Найти расстояние между кривой и прямой

@JB3 · Регистрация: 10.01.2016

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Помогите пожалуйста найти расстояние между кривой и прямой: y=x^2, x-y-5=0

@DeadPenguin · 04.04.2016, 07:39

JB3, согласно определению, вам нужно найти
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\min_{x_1,\,x_2} f(x_1, x_2) = \min_{x_1,\,x_2} [(x_1 - x_2)^2 + (x_1^2 - x_2 + 5)^2]$
(то есть минимум квадрата расстояния между произвольными точками на этих кривых). Находим частные производные по $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_1,x_2$ и приравниваем к нулю:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> \frac{\partial f}{\partial x_1} = 2(x_1-x_2)+2(x_1^2 - x_2+5)\cdot 2x_1 = 0\\<br /> \frac{\partial f}{\partial x_2} = -2(x_1-x_2)+2(x_1^2 - x_2+5)\cdot (-1) = 0<br />$
Складывая первое уравнение со вторым, получаем
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(x_1^2 - x_2+5)(2x_1-1)=0$

Разбираем случаи.
1) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2x_1-1=0\Longrightarrow x_1=1/2$ . Подставляя в первое, получаем
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(x_1-x_2)+(x_1^2 - x_2+5)\cdot 2x_1 = \frac12-x_2 + \frac14 - x_2 + 5 = 0\Longrightarrow x_2=\frac{23}{8}$
Расстояние будет $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{(\frac12 - \frac{23}{8})^2 + (\frac14 - \frac{23}{8} + 5)^2}=\frac{19}{8}\sqrt2$

2) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_1^2 - x_2+5 = 0\Longrightarrow x_2 = x_1^2 + 5$ и из обоих уравнений $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_2=x_1$ . Отсюда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_1^2 + 5 = x_1$ , и это уравнение не имеет действительных корней.

Итак, расстояние будет $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?19\sqrt2/8$ .

@Nacuott · 04.04.2016, 23:51

Проще взять производную от функции, задающей параболу, приравнять единице и найти координаты точки на параболе где касательная наклонена к оси Х также как прямая.Далее найти расстояние точки на параболе до заданной прямой по известной формуле.

@DeadPenguin · 05.04.2016, 08:25

Nacuott, в данном случае это сработает. Но я не думаю, что этот рецепт сработает в общем случае — как минимум, возможны варианты с недифференцируемыми в данной точке функциями.
Вы можете это обосновать?

@Nacuott · 05.04.2016, 18:44

DeadPenguin, я имел в виду данный случай

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
PhpStorm 2025.3: WSL Terminal всегда стартует в ~ and_y87 14.12.2025 PhpStorm 2025. 3: WSL Terminal всегда стартует в ~ (home), игнорируя директорию проекта Симптом: После обновления до PhpStorm 2025. 3 встроенный терминал WSL открывается в домашней директории. . .	Access VikBal 11.12.2025 Помогите пожалуйста !! Как объединить 2 одинаковые БД Access с разными данными.	Новый ноутбук volvo 07.12.2025 Всем привет. По скидке в "черную пятницу" взял себе новый ноутбук Lenovo ThinkBook 16 G7 на Амазоне: Ryzen 5 7533HS 64 Gb DDR5 1Tb NVMe 16" Full HD Display Win11 Pro	Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .
Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .	Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .	Ломающие изменения в C#.NStar Alpha Etyuhibosecyu 20.11.2025 Уже можно не только тестировать, но и пользоваться C#. NStar - писать оконные приложения, содержащие надписи, кнопки, текстовые поля и даже изображения, например, моя игра "Три в ряд" написана на этом. . .	Мысли в слух kumehtar 18.11.2025 Кстати, совсем недавно имел разговор на тему медитаций с людьми. И обнаружил, что они вообще не понимают что такое медитация и зачем она нужна. Самые базовые вещи. Для них это - когда просто люди. . .	Создание Single Page Application на фреймах krapotkin 16.11.2025 Статья исключительно для начинающих. Подходы оригинальностью не блещут. В век Веб все очень привыкли к дизайну Single-Page-Application . Быстренько разберем подход "на фреймах". Мы делаем одну. . .

@JB3 0 / 0 / 0 Регистрация: 10.01.2016 Сообщений: 21

	Найти расстояние между кривой и прямой 04.04.2016, 01:47. Показов 15474. Ответов 4 Метки нет (Все метки) Помогите пожалуйста найти расстояние между кривой и прямой: y=x^2, x-y-5=0 0

@DeadPenguin 66 / 66 / 31 Регистрация: 11.03.2016 Сообщений: 252
	04.04.2016, 07:39
	Сообщение было отмечено JB3 как решение Решение JB3, согласно определению, вам нужно найти $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\min_{x_1,\,x_2} f(x_1, x_2) = \min_{x_1,\,x_2} [(x_1 - x_2)^2 + (x_1^2 - x_2 + 5)^2]$ (то есть минимум квадрата расстояния между произвольными точками на этих кривых). Находим частные производные по $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_1,x_2$ и приравниваем к нулю: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> \frac{\partial f}{\partial x_1} = 2(x_1-x_2)+2(x_1^2 - x_2+5)\cdot 2x_1 = 0\\<br /> \frac{\partial f}{\partial x_2} = -2(x_1-x_2)+2(x_1^2 - x_2+5)\cdot (-1) = 0<br />$ Складывая первое уравнение со вторым, получаем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(x_1^2 - x_2+5)(2x_1-1)=0$ Разбираем случаи. 1) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2x_1-1=0\Longrightarrow x_1=1/2$ . Подставляя в первое, получаем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(x_1-x_2)+(x_1^2 - x_2+5)\cdot 2x_1 = \frac12-x_2 + \frac14 - x_2 + 5 = 0\Longrightarrow x_2=\frac{23}{8}$ Расстояние будет $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{(\frac12 - \frac{23}{8})^2 + (\frac14 - \frac{23}{8} + 5)^2}=\frac{19}{8}\sqrt2$ 2) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_1^2 - x_2+5 = 0\Longrightarrow x_2 = x_1^2 + 5$ и из обоих уравнений $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_2=x_1$ . Отсюда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_1^2 + 5 = x_1$ , и это уравнение не имеет действительных корней. Итак, расстояние будет $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?19\sqrt2/8$ . 2

@Nacuott 1833 / 1027 / 192 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 3,074 Записей в блоге: 12
	04.04.2016, 23:51
	Проще взять производную от функции, задающей параболу, приравнять единице и найти координаты точки на параболе где касательная наклонена к оси Х также как прямая.Далее найти расстояние точки на параболе до заданной прямой по известной формуле. 2

@DeadPenguin 66 / 66 / 31 Регистрация: 11.03.2016 Сообщений: 252
	05.04.2016, 08:25
	Nacuott, в данном случае это сработает. Но я не думаю, что этот рецепт сработает в общем случае — как минимум, возможны варианты с недифференцируемыми в данной точке функциями. Вы можете это обосновать? 0

@Nacuott 1833 / 1027 / 192 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 3,074 Записей в блоге: 12
	05.04.2016, 18:44
	DeadPenguin, я имел в виду данный случай 0

Найти расстояние между кривой и прямой

Решение