Найти сторону наименьшего квадрата, в который можно уложить два единичных круга

Найти найменьший квадрат.
Условие задачи:

Чему равна сторона наименьшего квадрата, в который можно уложить два единичных круга, один из которых разрешается разрезать по хорде на два сегмента?

0

Сообщение от Nacuott Интуитивно вроде верно, но нужно доказать.

Вот если из Вашего рисунка и центры двух других окружностей лежат на сторонах квадрата, то:
пусть координаты центра верхней окружности (х1, у1), второй (справа) (х2,у2), полной (0,0), тогда
a = 1 + x1 + (x2 - x1) = 1 + x2 = 1 + 2*cos(alpha);
(x2 = 2*cos(alpha) , 2 - это два радиуса 1+1 - т.е. cos(alpha) равен отношению прилежащего катета к гипотенузе) ;
Диагональ квадрата есть биссектриса равностороннего треугольника, значит :
alpha = 45 - 30 = 15 (градусов).
a = 1 + x1 + (x2 - x1) = 1 + x2 = 1 + 2*cos(15);

cos(45-30) = cos(45)cos(30) + sin(45)sin(30) = √2/2 * √3/2 + √2/2 * 1/2 = (√6 + √2)/4 ;
a = 1 + 2*((√6 + √2)/4 ) = 1 + (√6 + √2)/2 ;
a = 2.93185 ;
■

Сообщение от Nacuott Может можно построить еще меньший ?

из этого уравнения:
a = 1 + z*cos(alpha);
Чтобы не подбирать, надо составить второе уравнение для a или z.
(надо подумать возможно ли это вообще, чтобы решить в общем виде, а не только для случая когда центры двух окружностей на сторонах квадрата).

Миниатюры

 

0

Сообщение от Dushevny Ан нет, можно меньше: На второй моей картинке сторона квадрата 2.89322

здесь на рисунке похоже ошибка - центр верхней окружности находится ниже стороны квадрата, значит левая сторона квадрата не может соединяться с точкой на длине окружности в левой верхней части рисунка, а быть касательной к длине окружности - т.е там не три линии сходятся в одну точку, а будет две точки - одна точка это пересечение двух сторон квадрата (левой и верхней), а вторая точка рядом это пересечение длины верхней окружности и верхней стороны квадрата - т.е. этот Ваш второй рисунок неправильный, а значит и второе решение неправильное.

0

Сообщение от Python_Val здесь на рисунке похоже ошибка

Не думал, что разгорится такая дискуссия, поэтому не сохранил проект. Но сейчас восстановлю - "фигли нам, красивым девкам...". Теперь любой может поиграться, FreeCAD бесплатен.
sq_pack.zip

Сообщение от Python_Val значит левая сторона квадрата не может соединяться с точкой на длине окружности в левой верхней части рисунка, а быть касательной к длине окружности

Длина окружности - понятие абстрактное, она не может содержать точек или касаться чего-то. Разумеется, верхняя дуга касается стороны квадрата - возможно, я неправильно выразился:

Тут я задал ограничение касания и сторона квадрата получилась еще меньше - 2.8924.

0

Оказывается задача упрощается - ее решение сводится к работе с выражениями от одной переменной. Эта переменная представляет собой расстояние секущей хорды от центра единичного круга.
Все начинается с нахождения прямой линии, совпадающей с левой стороной квадрата. Для этого нужно найти общую касательную верхней окружности и окружности, радиус которой равен выше сказанному расстоянию секущей хорды от центра круга. Общих касательных для двух окружностей, которые не пересекаются, можно провести четыре штуки. Нам нужна одна из "косых". В этом состоит неудобство для исследования вопроса.
Касательные находятся путем решения двух уравнений. Решает эти уравнения Маткад. Он выдает все решения которых их, вообще-то, более четырех. Нужное решение нужно выбирать вручную. И здесь автоматические решения прерываются - это и есть то неудобство для исследования задачи. После того как найдена прямая, совпадающая с левой стороной квадрата, относительно легко находятся все остальные параметры квадрата.
На приведенном рисунке я взял расстояние секущей хорды до центра круга 1/10 и получил при этом сторону квадрата 2,888....
Аналитически получить зависимость между длиной стороны квадрата и расстоянием секущей sхорды от центра круга при таком способе решения не удается. Вероятней всего и не возможно.
Поэтому настоящая задача и есть проблема упаковки.
См.картинку.

Миниатюры

 

0

Сообщение от Nacuott На приведенном рисунке я взял расстояние секущей хорды до центра круга 1/10 и получил при этом сторону квадрата 2,888....

Вы подкинули идею задать в фрикаде в качестве ограничения равенство расстояний от центров сеченых окружностей до сторон квадрата. В таком случае получается фигура с одной степенью свободы и можно двигая мышкой искать минимум стороны квадрата. И вот минимум получается именно в момент касания левой стороны квадрата верхней дуги. Если добавить ограничение касания - фигура теряет степени свободы и фрикад показывает в этом случае расстояние от секущей хорды до центра круга 0.103357 и сторону квадрата 2.89295.

При хорде 0.1 фрикад показывает сторону квадрата 2.89542. Вы точно не ошиблись в расчетах?

Прикладываю исправленный проект фрикада sq_pack.zip, вы можете поставить фрикад (он бесплатный) и сами подвигать вот эту точку, наблюдая за получающимися длиной стороны квадрата и расстоянием от хорды до центра:

После загрузки проекта на вкладке Model надо дважды кликнуть на строку Sketch:

0

Сообщение от Nacuott Аналитически получить зависимость меду длиной стороны квадрата и расстоянием секущей хорды от центра круга при таком способе решения не удается.

Сообщение от Nacuott Может можно построить еще меньший ?

да это не проблема, просто часик с ручкой и тетрадкой посидеть. (задачка на одну трубку)
Можно. Вот выведенная формула (в продолжение к посту 21) :


Сторона квадрата равна:
a = 1 + x1 + (x2 - x1) = 1 + x2 = 1 + 2*cos(45-30); где 2 это гипотенуза до центра правой окружности. обозначим её z2. а угол alpha
Но также сторона квадрата равна:
a = 1 + y2 + (y1 - y2) = 1 + y1 = 1 + 2*sin(45+30); где 2 это гипотенуза до центра верхней окружности, обозначим её z1. a угол betta
1 + 2*sin(75) = 1 + 2*cos(15);
1 + z1*sin(betta) = 1 + z2*cos(alpha)
z1/z2 = cos(alpha) / sin(betta) ; - причём разница между alpha и betta всегда 60 градусов.

т.к. треугольник (по центрам окружностей) не меняется (const), выведем из теоремы косинусов какую-то одну из "наклонных" z в зависимости от любого допустимого угла (допустимые углы, как видно из рисунка от 0 до 30 - при угле в 0 градусов правая окружность (сегмент) коснётся нижней стороны квадрата, а верхняя правой сторны. При угле в 30 градусов - правая окружность (сегмент) коснётся верхней стороны квадрата, а верхняя окружность левой стороны.),

z1^2​+z2^2​−2z1​z2​cos60∘=const, докажем: разделим на z2^2
(z1/z2)^2 + 1 - 2(z1/z2)cos60 =
(cos(a)/sin(60+a))^2 + 1 - 2(cos(a)/sin(60+a))* 1/2 =
(cos(a)/sin(60+a))^2 - (cos(a)/sin(60+a)) + 1 = const/z2^2 ;

из частного случая (когда z1=z2=2) найдём const
4+4-2*2*2*1/2 = 4;
const = 4;

(cos(a)/sin(60+a))^2 - (cos(a)/sin(60+a)) + 1 = 4 / z2^2 ;

z2^2 = 4 / ((cos(a)/sin(60+a))^2 - (cos(a)/sin(60+a)) + 1) ;

т.к. выше нашли, что сторона квадрата:
a■ = 1 + z2*cos(a), то

a■ = 1 + cos(a)*SQRT(4 / ((cos(a)/sin(60+a))^2 - (cos(a)/sin(60+a)) + 1)) ;

a■ = 1 + 2cos(a) / SQRT((cos(a)/sin(60+a))^2 - (cos(a)/sin(60+a)) + 1) ;

при alpha = 0 сторона 2.84222
при alpha = 15 сторона 2.89192
при alpha = 30 сторона 2.84222

т.е. минимальная сторона квадрата при углах 0 и 30 градусов.

■

0

Python_Val , я ничего не понял из вашего вывода формулы зависимости
стороны квадрата от от одной переменной.
Если такая формула (функция) известна, то что мешает исследовать ее на экстремум известными методами и
получить однозначный ответ? Притом точный!

Добавлено через 23 минуты
Dushevny, после того как Вы упомянули о FreeCAD я посмотрел, что
это такое. Попросил сына, чтобы он установи его мне на комп. Пришлось установить
старую версию т.к. у меня на компе стоит Виндоус 7.
Русскоязычной книги по Фрикаду нет, все пользуются уроками по Фрикаду на ютубе.
Послушал один такой начальный урок - очень нудно. Оставил я FreeCAD в покое.
По существу Вы использовали в данной задаче FreeCAD как игрушку.
А это все-таки математическая задача и ждет точного математического решения.

0

Сообщение от Nacuott Python_Val , я ничего не понял из вашего вывода формулы зависимости стороны квадрата от от одной переменной.

Вот рисунок. С рисунком будет понятно. (я надеюсь).
(единственное надо убедиться что в крайних углах оба сегмента будут целиком - т.е. может надо брать не от нуля до 30, а например от 2 до 28 градусов. Это оставляю Вам).

ps: там выше не то значение вставил для 15 градусов

Сообщение от Python_Val при alpha = 0 сторона 2.84222 при alpha = 15 сторона 2.89192 при alpha = 30 сторона 2.84222

при alpha = 0 сторона 2.84222
при alpha = 15 сторона 2.93185 - т.е. когда центры на сторонах - это максимум.
при alpha = 30 сторона 2.84222

(также на рисунке z1 и z2 поменять местами - только что перечитал выше что я там за что обозначил. Хотя Вы и так разберётесь)

Миниатюры

 

0

Сообщение от Python_Val при alpha = 0 сторона 2.84222

При этом верхняя дуга уходит за правую сторону квадрата, условие одной хорды в каждой дуге нарушается.

0

Python_Val, взял я производную от предложенной вами функции а(альфа). Приравнял нулю и решил уравнение.
Получил два значения для альфа 15 градусов и (-75) градусов. Причем а(pi/12)=1,931.... что не соответствует действительности, где-то Вы пропустили единицу.
См.картинку. Картинку покажу позже (потерялась)

Вот картинка с полученными аналитическими вычислениями по вашей формуле.

Сообщение от Dushevny При хорде 0.1 фрикад показывает сторону квадрата 2.89542. Вы точно не ошиблись в расчетах?

Нет, у меня расчеты аналитические, символьные, точные.
Сейчас покажу точное значение длины левой стороны квадрата, изображенного на моей последней картинке.

Миниатюры

 

0

Вот точные значение длины стороны квадрата для случая когда секущая хорда отстоит от центра круга на 1/10. А также точные координаты левых вершин квадрата (точки D и B). Сторона квадрата равна модулю вектора D-B.
См.картинку.

Резюме. Написал в Маткаде 11 программку, которая по одному заданному параметру(расстоянию секущей хорды от центра круга) сразу выдает размер стороны квадрата. Все вычисления в программе точные (аналитические, символьные) кроме одного последнего - Маткад 11 не смог символьно решить систему двух уравнений прямых линий. Уравнения этих прямых очень длинные - это результат символных вычислений, которые привели к уравнениям этих прямых.
Но численно Маткад 11 эту систему решил. Вот таблица нескольких значений a и h.
При стремлении h к нулю a стремится к некоторому пределу. Короче, сторона минимального квадрата меньше 2,871

Миниатюры

   

0

Вот та таблица.
См.картинку.

Миниатюры

 

0

Нет четкого понимания полученного результата.



Построение начинается с изображения трёх кругов единичного радиуса, расположенных симметрично оси OY (ось OY на картинке не изображена).

1. Проводим окружность радиусом r=1/10 с центром в центре нижней левой окружности (зелёной).
2. Проводим общую касательную к этой окружности и к верхней (красной). Предварительно найдя координаты точек K и k1.
3. Из точки O (центра красной окружности) откладываем вектор Od, параллельный вектору k1K и по модулю равный 1/10.
4. Через точку d проводим прямую, перпендикулярную вектору k1K.
5. Находим точку пересечения прямых из пунктов 2 и 4. Получим точку A. Точка A - это верхняя левая вершина квадрата, никаких построений больше делать не нужно. Для этого к длине вектора AO1 прибавляем и делим эту сумму на .
6. Здесь на картинке секущая хорда круга расположена от его центра на расстоянии, равном 1/10. При этом длина стороны квадрата равна 2.8921751700114.

Если вместо 1/10 взять 1/100 (при тех же построениях), то длина стороны квадрата станет меньше, а именно 2.87280394190544. Здесь получается некий парадокс: при уменьшении расстояния секущей хорды от центра круга сторона квадрата уменьшается. Однако, при значении этого расстояния нулю сторона квадрата становится равной трём!?

0

Сообщение от Nacuott Однако, при значении этого расстояния нулю сторона квадрата становится равной трём!?

Нет, не становится. При выполнении условий задачи прямая, проведенная через центры нижних окружностей никогда не параллельна стороне квадрата.

0

Сообщение от Dushevny Нет, не становится. При выполнении условий задачи прямая, проведенная через центры нижних окружностей никогда не параллельна стороне квадрата.

Если секущая хорда проходит через центр круга, то горизонтальные стороны квадрата равны
трем. Я это имел в виду.

0

Nacuott, 5 пункт не верен, так как при таком построении O1 не обязана лежать на диагонали квадрата. Постройте реальный квадрат при парадоксе.

0

Сообщение от Nacuott Если секущая хорда проходит через центр круга, то горизонтальные стороны квадрата равны трем. Я это имел в виду.

Нет, не равны. Потому что в этом случае стороны квадрата не параллельны/перпендикулярны прямой, проходящей через центра окружностей.

0

Nacuott, ещё раз попытаюсь донести свой способ рассмотрения задачи.
Для удобства зафиксируем одну окружность и две прямые соответствующие сторонам квадрата, которые касаются этой окружности. На рисунках эти окружность и прямые показаны синим цветом.
Разные случаи построения квадрата получаются путём вращения по часовой стрелке двух окружностей вокруг центра зафиксированной окружности. Динамику вращения можно увидеть из разных рисунков. Первый рисунок соответствует начальному положению, угол поворота равен нулю. Центр левой окружности лежит на горизонтальной прямой с центром фиксированной. На втором рисунке окружности повернуты на 5 градусов.
Сторона квадрата получается как среднее между X-координатой центра левой окружности и Y-координатой центра верхней окружности. Для стороны квадрата получается формула:

Нужно рассмотреть повороты от 0 до 15 градусов. После 15 градусов начинается симметрия. Значения функции увеличиваются по мере увеличения угла. Значит минимальная сторона квадрата должна соответствовать минимальному углу.
Однако, для нулевого угла из первой картинки видно, что построенный квадрат своей левой стороной режет верхнюю окружность. Это не соответствует исходной задаче. Исходя из динамики функции получается, что нужно найти такой минимальный угол поворота, при котором левая сторона квадрата не будет резать верхнюю окружность. Это можно сделать аналитически, записав X-координату самой левой точки верхней окружности и связав её со стороной квадрата:

Приравняв L из двух формул можно получить угол, при котором сторона квадрата минимальна:

Не факт, что это оптимальная упаковка, но для заданного взаимного расположения окружностей и условия вписанности одной из окружностей в угол квадрата, вроде, можно говорить об оптимальности.

Миниатюры

   

0

Сообщение от Ygg Nacuott, 5 пункт не верен, так как при таком построении O1 не обязана лежать на диагонали квадрата. Постройте реальный квадрат при парадоксе.

Я знаю, но пока занимаюсь этим вопросом.
По-моему, для разных расстояний секущей хорды от центра круга, после проведения касательных к целому кругу параллельно прямым Аk1 и Ad получается прямоугольник, а не квадрат.
Это тяжело заметить т.к. разница меду сторонами прямоугольника небольшая и ее трудно заметить при численных вычислениях.
Похоже, что при некотором единственном расстоянии секущей хорды от центра круга получается квадрат, который и будет минимальным.
Нужно еще исследовать задачу - не даром она считается проблемой упаковки и не решена до настоящего времени.
Кто знает английский - неплохо бы посмотреть - "как дела за бугром с этой задачей"

0

Сообщение от Nacuott Кто знает английский - неплохо бы посмотреть- "как дела за бугром с этой задачей"

Достаточно задать эту задачу дипсику (что например я сразу и сделал) - текущий ответ у задачи примерно 2,7

0