Тройной интеграл

@Dark Hooligan · Регистрация: 29.03.2014

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Подскажите, что определяет область омега в этом тройном интеграле и какой путь решения наиболее подходит для этого конкретного случая?
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int \int_{\Omega }^{}\int \frac{x*y*z}{{(x^2+y^2+z^2)}^{3/2}}dxdydz$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Omega : \begin{cases} & \text{ {(x^2+y^2+z^2)}^{3/2}\leq 4xy } \\ & \text{ x\geq 0 } \\ & \text{ y\geq 0 } \\ & \text{ z\geq 0 } \end{cases}$

3/2 - это степень

@jogano · 19.12.2015, 22:56

Переход к полярно-сферическим координатам. Если угол $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\theta$ - это отклонение от экватора вверх или вниз, то ваша область определяется системой
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases}\rho \leq 2 \sin 2\varphi \cos^2 \theta \\ \varphi \in \left[0;\frac{\pi}{2} \right]\\ \theta \in \left[0;\frac{\pi}{2} \right] \end{cases}$
Якобиан преобразования координат $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\rho ^2 \cos \theta$ , интеграл у меня вышел равный $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\pi}{40}$

@Dark Hooligan · 20.12.2015, 13:45 **[ТС]**

Не понимаю, как вы получили первое неравенство в вашей системе. После преобразований у меня получается не так, как у вас, а вот так:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt[]{\rho }=2sin2\varphi {cos}^{2}\theta$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\rho =4{sin}^{2}2\varphi {cos}^{4}\theta$

@jogano · 20.12.2015, 13:52

Степени по $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\rho$ после подстановки полярно-сферических координат: слева $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\rho^3$ , справа $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\rho^2$ , и никаких радикалов, в квадрат потом не возводим.

@Dark Hooligan · 20.12.2015, 14:09 **[ТС]**

Точно-точно, забыл, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}^{2}+{y}^{2}+z^2=\rho ^2$ , а не $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}^{2}+{y}^{2}+z^2=\rho$

Добавлено через 13 минут
Спасибо большое за подсказку.
Но я сейчас пришел к зверскому интегралу, проверив его онлайн убедился, что действительно получается $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\pi }{40}$ .
А интеграл получается вот таким:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{8}{3}\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}cos\varphi sin\varphi sin^32\varphi d\varphi \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}cos^9\theta sin\theta d\theta$

Не могу понять, как решить интеграл от $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi$ , по $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\theta$ интеграл на раз-два берется

Байт · 20.12.2015, 14:23

cosx sin x = 1/2*sin2x
sin⁴2x = 1/4*(1-cos4x)² = ...

@Dark Hooligan · 20.12.2015, 14:33 **[ТС]**

Я вывел формулу для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?sin^4x$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?cos^4x$ , сделал еще немного преобразований, но $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\pi }{40}$ не смог получить. Видимо, где-то допустил ошибку в преобразованиях. В общем, тема закрыта.

@Dark Hooligan 2 / 2 / 0 Регистрация: 29.03.2014 Сообщений: 33
		1
	Тройной интеграл 19.12.2015, 17:13. Показов 970. Ответов 6 Метки нет (Все метки) Подскажите, что определяет область омега в этом тройном интеграле и какой путь решения наиболее подходит для этого конкретного случая? $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int \int_{\Omega }^{}\int \frac{xyz}{{(x^2+y^2+z^2)}^{3/2}}dxdydz$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Omega : \begin{cases} & \text{ {(x^2+y^2+z^2)}^{3/2}\leq 4xy } \\ & \text{ x\geq 0 } \\ & \text{ y\geq 0 } \\ & \text{ z\geq 0 } \end{cases}$ 3/2 - это степень 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	19.12.2015, 22:56	2
	Сообщение было отмечено Dark Hooligan как решение Решение Переход к полярно-сферическим координатам. Если угол $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\theta$ - это отклонение от экватора вверх или вниз, то ваша область определяется системой $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases}\rho \leq 2 \sin 2\varphi \cos^2 \theta \\ \varphi \in \left[0;\frac{\pi}{2} \right]\\ \theta \in \left[0;\frac{\pi}{2} \right] \end{cases}$ Якобиан преобразования координат $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\rho ^2 \cos \theta$ , интеграл у меня вышел равный $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\pi}{40}$ 1

@Dark Hooligan 2 / 2 / 0 Регистрация: 29.03.2014 Сообщений: 33
	20.12.2015, 13:45 [ТС]	3
	Не понимаю, как вы получили первое неравенство в вашей системе. После преобразований у меня получается не так, как у вас, а вот так: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt[]{\rho }=2sin2\varphi {cos}^{2}\theta$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\rho =4{sin}^{2}2\varphi {cos}^{4}\theta$ 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	20.12.2015, 13:52	4
	Степени по $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\rho$ после подстановки полярно-сферических координат: слева $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\rho^3$ , справа $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\rho^2$ , и никаких радикалов, в квадрат потом не возводим. 1

@Dark Hooligan 2 / 2 / 0 Регистрация: 29.03.2014 Сообщений: 33
	20.12.2015, 14:09 [ТС]	5
	Точно-точно, забыл, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}^{2}+{y}^{2}+z^2=\rho ^2$ , а не $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}^{2}+{y}^{2}+z^2=\rho$ Добавлено через 13 минут Спасибо большое за подсказку. Но я сейчас пришел к зверскому интегралу, проверив его онлайн убедился, что действительно получается $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\pi }{40}$ . А интеграл получается вот таким: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{8}{3}\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}cos\varphi sin\varphi sin^32\varphi d\varphi \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}cos^9\theta sin\theta d\theta$ Не могу понять, как решить интеграл от $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi$ , по $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\theta$ интеграл на раз-два берется 0

Байт Диссидент 27706 / 17322 / 3812 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	20.12.2015, 14:23	6
	cosx sin x = 1/2sin2x sin⁴2x = 1/4(1-cos4x)² = ... 0

@Dark Hooligan 2 / 2 / 0 Регистрация: 29.03.2014 Сообщений: 33
	20.12.2015, 14:33 [ТС]	7
	Я вывел формулу для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?sin^4x$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?cos^4x$ , сделал еще немного преобразований, но $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\pi }{40}$ не смог получить. Видимо, где-то допустил ошибку в преобразованиях. В общем, тема закрыта. 0

Тройной интеграл

Решение