Окрестность точки

У меня в лекции даны два определения окрестности точки, которая является пределом последовательности: просто окрестность точки и ε-окрестность точки. Число ε мы выбираем, поэтому тут окрестность зависит от выбора этого числа. А что с просто окрестностью точки? Это какое-то множество, которое содержит в себе эту точку?

0

Принято считать, что окрестность - это любой интервал, содержащий данную точку. Под эпсилон-окрестностью понимают интервал длины эпсилон, в центре которого находится наша точка.

2

Это ват самое лучшее, что я нашел
http://bodrenko.org/topology/index1,4.html

Совокупность {(х)} всех окрестностей точки х называется системой окрестностей данной точки. Эта совокупность обладает следующими свойствами: 1) объединение любого семейства окрестностей точки х есть окрестность точки х; 2) пересечение конечного числа окрестностей точки х есть окрестность точки х; 3) всякое множество, содержащее некоторую окрестность точки х, является окрестностью точки х.

Но мне кажется, что были более точные и более простые определения системы окрестностей (без тавтологий)
А можно еще всю теорию пределов (и топологию, естественно) вывести из направленных множеств

Добавлено через 9 минут
Кстати, в классическом, "школьном" определении предела есть такие слова

для любого сколь угодно малого eps > 0 ...

Так вот, слова выделенные - совершенно излишни. Они имеют чисто эмоциональное значение и только наводят тень на плетень. К сожалению, эти слова перекочевали во многие серьезные учебники математики, чуть ли не в Фихтенгольца (уверенности нет, у кого есть Фихт под рукой, пусть проверят)

Добавлено через 4 минуты

Сообщение от Catstail окрестность - это любой интервал,

Под интервалом понимаете открытое множество? Тогда почти согласен. Можно составить такую систему окрестностей. Но по большому счету, Окрестность открытой быть не обязана.
И что делать с односторонними пределами?

1

Сообщение от Байт Под интервалом понимаете открытое множество?

- да, конечно.

0

Сообщение от Байт Но по большому счету, Окрестность открытой быть не обязана.

Столь категоричным быть не стоит. Есть два определения, определение, которое пошло из французкой школы (например Лоран Шварц «Анализ») которое и гласит, что «окрестность — это любое множество, содержащее открытое множество, содержащее точку» и европейской школы (например Иванов «Элементарная топология», Зорич «Математический Анализ, том 2») которое гласит, что «окрестность — это любое открытое множество, содержащее точку». В 99.99% случаев эти определения эквивалентны, поэтому люди, обычно, не путаются.

Сообщение от Байт А можно еще всю теорию пределов (и топологию, естественно) вывести из направленных множеств

Слово «вывести» звучит как-то слишком грубо, это просто какая-то структура, довольно несложная и довольно общая. Эдак можно сказать что-то типа «весь анализ можно из определения «функции» или «поля» вывести».

Сообщение от Байт И что делать с односторонними пределами?

Принять, что в определении односторонних пределов определение окрестности точки не фигурирует. Ровно как и в определении предела на бесконечности. И ровно как и в определении предела интегральных сумм по разбиениям отрезков.
Если уж хочется обобщить, то есть довольно удобный аппарат «базы» и «предела по базе» изложенный, например, в Зориче «Математический анализ» гл.3 §2 с.125
А определения предела через «совокупности окрестностей точки» я почти нигде не видел. В той же топологии можно чаще встретить «предел по фильтру»

Добавлено через 3 минуты

Сообщение от Catstail Принято считать, что окрестность - это любой интервал, содержащий данную точку. Под эпсилон-окрестностью понимают интервал длины эпсилон, в центре которого находится наша точка.

Два эпсилон тогда уж. (:

1