Аппроксимация производной n-го порядка

@Simply me · Регистрация: 05.05.2012

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Добрый день! Есть значения функции y( $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{t}_{i}$ ). Обозначаю $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y}_{i}$ . Нужно через $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y}_{i}$ выразить производную y n-го порядка. Вот так заменяется первая производная:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y'}_{i}$ = $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{y}_{i+1}-{y}_{i}}{h}$ .
Дальше можно рекуретнтно вывести формулу для второй производной, подставив $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y'}_{i}$ в формулу для первой:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y''}_{i}$ = $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{y}_{i+1}-2{y}_{i}+{y}_{i-1}}{h^2}$ .
Вот замена третьей производной:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y'''}_{i}$ = $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{y}_{i+1}-3{y}_{i}+3{y}_{i-1}-{y}_{i-2}}{h^3}$ .
А как получить в общем случае для n-ой производной?

@eugrita · 26.02.2014, 09:13

y⁽ⁿ⁾_i=(y^(n-1)_i+1 - y^(n-1)_i-1/(x_i+1 - x_i-1)

Добавлено через 30 минут
а вообще надо писать функцию вида

Matlab M
1
yn=derive(x,n)

где x -входной массив, n- порядок производной,
причем по формулам выше - центральных разностей длина выходного массива yn будет на 2n короче длины массива x
Поэтому для граничных точек лучше формулы левой и правой конечных разностей.
А вообще точность таких расчетов невелика. Лучше сначала сделать сглаживание или фильтрацию исходного массива

@Simply me · 26.02.2014, 13:33 **[ТС]**

Мне нужно получить в матрице значения, как в таблице. У меня получились только столбцы с номерами, кратными n, n - порядок уравнения. потому что в этих столбцах просто значения функций.

Matlab M
1
2
3
4
5
6
for i=1:1:N 
l(i,n)=y(i);
for j=1:1:m
l(i,(j+1)*n)=-u(i,j);
end
end

Дальше, наверное, нужно расчитать столбцы, которые левее, потому что там первая производная, а она считается через нулевую, дальше столбцы, где вторая производная и т.д. Проблема с организацией цикла. получается, что параметры цикла зависят от номера столбца.

@Simply me · 01.03.2014, 14:19 **[ТС]**

Скажите, пожалуйста, формулы левой и правой конечных разностей. Только для первого порядка нашла.

@bigwhitefish · 02.03.2014, 16:02

Здравствуйте.
Если вам нужна точность, то надо читать про аппроксимации производных, они бывают разные.
Если нужно быстрое и простое решение, читайте дальше.

Нужные вам коэффициенты - это коэффициенты полинома (1-z)^n
В матлабе эти коэффициенты можно получить с помощью функции poly([1 1 1 ... 1])
Например

>> poly([1 1])

ans =

1 -2 1

>> poly([1 1 1])

ans =

1 -3 3 -1
и т.д.

Для произвольной степени N это будет poly(ones(1,N))

Чтобы получить значения производной, мы просто фильтруем входные данные полученным полиномом.
Если данные это X, и порядок производной N, то ответ будет такой:

function Y=mydiff(X,N)
c=poly(ones(1,N));
Y=filter(c,1,X);
end

Правда, полученные значения будут смещены на N/2 вправо(вроде так), и будут некорректные значения на краях. Зато просто и быстро.

Если нравится, не забудьте +1
Про края потом.

@Simply me · 04.03.2014, 07:25 **[ТС]**

Написала функцию:

Matlab M
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
function [a]=diff(mass,n,t)
N=size(mass)
for i=1:1:(N-1)
a(i,j)=(mass(i+1)-mass(i))/t;
end
for j=2:1:n
for i=j:1:(N-1)
a(j,i)=(a(j-1,i)-a(j-1,i-1))/t;
end
end
return
end

Почему матлаб ругается, когда в третий параметр передается десятичное число (не целое)? Как исправить, т. е. как вообще указывать тип возвращаемых и передаваемых параметров при создании функции ?

Зосима · 04.03.2014, 16:33

Simply me, попробуй функцию обозвать по-другому

(diff - это имя встроенной функции, которая принимает вторым и третьим параметром размерность, т.е. целое число)

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Семь CDC на одном интерфейсе: 5 U[S]ARTов, 1 CAN и 1 SSI Eddy_Em 18.02.2026 Постепенно допиливаю свою "многоинтерфейсную плату". Выглядит вот так: https:/ / www. cyberforum. ru/ blog_attachment. php?attachmentid=11617&stc=1&d=1771445347 Основана на STM32F303RBT6. На борту пять. . .	Символьное дифференцирование igorrr37 13.02.2026 / * Программа принимает математическое выражение в виде строки и выдаёт его производную в виде строки и вычисляет значение производной при заданном х Логарифм записывается как: (x-2)log(x^2+2) -. . .	Камера Toupcam IUA500KMA Eddy_Em 12.02.2026 Т. к. у всяких "хикроботов" слишком уж мелкий пиксель, для подсмотра в ESPriF они вообще плохо годятся: уже 14 величину можно рассмотреть еле-еле лишь на экспозициях под 3 секунды (а то и больше),. . .	И ясному Солнцу zbw 12.02.2026 И ясному Солнцу, и светлой Луне. В мире покоя нет и люди не могут жить в тишине. А жить им немного лет.
«Знание-Сила» zbw 12.02.2026 «Знание-Сила» «Время-Деньги» «Деньги -Пуля»	SDL3 для Web (WebAssembly): Подключение Box2D v3, физика и отрисовка коллайдеров 8Observer8 12.02.2026 Содержание блога Box2D - это библиотека для 2D физики для анимаций и игр. С её помощью можно определять были ли коллизии между конкретными объектами и вызывать обработчики событий столкновения. . . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Загрузка PNG с прозрачным фоном с помощью SDL_LoadPNG (без SDL3_image) 8Observer8 11.02.2026 Содержание блога Библиотека SDL3 содержит встроенные инструменты для базовой работы с изображениями - без использования библиотеки SDL3_image. Пошагово создадим проект для загрузки изображения. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Загрузка PNG с прозрачным фоном с помощью SDL3_image 8Observer8 10.02.2026 Содержание блога Библиотека SDL3_image содержит инструменты для расширенной работы с изображениями. Пошагово создадим проект для загрузки изображения формата PNG с альфа-каналом (с прозрачным. . .

@Simply me 244 / 37 / 8 Регистрация: 05.05.2012 Сообщений: 521

	Аппроксимация производной n-го порядка 23.02.2014, 10:17. Показов 8417. Ответов 6 Метки нет (Все метки) Добрый день! Есть значения функции y( $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{t}_{i}$ ). Обозначаю $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y}_{i}$ . Нужно через $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y}_{i}$ выразить производную y n-го порядка. Вот так заменяется первая производная: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y'}_{i}$ = $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{y}_{i+1}-{y}_{i}}{h}$ . Дальше можно рекуретнтно вывести формулу для второй производной, подставив $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y'}_{i}$ в формулу для первой: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y''}_{i}$ = $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{y}_{i+1}-2{y}_{i}+{y}_{i-1}}{h^2}$ . Вот замена третьей производной: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y'''}_{i}$ = $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{y}_{i+1}-3{y}_{i}+3{y}_{i-1}-{y}_{i-2}}{h^3}$ . А как получить в общем случае для n-ой производной? 0

@Simply me 244 / 37 / 8 Регистрация: 05.05.2012 Сообщений: 521
	01.03.2014, 14:19 [ТС]
	Скажите, пожалуйста, формулы левой и правой конечных разностей. Только для первого порядка нашла. 0

@bigwhitefish 53 / 53 / 14 Регистрация: 26.02.2014 Сообщений: 150
	02.03.2014, 16:02
	Здравствуйте. Если вам нужна точность, то надо читать про аппроксимации производных, они бывают разные. Если нужно быстрое и простое решение, читайте дальше. Нужные вам коэффициенты - это коэффициенты полинома (1-z)^n В матлабе эти коэффициенты можно получить с помощью функции poly([1 1 1 ... 1]) Например >> poly([1 1]) ans = 1 -2 1 >> poly([1 1 1]) ans = 1 -3 3 -1 и т.д. Для произвольной степени N это будет poly(ones(1,N)) Чтобы получить значения производной, мы просто фильтруем входные данные полученным полиномом. Если данные это X, и порядок производной N, то ответ будет такой: function Y=mydiff(X,N) c=poly(ones(1,N)); Y=filter(c,1,X); end Правда, полученные значения будут смещены на N/2 вправо(вроде так), и будут некорректные значения на краях. Зато просто и быстро. Если нравится, не забудьте +1 Про края потом. 2

Зосима 5245 / 3573 / 379 Регистрация: 02.04.2012 Сообщений: 6,477 Записей в блоге: 18
	04.03.2014, 16:33
	Simply me, попробуй функцию обозвать по-другому (diff - это имя встроенной функции, которая принимает вторым и третьим параметром размерность, т.е. целое число) 1