Несобственный интеграл ln(x)/(e^x+1)

@QuqBolshoi · Регистрация: 12.10.2024

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Найти интеграл $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{\infty}\frac{\ln x}{e^{x}+1}\text{d}x$
В интернете встречал способы его нахождения через эта-функцию Дирихле и дзета-функцию Римана, но меня интересует именно способ решения без них, так для анализа дзета-функции Римана он мне по сути и нужен

@QuqBolshoi · 26.10.2024, 01:07 **[ТС]**

Прошу прощения за недостаток информации, исправляюсь. Ниже привожу остаток того способа, «как не надо» (в дополнение к расписанному вами).

Итак, мы знаем, что искомый интеграл равен $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?I=\eta (1) \Gamma'(1) + \eta'(1)$ . Воспользуемся связью между эта-функцией и дзета-функцией:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\eta (s) = (1-2^{1-s})\zeta (s)$ (это достаточно тривиально доказывается). Пусть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t=s-1$ . Тогда
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\eta (1+t) = (1-2^{-t})\zeta (1+t)$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\eta' (1+t) = 2^{-t}\ln 2\times \zeta (1+t)+(1-2^{-t})\zeta' (1+t)$
Теперь воспользуемся разложением дзета-функции в ряд Лорана в окрестности точки 1:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\zeta (1+t) = \frac{1}{t}+\gamma+O(t)$ и его производной: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\zeta' (1+t) = -\frac{1}{t^2}+O(1)$ . Подставим эти равенства в производную эта-функции:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\eta' (1+t) = 2^{-t}\ln 2\times \left[\frac{1}{t}+\gamma+O(t)\right]+(1-2^{-t})\left[-\frac{1}{t^2}+O(1)\right]$
И, наконец, воспользуемся разложением $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2^{-t}$ в ряд Тейлора:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2^{-t}=1-t\ln2+\frac{t^2\ln^2 2}{2}+O(t^3)$
Получим следующее выражение:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\eta' (1+t) = \ln 2\left[1-t\ln2+\frac{t^2\ln^2 2}{2}+O(t^3)\right]\left[\frac{1}{t}+\gamma+O(t)\right]+\left[t\ln2-\frac{t^2\ln^2 2}{2}+O(t^3)\right]\left[-\frac{1}{t^2}+O(1)\right]$
Раскрыв все скобки и отбросив слагаемые, где t стоит в степени 1 и выше, получим
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\eta' (1+t) = \frac{\ln 2}{t}-\ln^2 2+\gamma\ln 2-\frac{\ln2}{t}+\frac{\ln^2 2}{2}+O(t)$
Приведя подобные слагаемые и взяв предел при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t\to 0$ , наконец, получаем
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\eta' (1) = \gamma\ln 2-\frac{\ln^2 2}{2}$ . Подставив это значение в выражение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?I=\eta (1) \Gamma'(1) + \eta'(1)$ и вспомнив, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Gamma'(1)=-\gamma$ , а $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\eta (1)=\ln 2$ , окончательно получаем
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?I=-\gamma\ln2+\gamma\ln 2 -\frac{\ln^2 2}{2}=-\frac{\ln^2 2}{2}$ .

Ну а теперь, как говорит один мой преподаватель, «найдите, где я вас обманул». «Незаконность» этого способа в том, что я использовал разложение дзета-функции в ряд Лорана. Доказать, что вычет в 1 у дзета-функции равен 1, несложно, но вот обоснование того, что константное слагаемое равно постоянной Эйлера-Маскерони ( $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\gamma$ ) без привлечения многострадального интеграла $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{\infty}\frac{\ln x}{e^{x}+1}\text{d}x$ , мне не удалось. Собственно, мне этот интеграл и нужен, чтобы обосновать, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\text{v. p. } \zeta(1)=\gamma$

Ilot · 28.10.2024, 13:07

Сообщение от QuqBolshoi

Доказать, что вычет в 1 у дзета-функции равен 1, несложно, но вот обоснование того, что константное слагаемое равно постоянной Эйлера-Маскерони без привлечения многострадального интеграла, мне не удалось.

Хм... получается проблема собственно не в самом интеграле, а в обосновании разложения дзета-функции в окрестности единицы? Если это так, то попробуем обосновать данное разложение.
Предварительно заметим, что:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\zeta (1+\mu)=\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{{n}^{\mu+1}}+\frac{1}{\mu}\frac{1}{{N}^{\mu}}-(\mu+1)\sum_{k=N}^{\infty}\int_{k}^{k+1}\frac{u-k}{{u}^{\mu+2}}du$
Возьмем N фиксированное (далее станет ясно как его определить) и добавим в это представление слагаемые для выделения выражения для постоянной Эйлера:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\zeta (1+\mu)=\left[\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{{n}^{\mu+1}}-\int_{1}^{N}\frac{du}{u}\right]+\left[\int_{1}^{N}\frac{du}{u}-\int_{1}^{N}\frac{du}{{u}^{1+\mu}}\right]+\frac{1}{\mu }-(\mu+1)\left[\sum_{k=N}^{\infty}\int_{k}^{k+1}\frac{u-k}{{u}^{\mu+2}}du\right]$
Выражение в первых фигурных скобках очевидно стремится к постоянной Эйлера при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\mu \rightarrow 0$ . Можно ожидать, что слагаемое во вторых фигурных скобках равномерно относительно $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\mu$ стремиться к нулю при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\mu \rightarrow 0$ (при фиксированном N!).
Далее сумму в третьих фигурных скобках можно представить в виде:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{k=N}^{\infty}\int_{k}^{k+1}\frac{u-k}{{u}^{\mu+2}}du=\int_{N}^{\infty }\frac{u-[u]}{{u}^{\mu+2}}du$
Которая очевидно при больших N также стремиться к нулю равномерно относительно $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\mu$ . Поэтому окончательно будем иметь:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\zeta (1+\mu)=\frac{1}{\mu}+C+\varepsilon(N, \mu )$

@QuqBolshoi · 05.08.2025, 14:12 **[ТС]**

Решение нашлось тут:
https://math.stackexchange.com... ln-xex1-dx

По-видимому, самый верхний ответ — тот вариант, который предлагал alegzander.

Всем спасибо за туманные намёки, непонимание сути проблемы, оскорбления и бесполезные выкладки.

@Cyborg Drone · 05.08.2025, 23:54

Не по теме:

QuqBolshoi, что, простите?

Я очень рад, что решение нашлось. Спасибо большое Вам за это.

Однако, Вы сами меня не радуете. Для Вас старались, пытались найти решение. Уделяли Вам время. А Вы... Какое спасибо за труды выкатили? Типа, не дали решение - значит, туманные намекальщики, непонимающие сути проблемы, оскорбляющие и бесполезные выкладывательщики? Ну чо, здорово. Раз не дали решение - значит, можно напоследок оскорбить, и, подозреваю, если бы и дали - спасибо от Вас не дождались бы.

Открою для Вас одну истину: люди для Вас - пыль, а на пыль у Вас аллергия. Берегите себя.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Запустил конкурс "тем и промптов для текстовых квестов созданных почти чисто ИИ" Adler 06.10.2026 Всем привет! За последние три-четыре дня я создал более 16 текстовых квестовых игр используя преимущественно по одному запросу к ИИ на игру. Мне так понравилось смотреть все ветки/ сцены во всех. . .	ИИ не может найти нужный язык в списке Supersumestria 05.10.2026 Я ему даю вот такое изображение и прошу найти и подчеркнуть немецкий язык. Возвращает он вот это: https:/ / i. **********/ vqBWLe2. png Нужную строчку в 3й колонке просто выдумал. . Это. . .	Новая последняя моя музыка в SUNO zorxor 05.10.2026 Здравствуйте, дорогие мои друзья! С большой радостью я хотел бы представить вам свою новую последнею музыку, которую сгенерировала мне по моей просьбе нейросеть SUNO. С уважением, zorxor. Это. . .	Nekobox - outbounds[0].transport: unknown transport type: raw damix 01.10.2026 Фикс ошибки Правым кликом по серверу -> отладочная информация -> edit Заменить "net": "raw", на "net": "tcp", Нажать кнопку reload.
Программный домашний кинотеатр russiannick 27.09.2026 Сподобился на программный домашний кинотеатр. В качестве ЯВУ по традиции выбрал js. В помощники взял Яндекс-Алису. Было создано три зала на разные интересы. исторические и ретро сериал Хичкок. . .	Беседа с ИИ о программистах, недопускающих к созданию и правке кода генеративные ИИ и причины этого zorxor 21.09.2026 Раньше я радовался или получал некоторые эмоции, пусть небольшие, но всё же, от самого процесса написания кода, рекомпиляции и запуска, видя постепенное развитие программы и прочее. А теперь лень. . .	Мобильное приложение ColorStep pavlinmavlin 17.09.2026 Реализовал приложение Красный, Зеленый, Синий в Unity3d + c#. Название изменил на ColorStep. Приложение прошло модерацию и теперь доступно для скачивания. Делал его сам, шаг за шагом — и вот,. . .	Запрет дублирования строк в табличной части Maks 13.09.2026 Реализация из решения ниже выполнена на нетиповом справочнике "Нормы ТО" с табличной часть "Виды ТО", разработанного в КА2, со следующими реквизитами: - ВидТО (СправочникСсылка. ВидыТО); - ВидГСМ. . .

@QuqBolshoi 1 / 1 / 0 Регистрация: 12.10.2024 Сообщений: 8

	Несобственный интеграл ln(x)/(e^x+1) 12.10.2024, 18:37. Показов 3942. Ответов 23 Метки интеграл, несобственный (Все метки) Найти интеграл $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{\infty}\frac{\ln x}{e^{x}+1}\text{d}x$ В интернете встречал способы его нахождения через эта-функцию Дирихле и дзета-функцию Римана, но меня интересует именно способ решения без них, так для анализа дзета-функции Римана он мне по сути и нужен 0

@QuqBolshoi 1 / 1 / 0 Регистрация: 12.10.2024 Сообщений: 8
	26.10.2024, 01:07 [ТС]
	Прошу прощения за недостаток информации, исправляюсь. Ниже привожу остаток того способа, «как не надо» (в дополнение к расписанному вами). Итак, мы знаем, что искомый интеграл равен $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?I=\eta (1) \Gamma'(1) + \eta'(1)$ . Воспользуемся связью между эта-функцией и дзета-функцией: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\eta (s) = (1-2^{1-s})\zeta (s)$ (это достаточно тривиально доказывается). Пусть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t=s-1$ . Тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\eta (1+t) = (1-2^{-t})\zeta (1+t)$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\eta' (1+t) = 2^{-t}\ln 2\times \zeta (1+t)+(1-2^{-t})\zeta' (1+t)$ Теперь воспользуемся разложением дзета-функции в ряд Лорана в окрестности точки 1: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\zeta (1+t) = \frac{1}{t}+\gamma+O(t)$ и его производной: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\zeta' (1+t) = -\frac{1}{t^2}+O(1)$ . Подставим эти равенства в производную эта-функции: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\eta' (1+t) = 2^{-t}\ln 2\times \left[\frac{1}{t}+\gamma+O(t)\right]+(1-2^{-t})\left[-\frac{1}{t^2}+O(1)\right]$ И, наконец, воспользуемся разложением $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2^{-t}$ в ряд Тейлора: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2^{-t}=1-t\ln2+\frac{t^2\ln^2 2}{2}+O(t^3)$ Получим следующее выражение: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\eta' (1+t) = \ln 2\left[1-t\ln2+\frac{t^2\ln^2 2}{2}+O(t^3)\right]\left[\frac{1}{t}+\gamma+O(t)\right]+\left[t\ln2-\frac{t^2\ln^2 2}{2}+O(t^3)\right]\left[-\frac{1}{t^2}+O(1)\right]$ Раскрыв все скобки и отбросив слагаемые, где t стоит в степени 1 и выше, получим $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\eta' (1+t) = \frac{\ln 2}{t}-\ln^2 2+\gamma\ln 2-\frac{\ln2}{t}+\frac{\ln^2 2}{2}+O(t)$ Приведя подобные слагаемые и взяв предел при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t\to 0$ , наконец, получаем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\eta' (1) = \gamma\ln 2-\frac{\ln^2 2}{2}$ . Подставив это значение в выражение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?I=\eta (1) \Gamma'(1) + \eta'(1)$ и вспомнив, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Gamma'(1)=-\gamma$ , а $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\eta (1)=\ln 2$ , окончательно получаем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?I=-\gamma\ln2+\gamma\ln 2 -\frac{\ln^2 2}{2}=-\frac{\ln^2 2}{2}$ . Ну а теперь, как говорит один мой преподаватель, «найдите, где я вас обманул». «Незаконность» этого способа в том, что я использовал разложение дзета-функции в ряд Лорана. Доказать, что вычет в 1 у дзета-функции равен 1, несложно, но вот обоснование того, что константное слагаемое равно постоянной Эйлера-Маскерони ( $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\gamma$ ) без привлечения многострадального интеграла $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{\infty}\frac{\ln x}{e^{x}+1}\text{d}x$ , мне не удалось. Собственно, мне этот интеграл и нужен, чтобы обосновать, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\text{v. p. } \zeta(1)=\gamma$ 1

@QuqBolshoi 1 / 1 / 0 Регистрация: 12.10.2024 Сообщений: 8
	05.08.2025, 14:12 [ТС]
	Решение нашлось тут: https://math.stackexchange.com... ln-xex1-dx По-видимому, самый верхний ответ — тот вариант, который предлагал alegzander. Всем спасибо за туманные намёки, непонимание сути проблемы, оскорбления и бесполезные выкладки. 0

@Cyborg Drone
	05.08.2025, 23:54
	Не по теме: QuqBolshoi, что, простите? Я очень рад, что решение нашлось. Спасибо большое Вам за это. Однако, Вы сами меня не радуете. Для Вас старались, пытались найти решение. Уделяли Вам время. А Вы... Какое спасибо за труды выкатили? Типа, не дали решение - значит, туманные намекальщики, непонимающие сути проблемы, оскорбляющие и бесполезные выкладывательщики? Ну чо, здорово. Раз не дали решение - значит, можно напоследок оскорбить, и, подозреваю, если бы и дали - спасибо от Вас не дождались бы. Открою для Вас одну истину: люди для Вас - пыль, а на пыль у Вас аллергия. Берегите себя. 0