Найти область определения и область значения функции

@stanislav MM · Регистрация: 24.06.2012

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

101. найти область определения и область значения функции. Построить график.

В) f(x) = 2 tg ¹/₂ • Х

Нахожу период функции.

Т = Т (номинальный) / k = π •2 = 2 π

Область значений Е(f) = R.
Потому, что тангенсоида никогда не достигнет
границы периода. Вертикаль проходящая через
границу периода это – асимптота.
В этом случае как найти область определения?

В книге нашел график функции

f(x) = - 2 tg ¹/₃ • Х

знак минус никак не влияет на график.
Двойка – это не амплитуда, как у синусоиды
.
Тангенсоида проходит через точку ( ³/₄ π : - 2)

Знаю, что «выкалывают» точки на пересечении
тангенсоиды с осью ОХ. Но не знаю в каких случаях.

Ответ:

D(f) = ( ⁿ/₃ π : ⁿ ⁺ ¹/₃ π ) n ϵ Z

Спасибо за помощь

@stanislav MM · 20.07.2012, 21:13 **[ТС]**

Спасибо большое.
Вот пример, который я решил.
111. найти область значений функции

Г) у = 2 / 1 + ctg x ²

У = 2 sin x ²
У = cos 2x + 1
Косинусоиду поднимаем вверх на единицу
Ответ в книге: ( 0 : 2| или ]
Согласен с цифрами, но не пойму почему разные скобки, то ли квадратная, то ли модуль.

В) √(1- cos 4x)

График совпадает с ответом | 0 ; √2 |
Здесь обе скобки одинаковые. Но как решать – не знаю.

@Catstail · 20.07.2012, 21:27

Сообщение от stanislav MM

Согласен с цифрами, но не пойму почему разные скобки, то ли квадратная, то ли модуль.

Я тоже не пойму. У функции cos(2x)+1 область значений [0,2] - скобки квадратные, т.к. и 0 и 2 входят в область значений.

@stanislav MM · 20.07.2012, 21:36 **[ТС]**

Полностью с Вами солидарен, поэтому ответ в книге и вызывает у меня вопрос.
По поводу следующего примера можете намекнуть с решением?

@Catstail · 20.07.2012, 21:46

y=√(1-cos4x)

Начнем с области определения. Оно задается решением неравенства (1-cos4x) >= 0 <->
1 >= cos4x . Поскольку косинус всегда меньше 1, то x может быть любым -> область определения - любое действительное число.

Теперь займемся областью значений. Когда cos4x = 1, y=0, а когда cos4x=-1, y=√2 -> область значений функции [0,√2] (скобки опять квадратные, т.к. и 0 и √2 входят в область значений.

@stanislav MM · 20.07.2012, 23:12 **[ТС]**

Спасибо. Понял.
110. найдите область определения функции

В) у = 1 / (cos x – 1)

cos x – 1 = 0
cos x = 1 = π
все числа кроме π n
видя график понимаю, что мой ответ неверный.
Спасибо за помощь.

ответ: R, кроме чисел 2π n, n ϵ Z

@stanislav MM · 24.07.2012, 18:04 **[ТС]**

А вот тут непонятно, что в знаменателе:

а) если так, как написано (без скобок):
y = 1/(cos x) - 1,
то область определения: cos x не равен 0; x не равен (2k+1)/2*пи (k -- целое)

б) а если в знаменателе скобка: y = 1/(cos x - 1), то
cos x - 1 не равно 0
cos x не равен 1
x не равен (2k)*пи

@Catstail · 24.07.2012, 18:18

Да, совершенно верно.

@stanislav MM · 25.07.2012, 11:01 **[ТС]**

223. найти область определения функции.

Г) у = √sin x

Степень чётная , следовательно график располагается над осью ОХ, то есть имеем только верхнюю половину синусоиды. sin x ≥ 0

sin x = 0 при х = π : х = 2π ; х = 0.

Данный пример находится в разделе «производные».
Это имеет отношение к решению.

@Catstail · 25.07.2012, 11:07

Сообщение от stanislav MM

Степень чётная

- ???

Область определения ищется так: поскольку подкоренное выражение должно быть неотрицательно, придется решить неравенство: sin(x) >= 0. Это неравентство имеет решение [п*2k,п*(2k+1)] при целых k.

@stanislav MM · 25.07.2012, 11:25 **[ТС]**

С чётностью степени , перемудрил. Конечно же ¹/ ₂ - это нечётная степень.

Ответ [ 2π n : π + 2n ] n ϵ Z
У Вас немного другой ответ.

@Catstail · 25.07.2012, 12:48

Сообщение от stanislav MM

[ 2π n : π + 2n ] n ϵ Z

- это неверный ответ. Берем n=1 и получаем - от 2пи до пи+2... а должно быть от 2пи до 3пи (как у меня).

@stanislav MM · 06.09.2012, 20:03 **[ТС]**

246. найдите область определения функции.

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)=\sqrt{1\, -\, \frac{8}{x^2\, -\, 1}}$

Так как подкоренное выражение больше или равно нулю, то функцию можно представить как неравенство

1 – 8 / х ² - 1 ≥ 0

Ответ: ( - ∞ : - 3] ∪ (- 1 : 1) ∪ [3 : ∞)
С ответом, согласен.
Вопрос:
Почему если надо найти область определения функции, то стоит знак объединения.
А если надо решить неравенство, то знак объединения отсутствует?

@Ellipsoid · 06.09.2012, 20:45

Сообщение от stanislav MM

Почему если надо найти область определения функции, то стоит знак объединения.
А если надо решить неравенство, то знак объединения отсутствует?

Всё зависит от того, какая функция или какое неравенство. И в первом, и во втором случае может стоять знак объединения.

@stanislav MM · 12.09.2012, 13:36 **[ТС]**

101. найдите область определения и область значения функции.

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)=2\, \tan\, \frac{x}{2}$

Областью определения функции тангенс является множество всех чисел икс, для которых cos(x) ≠ 0, то есть все числа икс, неравные π / 2 + π n. ( n «пробегает» всё множество целых чисел Z )
Область значений тангенса – вся числовая прямая.
E(f) = R
Период равен 2π.

Ответ:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?D(f)= \left(\frac{\pi \, n}{3}\; \frac{\pi \left(n+1 \right)}{3} \right)$

Как получается такой ответ?

@Ellipsoid · 12.09.2012, 13:51

Странно... По-моему, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?D(f)=\mathbb{R} \setminus \{2 \pi k \}; \ k \in \mathbb{Z}$ .

Добавлено через 6 минут
Ошибся. Правильно так: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?D(f)=\mathbb{R} \setminus \{\pi (2k+1) \}; \ k \in \mathbb{Z}$ .

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .	Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .	Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .	Ломающие изменения в C#.NStar Alpha Etyuhibosecyu 20.11.2025 Уже можно не только тестировать, но и пользоваться C#. NStar - писать оконные приложения, содержащие надписи, кнопки, текстовые поля и даже изображения, например, моя игра "Три в ряд" написана на этом. . .
Мысли в слух kumehtar 18.11.2025 Кстати, совсем недавно имел разговор на тему медитаций с людьми. И обнаружил, что они вообще не понимают что такое медитация и зачем она нужна. Самые базовые вещи. Для них это - когда просто люди. . .	Создание Single Page Application на фреймах krapotkin 16.11.2025 Статья исключительно для начинающих. Подходы оригинальностью не блещут. В век Веб все очень привыкли к дизайну Single-Page-Application . Быстренько разберем подход "на фреймах". Мы делаем одну. . .	Фото: Daniel Greenwood kumehtar 13.11.2025	Расскажи мне о Мире, бродяга kumehtar 12.11.2025 — Расскажи мне о Мире, бродяга, Ты же видел моря и метели. Как сменялись короны и стяги, Как эпохи стрелою летели. - Этот мир — это крылья и горы, Снег и пламя, любовь и тревоги, И бескрайние. . .	PowerShell Snippets iNNOKENTIY21 11.11.2025 Модуль PowerShell 5. 1+ : Snippets. psm1 У меня модуль расположен в пользовательской папке модулей, по умолчанию: \Documents\WindowsPowerShell\Modules\Snippets\ А в самом низу файла-профиля. . .

@stanislav MM 2 / 2 / 0 Регистрация: 24.06.2012 Сообщений: 131

	Найти область определения и область значения функции 17.07.2012, 16:44. Показов 19154. Ответов 15 Метки нет (Все метки) 101. найти область определения и область значения функции. Построить график. В) f(x) = 2 tg ¹/₂ • Х Нахожу период функции. Т = Т (номинальный) / k = π •2 = 2 π Область значений Е(f) = R. Потому, что тангенсоида никогда не достигнет границы периода. Вертикаль проходящая через границу периода это – асимптота. В этом случае как найти область определения? В книге нашел график функции f(x) = - 2 tg ¹/₃ • Х знак минус никак не влияет на график. Двойка – это не амплитуда, как у синусоиды . Тангенсоида проходит через точку ( ³/₄ π : - 2) Знаю, что «выкалывают» точки на пересечении тангенсоиды с осью ОХ. Но не знаю в каких случаях. Ответ: D(f) = ( ⁿ/₃ π : ⁿ ⁺ ¹/₃ π ) n ϵ Z Спасибо за помощь 0

@stanislav MM 2 / 2 / 0 Регистрация: 24.06.2012 Сообщений: 131
	20.07.2012, 21:13 [ТС]
	Спасибо большое. Вот пример, который я решил. 111. найти область значений функции Г) у = 2 / 1 + ctg x ² У = 2 sin x ² У = cos 2x + 1 Косинусоиду поднимаем вверх на единицу Ответ в книге: ( 0 : 2\| или ] Согласен с цифрами, но не пойму почему разные скобки, то ли квадратная, то ли модуль. В) √(1- cos 4x) График совпадает с ответом \| 0 ; √2 \| Здесь обе скобки одинаковые. Но как решать – не знаю. 0

@stanislav MM 2 / 2 / 0 Регистрация: 24.06.2012 Сообщений: 131
	20.07.2012, 21:36 [ТС]
	Полностью с Вами солидарен, поэтому ответ в книге и вызывает у меня вопрос. По поводу следующего примера можете намекнуть с решением? 0

@Catstail Супер-модератор 38157 / 21093 / 4305 Регистрация: 12.02.2012 Сообщений: 34,675 Записей в блоге: 14
	20.07.2012, 21:46
	y=√(1-cos4x) Начнем с области определения. Оно задается решением неравенства (1-cos4x) >= 0 <-> 1 >= cos4x . Поскольку косинус всегда меньше 1, то x может быть любым -> область определения - любое действительное число. Теперь займемся областью значений. Когда cos4x = 1, y=0, а когда cos4x=-1, y=√2 -> область значений функции [0,√2] (скобки опять квадратные, т.к. и 0 и √2 входят в область значений. 1

@stanislav MM 2 / 2 / 0 Регистрация: 24.06.2012 Сообщений: 131
	20.07.2012, 23:12 [ТС]
	Спасибо. Понял. 110. найдите область определения функции В) у = 1 / (cos x – 1) cos x – 1 = 0 cos x = 1 = π все числа кроме π n видя график понимаю, что мой ответ неверный. Спасибо за помощь. ответ: R, кроме чисел 2π n, n ϵ Z 0

@stanislav MM 2 / 2 / 0 Регистрация: 24.06.2012 Сообщений: 131
	24.07.2012, 18:04 [ТС]
	А вот тут непонятно, что в знаменателе: а) если так, как написано (без скобок): y = 1/(cos x) - 1, то область определения: cos x не равен 0; x не равен (2k+1)/2пи (k -- целое) б) а если в знаменателе скобка: y = 1/(cos x - 1), то cos x - 1 не равно 0 cos x не равен 1 x не равен (2k)пи 0

@Catstail Супер-модератор 38157 / 21093 / 4305 Регистрация: 12.02.2012 Сообщений: 34,675 Записей в блоге: 14
	24.07.2012, 18:18
	Да, совершенно верно. 1

@stanislav MM 2 / 2 / 0 Регистрация: 24.06.2012 Сообщений: 131
	25.07.2012, 11:01 [ТС]
	223. найти область определения функции. Г) у = √sin x Степень чётная , следовательно график располагается над осью ОХ, то есть имеем только верхнюю половину синусоиды. sin x ≥ 0 sin x = 0 при х = π : х = 2π ; х = 0. Данный пример находится в разделе «производные». Это имеет отношение к решению. 0

@stanislav MM 2 / 2 / 0 Регистрация: 24.06.2012 Сообщений: 131
	25.07.2012, 11:25 [ТС]
	С чётностью степени , перемудрил. Конечно же ¹/ ₂ - это нечётная степень. Ответ [ 2π n : π + 2n ] n ϵ Z У Вас немного другой ответ. 0

@stanislav MM 2 / 2 / 0 Регистрация: 24.06.2012 Сообщений: 131
	06.09.2012, 20:03 [ТС]
	246. найдите область определения функции. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)=\sqrt{1\, -\, \frac{8}{x^2\, -\, 1}}$ Так как подкоренное выражение больше или равно нулю, то функцию можно представить как неравенство 1 – 8 / х ² - 1 ≥ 0 Ответ: ( - ∞ : - 3] ∪ (- 1 : 1) ∪ [3 : ∞) С ответом, согласен. Вопрос: Почему если надо найти область определения функции, то стоит знак объединения. А если надо решить неравенство, то знак объединения отсутствует? 0

@stanislav MM 2 / 2 / 0 Регистрация: 24.06.2012 Сообщений: 131
	12.09.2012, 13:36 [ТС]
	101. найдите область определения и область значения функции. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)=2\, \tan\, \frac{x}{2}$ Областью определения функции тангенс является множество всех чисел икс, для которых cos(x) ≠ 0, то есть все числа икс, неравные π / 2 + π n. ( n «пробегает» всё множество целых чисел Z ) Область значений тангенса – вся числовая прямая. E(f) = R Период равен 2π. Ответ: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?D(f)= \left(\frac{\pi \, n}{3}\; \frac{\pi \left(n+1 \right)}{3} \right)$ Как получается такой ответ? 0

@Ellipsoid 1891 / 1472 / 173 Регистрация: 16.06.2012 Сообщений: 3,342
	12.09.2012, 13:51
	Странно... По-моему, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?D(f)=\mathbb{R} \setminus \{2 \pi k \}; \ k \in \mathbb{Z}$ . Добавлено через 6 минут Ошибся. Правильно так: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?D(f)=\mathbb{R} \setminus \{\pi (2k+1) \}; \ k \in \mathbb{Z}$ . 1