно.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=y/2+1;\ z^2=y^2/4+y+1.$ Подставляем это в уравнение поверхности. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^2+2y^2-4(y^2/4+y+1)=-1;$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^2+y^2-4y-4=-1;\ x^2+(y-2)^2=7.$ Радиус равен $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt 7$

@Elmar_Velihanov · 07.12.2025, 16:56 **[ТС]**

Сообщение от palva

По моим прикидкам это правильно.
Подставляем это в уравнение поверхности.
Радиус равен
__________________

Но это и есть окружность, а не эллипс (если не считать окружность частным случаем эллипса).

Добавлено через 4 минуты
Всё нормально получается, только вот получилось, что надо вычислить поверхностный интеграл IIxdxdy по данной окружности. Я перешел к полярным координатам, всё нормально, но если взять пределы интегрирования по фи от 0 до 2pi, то получается 0. Возможно, надо взять пределы интегрирования от -pi/2 до +pi/2? Как это обосновать? Такое ощущение, что он не должен получаться равным 0. И, кроме него, есть второй поверхностный интеграл, с которым та же история.

@palva · 07.12.2025, 19:11

Посмотрите учебник, как вычислять поток.
Во-первых, надо знать сам вектор V(x,y,z), про поток которого вы говорите. Он у вас не задан и нигде не участвует.
Его для каждой точки поверхности нужно скалярно умножить на единичную нормаль n к поверхности (она у вас будет постоянная на всей поверхности). Причем направление нормали нужно брать в ту сторону поверхности в которую считается поток.
Это число нужно умножить на площадь поверхности, соответствующую площади dxdy, а эта площадь равна площади (произведению) dxdy деленному на (cos alfa). alfa это угол, под которым касательная плоскость к поверхности в этой точке расположена по отношению к проекции Oxy. А этот косинус в свою очередь равен третьей координате нормали.
И всё это надо интегрировать по кругу S в плоскости Oxy. Это двойной интеграл, а не одинарный, то есть берется он по кругу, а не окружности.
Схематично получается такая формула:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\iint_S\frac{(V,n)}{n_z}\,dxdy$

@Elmar_Velihanov · 07.12.2025, 19:40 **[ТС]**

Сообщение от palva

Посмотрите учебник, как вычислять поток.
Во-первых, надо знать сам вектор V(x,y,z), про поток которого вы говорите. Он у вас не задан и нигде не участвует.

Вектор есть у меня, только я его здесь не написал.
Всё сделал примерно по той схеме, которую вы описали.
Сложность заключается скорее не в формуле самого потока, а в двойном интеграле по окружности.
Какие нижний и верхний пределы интегрирования надо взять по фи (по углу)?

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
SDL3 для Web (WebAssembly): Обработчик клика мыши в браузере ПК и касания экрана в браузере на мобильном устройстве 8Observer8 02.02.2026 Содержание блога Для начала пошагово создадим рабочий пример для подготовки к экспериментам в браузере ПК и в браузере мобильного устройства. Потом напишем обработчик клика мыши и обработчик. . .	Философия технологии iceja 01.02.2026 На мой взгляд у человека в технических проектах остается роль генерального директора. Все остальное нейронки делают уже лучше человека. Они не могут нести предпринимательские риски, не могут. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Вывод текста со шрифтом TTF с помощью SDL3_ttf 8Observer8 01.02.2026 Содержание блога В этой пошаговой инструкции создадим с нуля веб-приложение, которое выводит текст в окне браузера. Запустим на Android на локальном сервере. Загрузим Release на бесплатный. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Сборка C/C++ проекта из консоли 8Observer8 30.01.2026 Содержание блога Если вы откроете примеры для начинающих на официальном репозитории SDL3 в папке: examples, то вы увидите, что все примеры используют следующие четыре обязательные функции, а. . .
SDL3 для Web (WebAssembly): Установка Emscripten SDK (emsdk) и CMake для сборки C и C++ приложений в Wasm 8Observer8 30.01.2026 Содержание блога Для того чтобы скачать Emscripten SDK (emsdk) необходимо сначало скачать и уставить Git: Install for Windows. Следуйте стандартной процедуре установки Git через установщик. . . .	SDL3 для Android: Подключение Box2D v3, физика и отрисовка коллайдеров 8Observer8 29.01.2026 Содержание блога Box2D - это библиотека для 2D физики для анимаций и игр. С её помощью можно определять были ли коллизии между конкретными объектами. Версия v3 была полностью переписана на Си, в. . .	Инструменты COM: Сохранение данный из VARIANT в файл и загрузка из файла в VARIANT bedvit 28.01.2026 Сохранение базовых типов COM и массивов (одномерных или двухмерных) любой вложенности (деревья) в файл, с возможностью выбора алгоритмов сжатия и шифрования. Часть библиотеки BedvitCOM Использованы. . .	SDL3 для Android: Загрузка PNG с альфа-каналом с помощью SDL_LoadPNG (без SDL3_image) 8Observer8 28.01.2026 Содержание блога SDL3 имеет собственные средства для загрузки и отображения PNG-файлов с альфа-каналом и базовой работы с ними. В этой инструкции используется функция SDL_LoadPNG(), которая. . .

@Elmar_Velihanov -68 / 12 / 4 Регистрация: 19.10.2015 Сообщений: 682

	Надо построить в одной трехмерной системе координат гиперболоид и плоскость 06.12.2025, 20:40. Показов 963. Ответов 22 Метки нет (Все метки) Гиперболоид задан уравнением: x^2+2y^2-4z^2=-1 Плоскость задана уравнением: z=y/2+1 Надо построить две эти поверхности в одной трехмерной системе координат для того, чтобы найти часть плоскости, ограниченную гиперболоидом (лежащую внутри гиперболоида). Далее нужно будет построить проекции этой плоскости на координатные плоскости для того, чтобы можно было вычислить поток векторного поля через эту поверхность (часть плоскости, лежащую внутри гиперболоида) с помощью поверхностного интеграла второго рода. Где и как построить эту поверхность? 0

@Nacuott 1833 / 1027 / 192 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 3,084 Записей в блоге: 12
	06.12.2025, 21:33
	Будет так. См. картинку. Миниатюры 0

@Elmar_Velihanov -68 / 12 / 4 Регистрация: 19.10.2015 Сообщений: 682
	06.12.2025, 21:40 [ТС]
	Отлично, проекция данной поверхности на плоскость XOY будет выглядеть, как эллипс, я уже нашел его формулу, но как будет выглядеть проекция этой поверхности на остальные координатные плоскости? В остальных случаях получается не всё так просто. Добавлено через 1 минуту Думаю, что проекция на плоскость YOZ должна выглядеть просто как отрезок прямой. 0

@Iliodor 600 / 439 / 115 Регистрация: 14.03.2021 Сообщений: 1,714
	06.12.2025, 21:43
	может тут https://www.geogebra.org/3d 0

@Elmar_Velihanov -68 / 12 / 4 Регистрация: 19.10.2015 Сообщений: 682
	06.12.2025, 21:46 [ТС]
	Iliodor, да, я здесь уже построил. Но нужны аналитические уравнения всех трех проекций в плоскостях, так как потом надо будет считать поверхностный интеграл второго рода. Он нужен для вычисления потока векторного поля. 0

@nick55782012 2738 / 1916 / 952 Регистрация: 25.12.2016 Сообщений: 5,453
	06.12.2025, 21:54
	вот ишо проекции... Миниатюры 0

@Nacuott 1833 / 1027 / 192 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 3,084 Записей в блоге: 12
	06.12.2025, 22:29
	Пропустил двойку в уравнении гиперболоида. Картинка будет такая. Миниатюры 0

@Nacuott 1833 / 1027 / 192 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 3,084 Записей в блоге: 12
	07.12.2025, 00:52
	Параметрическое уравнение эллипса и его проекций на координатные плоскости. См.картинку. Миниатюры 0

@palva 4278 / 2970 / 693 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,930 Записей в блоге: 5
	07.12.2025, 19:11
	Посмотрите учебник, как вычислять поток. Во-первых, надо знать сам вектор V(x,y,z), про поток которого вы говорите. Он у вас не задан и нигде не участвует. Его для каждой точки поверхности нужно скалярно умножить на единичную нормаль n к поверхности (она у вас будет постоянная на всей поверхности). Причем направление нормали нужно брать в ту сторону поверхности в которую считается поток. Это число нужно умножить на площадь поверхности, соответствующую площади dxdy, а эта площадь равна площади (произведению) dxdy деленному на (cos alfa). alfa это угол, под которым касательная плоскость к поверхности в этой точке расположена по отношению к проекции Oxy. А этот косинус в свою очередь равен третьей координате нормали. И всё это надо интегрировать по кругу S в плоскости Oxy. Это двойной интеграл, а не одинарный, то есть берется он по кругу, а не окружности. Схематично получается такая формула: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\iint_S\frac{(V,n)}{n_z}\,dxdy$ 0