Тройной интеграл

@За печеньки · Регистрация: 15.02.2015

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, разобраться с областью интегрирования при переходе к цилиндрическим координатам. Область задана двойным неравенством: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1\leq x^2+y^2+z^2 \leq 4$ .
Если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=r \cos \varphi$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=r \sin \varphi$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=z$ , то как изменяются "эр" и "фи" понятно: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1\leq r\leq 2$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?0\leq \varphi \leq 2 \pi$ . А вот как изменяется z?

Я правильно понимаю, что должно получаться два тройных интеграла или нет? То есть в одном $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-\sqrt{4-r^2}\leq z\leq -\sqrt{1-r^2}$ , а в другом $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{1-r^2}\leq z\leq \sqrt{4-r^2}$ ?

Если нужно, то подынтегральное выражение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

Добавлено через 2 часа 10 минут
Ой, наверное, я ошибся с $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?r$ и должно быть вот так: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?0\leq r\leq 2$

Добавлено через 57 минут
Посмотрите, что в итоге составил. Ни разу таких не видел, поэтому кажется, что неверно

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int \int \int \sqrt{x^2+y^2+z^2}dxdydz=\int_{0}^{2}dr\int_{0}^{2\pi}d\varphi \int_{-sqrt{4-r^2}}^{-sqrt{1-r^2}} \sqrt{z^2+r^2}dz + \int_{0}^{2}dr\int_{0}^{2\pi}d\varphi \int_{sqrt{1-r^2}}^{sqrt{4-r^2}} \sqrt{z^2+r^2}dz$

@jogano · 29.05.2016, 14:56

У вас же область "круглая", да и подинтегральная функция намекает... Тут гораздо лучше перейти к сферическим координатам (та версия, где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\theta \in \left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right]$ ) с якобианом преобразования $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\rho ^2 \cos \theta$ , тогда интеграл равен
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{2 \pi}d\varphi \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}d\theta \int_{1}^{2}\rho \cdot \rho ^2 \cos \theta d\rho =...=15 \pi$

@За печеньки · 29.05.2016, 15:11 **[ТС]**

jogano, спасибо! Почитал теорию про сферические координаты. А можно $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\theta$ изменять от 0 до $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2 \pi$ ? Тогда получившийся интеграл не изменится?

@jogano · 29.05.2016, 15:15

Сообщение от За печеньки

поэтому кажется, что неверно

Правильно кажется. В последней строчке после "=" у вас r меняются от 0 до 2, но тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{1-r^2}$ не всегда извлекается. Якобиан преобразования координат забыли... Якобиан нужен потому, что в декартовых координатах $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?dxdydz$ - это элементарный объём dV (объём прямоугольного параллелепипеда). А при переходе к полярно-цилиндрическим координатам произведение приращений $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?dr dzd\varphi$ не является элементарным объёмом, у такого произведения даже размерность $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?m^2$ вместо $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?m^3$ , а в полярно-сферических $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?d\rho d\varphi d\theta$ вообще метры.

Добавлено через 3 минуты

Сообщение от За печеньки

А можно изменять от 0 до ?

Нельзя. Есть две версии полярно-сферических координат. По одной из них, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\theta \in \left[0;\pi \right]$ это угол между радиус-вектором точки и направлением OZ+. По другой (которую я применяю регулярно), $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\theta \in \left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right]$ - угол отклонения от экватора к полюсам, как широта на Земле.

@За печеньки · 29.05.2016, 15:17 **[ТС]**

jogano, Спасибо еще раз!

@За печеньки 1 / 1 / 0 Регистрация: 15.02.2015 Сообщений: 116
		1
	Тройной интеграл 29.05.2016, 14:50. Показов 952. Ответов 4 Метки нет (Все метки) Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, разобраться с областью интегрирования при переходе к цилиндрическим координатам. Область задана двойным неравенством: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1\leq x^2+y^2+z^2 \leq 4$ . Если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=r \cos \varphi$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=r \sin \varphi$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=z$ , то как изменяются "эр" и "фи" понятно: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1\leq r\leq 2$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?0\leq \varphi \leq 2 \pi$ . А вот как изменяется z? Я правильно понимаю, что должно получаться два тройных интеграла или нет? То есть в одном $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-\sqrt{4-r^2}\leq z\leq -\sqrt{1-r^2}$ , а в другом $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{1-r^2}\leq z\leq \sqrt{4-r^2}$ ? Если нужно, то подынтегральное выражение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ Добавлено через 2 часа 10 минут Ой, наверное, я ошибся с $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?r$ и должно быть вот так: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?0\leq r\leq 2$ Добавлено через 57 минут Посмотрите, что в итоге составил. Ни разу таких не видел, поэтому кажется, что неверно $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int \int \int \sqrt{x^2+y^2+z^2}dxdydz=\int_{0}^{2}dr\int_{0}^{2\pi}d\varphi \int_{-sqrt{4-r^2}}^{-sqrt{1-r^2}} \sqrt{z^2+r^2}dz + \int_{0}^{2}dr\int_{0}^{2\pi}d\varphi \int_{sqrt{1-r^2}}^{sqrt{4-r^2}} \sqrt{z^2+r^2}dz$ 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	29.05.2016, 14:56	2
	Сообщение было отмечено За печеньки как решение Решение У вас же область "круглая", да и подинтегральная функция намекает... Тут гораздо лучше перейти к сферическим координатам (та версия, где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\theta \in \left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right]$ ) с якобианом преобразования $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\rho ^2 \cos \theta$ , тогда интеграл равен $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{2 \pi}d\varphi \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}d\theta \int_{1}^{2}\rho \cdot \rho ^2 \cos \theta d\rho =...=15 \pi$ 1

@За печеньки 1 / 1 / 0 Регистрация: 15.02.2015 Сообщений: 116
	29.05.2016, 15:11 [ТС]	3
	jogano, спасибо! Почитал теорию про сферические координаты. А можно $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\theta$ изменять от 0 до $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2 \pi$ ? Тогда получившийся интеграл не изменится? 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	29.05.2016, 15:15	4
	Сообщение от За печеньки поэтому кажется, что неверно Правильно кажется. В последней строчке после "=" у вас r меняются от 0 до 2, но тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{1-r^2}$ не всегда извлекается. Якобиан преобразования координат забыли... Якобиан нужен потому, что в декартовых координатах $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?dxdydz$ - это элементарный объём dV (объём прямоугольного параллелепипеда). А при переходе к полярно-цилиндрическим координатам произведение приращений $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?dr dzd\varphi$ не является элементарным объёмом, у такого произведения даже размерность $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?m^2$ вместо $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?m^3$ , а в полярно-сферических $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?d\rho d\varphi d\theta$ вообще метры. Добавлено через 3 минуты Сообщение от За печеньки А можно изменять от 0 до ? Нельзя. Есть две версии полярно-сферических координат. По одной из них, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\theta \in \left[0;\pi \right]$ это угол между радиус-вектором точки и направлением OZ+. По другой (которую я применяю регулярно), $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\theta \in \left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right]$ - угол отклонения от экватора к полюсам, как широта на Земле. 1

@За печеньки 1 / 1 / 0 Регистрация: 15.02.2015 Сообщений: 116
	29.05.2016, 15:17 [ТС]	5
	jogano, Спасибо еще раз! 0

Тройной интеграл

Решение