Интерполяция кубическим сплайном с заданными тангенсами на краях

Приветствую всех.
Решаю задачу по нахождению узлов Б-сплайна.
Сплайн задаётся в параметрической форме.


Вначале я просто строю сплайн по четырём узловым точкам. То есть, данное уравнение и позволяет мне получить точки на сплайне. ( рис-1)
А дальше задача. Задача в общем то обратная: зная набор точек сплайна, определить узловые точки, чтобы восстановить данное уравнение.
Очевидно, что крайние узлы (p0, p3 ), совпадают с точками сплайна. Так что требуется найти узлы (p1 и p2).
Для решения задачи я беру две произвольные точки на сплайне, и для каждой из них я записываю своё уравнение:


т.е. получаем два уравнения и два неизвестных. Решаю, получаю координаты узловых точек p1, p2.
Но! - они сильно не совпадают с изначальными узлами, хоть, действительно и проходят через выбранные две точки на оригинальном сплайне.(Рис-2)
Это в общем то не удивительно, т.к. через четыре точки можно провести бесконечное число кривых..но мне нужно получить именно кривую максимально похожую на оригинальный сплайн.
Очевидно, что нужный вид могут помочь принять касательные в начальных точках. Они зададут правильную кривизну.
Дальше я рассуждаю так. У меня сплайн n=3 степени и n+1 узлов, т.е. это безье-кривая. Для неё известно, что тангенс начальной/конечной совпадает с линией между текущей и следующей узловой точкой.
получается такая зависимость:
p1=p0+h*t0
p2=p3+k*t3,
где t0, t3 - это известные мне тангенсы на краях кривой, а h,k - неизвестные коэффициенты, нахождение которых, собственно и даст искомые узлы.
И вот дольше я увяз.
Если просто подставить эти линейные зависимости в основные функции, то вроде бы тоде получается система два уравнения и два неизвестных - но в итоге получается формула, где коэффициент h - зависит от значений p0, 03, t0, t3 - которые имеют как минимум две координаты х,у - и по х,у - расчеты дают разные значения.
Тогда я попробовал параметрически уравнения сразу переписать в привязке к координатам, т.е. примерно так:

- но тогда у меня для первой точки на сплайне уже получается два уравнения, а неизвестных остаётся два - всё те же коэффициенты. Выходит - я могу получить результат используя только одну точку на сплайне!
И действительно, я решаю систему и получаю ответы.
-Когда я получаю ответы по первой точке - я радуюсь - ибо кривая почти соответствует изначальному сплайну. (рис-3) Но ответы по второй точке разочаровывают. Получается сплайн, который проходит через точку эту вторую точку - но он моло того что не проходит через первую - по начинается в обратную сторону и формирует петлю.(рис-4)

В общем мне кажется я хожу вокруг да около ответа, но не вижу где ошибаюсь. Если кто то сталкивался с подобной задачей, прощу помощи.

Миниатюры

     

 

0

Сообщение от denis131 перешёл к итерационному методу

Пожалуй. Я тут попробовал свой способ с результантами — получаются уравнения четвёртой степени с четырьмя же переменными, если я ничего не напутал. Так себе удовольствие.

Добавлено через 1 минуту

Сообщение от Pphantom Вообще-то это уравнение полинома 3 степени

Ну, я так понял, всё кроме u — векторы, а уравнение таки кривой Безье.

1

Сообщение от iifat Ну, я так понял, всё кроме u — векторы

Но только описанию ТС это не соответствует.

1