Доказать, что существует круг содержащий в себе фигуру

@Igor · Регистрация: 11.11.2010

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Имеется плоская фигура. Расстояние между любыми двумя ее точками не больше $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?d$ .
Доказать, что существует круг радиуса $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{d}{\sqrt{3}}$ , содержащий в себе эту фигуру.

@Catstail · 04.08.2012, 21:04

Если расстояние между любыми двумя точками фигуры <=d, это означает, что фигура располагается в круге радиуса d/2. Но d/2 < d/√3...
Или я "не догоняю"?

@splen · 04.08.2012, 21:54

Это частный случай - для плоскости - известной теоремы Юнга. Одно из наиболее коротких доказательств использует два вспомогательных утверждения:

1. Для любых трёх точек данной фигуры существует круг радиуса $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?d / \sqrt 3$ , покрывающий эти точки. (В самом деле, если треугольник с вершинами в этих точках остроугольный, и А - его наибольший угол, лежащий против стороны а, то $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A \geq \pi /3,$ и радиус окружности, описанной около этого треугольника, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?r = \frac{a}{2sinA} \leq \frac{d}{\sqrt 3}.$ Если треугольник - не остроугольный, то он покрывается кругом, диаметром которого служит наибольшая сторона.)

2. (Теорема Хелли). Если любые три из произвольного набора выпуклых фигур имеют общую точку, то и все фигуры имеют общую точку. (Доказательство этой теоремы встречается часто. Его можно найти, например, в книге: Г.Хадвигер, Г.Дебруннер. Комбинаторная геометрия плоскости).

Доказательство:
Для каждой точки фигуры рассмотрим круг с центром в этой точке и радиусом $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?d / \sqrt 3$ . Тогда из "1" следует, что каждые три таких круга имеют общую точку, а из "2" - что они все имеют общую точку, и круг того же радиуса с центром в этой точке будет покрывать всю фигуру.

Не по теме:

Catstail, простейший контрпример - равносторонний треугольник со стороной d.

@СерыйКардинал · 05.08.2012, 01:51

splen, охохо, здорово

, когда-то слышал такие слова как теорема Хелли, но они пролетели мимо ушей

Добавлено через 2 часа 29 минут
Catstail, нравится мне ваша цитата

@Catstail · 05.08.2012, 08:07

Сообщение от СерыйКардинал

Catstail, нравится мне ваша цитата

- мне тоже

@Eugeniy · 05.08.2012, 23:46

Сообщение от splen

Теорема Хелли

Теорем Хелли существует много - уж больно плодотворным был

В данном случае более общая теорема про вложенные компакты, которая гласит, что пересечение любой системы компактов
не пусто тогда и только тогда, когда не пусто пересечение любой их конечной подсистемы.

vetvet · 05.08.2012, 23:57

Не по теме:

Eugeniy, а как у Вас с абстрактной алгеброй? А то тут товарищ чего-то хочет, а мы, за отсутствием абстракционистов, не можем понять, чего ему надо.

@Eugeniy · 06.08.2012, 01:00

vetvet, мне нравится фраза "Абстрактная алгебра" - а что, бывает другая?

В данном случае цитата Зощенка наиболее уместна!)

vetvet · 06.08.2012, 10:59

Не по теме:

Eugeniy, я натыкалась на название дисциплин "Линейная и абстрактная алгебра". Понимаю, что она абстрактная вся, но нравится некоторым товарищам придумывать странные названия :gpardon:

@СерыйКардинал · 07.08.2012, 04:47

Сообщение от vetvet

а мы, за отсутствием абстракционистов, не можем понять, чего ему надо.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Идея фильтра интернета (сервер = слой+фильтр). Hrethgir 31.03.2026 Суть идеи заключается в том, чтобы запустить свой сервер, о чём я если честно мечтал давно и давно приобрёл книгу как это сделать. Но не было причин его запускать. Очумелые учёные напечатали на. . .	Модель здравосоХранения 6. ESG-повестка и устойчивое развитие; углублённый анализ кадрового бренда anaschu 31.03.2026 В прикрепленном документе раздумья о том, как можно поменять модель в будущем	10 пpимет, которые всегда сбываются Maks 31.03.2026 1. Чтобы, наконец, пришла маршрутка, надо закурить. Если сигарета последняя, маршрутка придет еще до второй затяжки даже вопреки расписанию. 2. Нaдоели зима и снег? Не надо переезжать. Достаточно. . .	Перемещение выделенных строк ТЧ из одного документа в другой Maks 31.03.2026 Реализация из решения ниже выполнена на примере нетипового документа "ВыдачаОборудованияНаСпецтехнику" с единственной табличной частью "ОборудованиеИКомплектующие" разработанного в конфигурации КА2. . . .
Functional First Web Framework Suave DevAlt 30.03.2026 Sauve. IO Апнулись до NET10. Из зависимостей один пакет, работает одинаково хорошо как в режиме проекта так и в интерактивном режиме. из сложностей - чисто функциональный подход. Решил. . .	Автоматическое создание документа при проведении другого документа Maks 29.03.2026 Реализация из решения ниже выполнена на нетиповых документах, разработанных в конфигурации КА2. Есть нетиповой документ "ЗаявкаНаРемонтСпецтехники" и нетиповой документ "ПланированиеСпецтехники". В. . .	Настройка движения справочника по регистру сведений Maks 29.03.2026 Решение ниже реализовано на примере нетипового справочника "ТарифыМобильнойСвязи" разработанного в конфигурации КА2, с целью учета корпоративной мобильной связи в коммерческом предприятии. . . .	Автозаполнение реквизита при выборе элемента справочника Maks 27.03.2026 Программный код из решения ниже на примере нетипового документа "ЗаявкаНаРемонтСпецтехники" разработанного в конфигурации КА2. При выборе "Спецтехники" (Тип Справочник. Спецтехника), заполняется. . .

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2

	Доказать, что существует круг содержащий в себе фигуру 04.08.2012, 14:46. Показов 1995. Ответов 9 Метки нет (Все метки) Имеется плоская фигура. Расстояние между любыми двумя ее точками не больше $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?d$ . Доказать, что существует круг радиуса $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{d}{\sqrt{3}}$ , содержащий в себе эту фигуру. 0

@Catstail Супер-модератор 38195 / 21128 / 4309 Регистрация: 12.02.2012 Сообщений: 34,733 Записей в блоге: 14
	04.08.2012, 21:04
	Если расстояние между любыми двумя точками фигуры <=d, это означает, что фигура располагается в круге радиуса d/2. Но d/2 < d/√3... Или я "не догоняю"? 0

@splen 1728 / 1020 / 181 Регистрация: 03.06.2012 Сообщений: 1,220
	04.08.2012, 21:54
	Сообщение было отмечено как решение Решение Это частный случай - для плоскости - известной теоремы Юнга. Одно из наиболее коротких доказательств использует два вспомогательных утверждения: 1. Для любых трёх точек данной фигуры существует круг радиуса $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?d / \sqrt 3$ , покрывающий эти точки. (В самом деле, если треугольник с вершинами в этих точках остроугольный, и А - его наибольший угол, лежащий против стороны а, то $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A \geq \pi /3,$ и радиус окружности, описанной около этого треугольника, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?r = \frac{a}{2sinA} \leq \frac{d}{\sqrt 3}.$ Если треугольник - не остроугольный, то он покрывается кругом, диаметром которого служит наибольшая сторона.) 2. (Теорема Хелли). Если любые три из произвольного набора выпуклых фигур имеют общую точку, то и все фигуры имеют общую точку. (Доказательство этой теоремы встречается часто. Его можно найти, например, в книге: Г.Хадвигер, Г.Дебруннер. Комбинаторная геометрия плоскости). Доказательство: Для каждой точки фигуры рассмотрим круг с центром в этой точке и радиусом $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?d / \sqrt 3$ . Тогда из "1" следует, что каждые три таких круга имеют общую точку, а из "2" - что они все имеют общую точку, и круг того же радиуса с центром в этой точке будет покрывать всю фигуру. Не по теме: Catstail, простейший контрпример - равносторонний треугольник со стороной d. 7

@СерыйКардинал 310 / 57 / 7 Регистрация: 30.05.2012 Сообщений: 295
	05.08.2012, 01:51
	splen, охохо, здорово , когда-то слышал такие слова как теорема Хелли, но они пролетели мимо ушей Добавлено через 2 часа 29 минут Catstail, нравится мне ваша цитата 1

vetvet
	05.08.2012, 23:57
	Не по теме: Eugeniy, а как у Вас с абстрактной алгеброй? А то тут товарищ чего-то хочет, а мы, за отсутствием абстракционистов, не можем понять, чего ему надо. 0

@Eugeniy 3132 / 1325 / 156 Регистрация: 19.12.2009 Сообщений: 1,808
	06.08.2012, 01:00
	vetvet, мне нравится фраза "Абстрактная алгебра" - а что, бывает другая? В данном случае цитата Зощенка наиболее уместна!) 0

vetvet
	06.08.2012, 10:59
	Не по теме: Eugeniy, я натыкалась на название дисциплин "Линейная и абстрактная алгебра". Понимаю, что она абстрактная вся, но нравится некоторым товарищам придумывать странные названия :gpardon: 0

Доказать, что существует круг содержащий в себе фигуру

Решение