Как аппроксимировать функцию?

@oobarbazanoo · Регистрация: 13.05.2015

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Как аппроксимировать функцию?
Я провёл опыт, получил несколько точек двухмерного пространства. Теперь мне необходимо найти функцию в приближённом виде, а именно в виде a*(x^b). Найти необходимо a и b. Как это сделать наиболее простым способом, имея набор точек?

@jogano · 14.09.2016, 13:40

Метод наименьших квадратов для зависимости $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\ln y_i \approx \ln a +b \ln x_i, \: i=\bar{1;N}$ . Ищете пару $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(\ln a; b \right)$ как решение линейной системы
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left (\begin{matrix}N & \sum_{i=1}^{N}\ln x_i\\ \sum_{i=1}^{N}\ln x_i & \sum_{i=1}^{N}\ln^2 x_i\end{matrix}\left | \begin{matrix}\sum_{i=1}^{N}\ln y_i\\ \sum_{i=1}^{N}\ln x_i \ln y_i\end{matrix}\right.\right )$

@VSI · 14.09.2016, 14:13

Сообщение от oobarbazanoo

...имея набор точек

Присылайте свой набор точек, аппроксимируем...

@oobarbazanoo · 14.09.2016, 17:18 **[ТС]**

N: 1000; T(N): 0.136.
N: 2000; T(N): 0.148.
N: 3000; T(N): 0.25.
N: 4000; T(N): 0.399.
N: 5000; T(N): 0.53.
N: 6000; T(N): 0.624.
N: 7000; T(N): 0.785.
N: 8000; T(N): 2.105.
N: 9000; T(N): 2.363.
N: 10000; T(N): 2.549.
Вот набор точек. N - ось икс, T(N) - ось игрик.
Необходимо подобрать такую функцию, которая имела бы вид a*(N^b).
Тo есть суть задания - найти a и b.

После вычислений получил
b = 1.8117258956353854.
a = 1.6626989031869018E-7.

Подскажите, пожалуйста правильно ли?

@VSI · 14.09.2016, 18:37

oobarbazanoo, выбирайте себе функцию по вкусу... (результаты расчетов в текстовом файле)

@oobarbazanoo · 15.09.2016, 11:33 **[ТС]**

А чем Вы строили данную функцию?
Это какой-то МатЛаб?

Добавлено через 1 минуту
a*exp(b*x) что означает данная запись?
а умножить на b в степени x?

Добавлено через 6 минут
Спасибо ОГРОМНОЕ за помощь.
Кстати, я сам тоже решал.
Я имею десять точек, я брал все возможные пары из двух точек.
Потом строил плоскость, где ось икс - log(N), а ось игрик - log(T(N)).
Находил положение каждой из двух взяты точек на данной плоскости, проводил прямую через эти две точки, находил её наклон (как тангенс угла наклона к оси икс, то есть просто вычитал из координаты первой точки по игрику, координаты второ точки по игрику, то есть находил дельта по игрику, потом так же находил дельта по иксу и отношение дельта игрика к дельта иксу).
Далее получал разный наклон для каждой взятой пары, сохранял его.
Потом складывал все наклоны и делил на количество пар, таким образом находил b.
Далее, имея формулу T(N) = a* (N^b) я, поочерёдно подставляя T(N) и N находил разные a, так как точек 10, то имел десять а, складывал данные а и делил результат на 10, таким образом находил а.
Правильно ли?

@VSI · 15.09.2016, 11:39

Сообщение от oobarbazanoo

Это какой-то МатЛаб?

Программа называется Curve Expert Pro

Сообщение от oobarbazanoo

a*exp(b*x) что означает данная запись?

Это означает следующее:
a*e^b*x

@oobarbazanoo · 15.09.2016, 13:45 **[ТС]**

А как тогда можно перевести в а*(x^b)?

@Excalibur921 · 28.09.2016, 17:48

Сообщение от oobarbazanoo

А как тогда можно перевести в а*(x^b)?

Никак вообще.

Сообщение от oobarbazanoo

а именно в виде a*(x^b). Найти необходимо a и b.

Наверно подразумевали что a и b нужны просто числа коэффициенты?
А с чего вы взяли что эта задача имеет решение вообще? Ваша функция не может аппроксимировать ваши данные вообще, постройте ее меняя параметры a,b форма кривой вообще другая. Вот вам и выдали целый список решений где a и b это формулы. Построил выборочно, некоторые вышли бред =) но ведь некоторые неплохие.

Кстати задача также может решаться делением на 2 и 4-мя уникальными коэффициентами или проще говоря кривой Безье 3 степени. Которую удобно настроить визуально таская точки. Для процессора намного удобней и быстрей делить на 2 чем дикие степени с плавающей, но и построение будет рекурсивной формулой а не обычной…

@Excalibur921 · 28.09.2016, 18:37

Аппроксимация вручную вышла даже лучше чем в Pro версии сгенереной компом

.
Кубическая кривая это две квадратичных. Значит можно найти t зная значение B(t) по X вроде так…формулы есть на вики, кривую разбить на 2 участка. Или проще выбрать одно из решений в одну строчку из списка VSI, пусть намного грубей но зато проще.

Еще можно помучить полином Лагранжа\Ньютона но они очень не адекватные по Y когда точек больше 4, лучше брать параметрические кривые. Или вообще линейно интерполировать, разбить на 3 участка вашу кривую и все.

@Excalibur921 · 29.09.2016, 22:00

Вот придумал простое красивое решение. Строим 3 прямые по двум точкам KL,LM,MN.
Находим им параметрическую форму типа y=kx+b. Будет линейная аппроксимация ломанной которая очень быстро работает: X(O) это вход X координата точки O.
Синтаксис такой: If[ <Condition>, <Then>, <Else> ]
Мне кажется, получается проще, быстрей, точней чем любые другие методы и легко настроить вручную.
If[
x(O)<x(L),
0.0001*x(O)+0.06285,
If[
x(O)<x(M),
0.00143*x(O)-9.27448,
0.00024*x(O)+0.23545
]]

@Таланов · 26.10.2016, 07:04

oobarbazanoo, ваша аппроксимация по Мне даёт 2,55*Е(-8)*х^2.

@Таланов 1957 / 1066 / 162 Регистрация: 06.12.2012 Сообщений: 4,677
	26.10.2016, 07:04	12
	oobarbazanoo, ваша аппроксимация по Мне даёт 2,55Е(-8)х^2. 1

@oobarbazanoo 7 / 30 / 9 Регистрация: 13.05.2015 Сообщений: 1,835
		1
	Как аппроксимировать функцию? 14.09.2016, 10:21. Показов 3409. Ответов 11 Метки нет (Все метки) Как аппроксимировать функцию? Я провёл опыт, получил несколько точек двухмерного пространства. Теперь мне необходимо найти функцию в приближённом виде, а именно в виде a*(x^b). Найти необходимо a и b. Как это сделать наиболее простым способом, имея набор точек? 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	14.09.2016, 13:40	2
	Метод наименьших квадратов для зависимости $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\ln y_i \approx \ln a +b \ln x_i, \: i=\bar{1;N}$ . Ищете пару $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(\ln a; b \right)$ как решение линейной системы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left (\begin{matrix}N & \sum_{i=1}^{N}\ln x_i\\ \sum_{i=1}^{N}\ln x_i & \sum_{i=1}^{N}\ln^2 x_i\end{matrix}\left \| \begin{matrix}\sum_{i=1}^{N}\ln y_i\\ \sum_{i=1}^{N}\ln x_i \ln y_i\end{matrix}\right.\right )$ 1

@VSI Модератор $Эксперт по математике/физике$ 5240 / 4027 / 1385 Регистрация: 30.07.2012 Сообщений: 12,300
	14.09.2016, 14:13	3
	Сообщение от oobarbazanoo ...имея набор точек Присылайте свой набор точек, аппроксимируем... 1

@oobarbazanoo 7 / 30 / 9 Регистрация: 13.05.2015 Сообщений: 1,835
	14.09.2016, 17:18 [ТС]	4
	N: 1000; T(N): 0.136. N: 2000; T(N): 0.148. N: 3000; T(N): 0.25. N: 4000; T(N): 0.399. N: 5000; T(N): 0.53. N: 6000; T(N): 0.624. N: 7000; T(N): 0.785. N: 8000; T(N): 2.105. N: 9000; T(N): 2.363. N: 10000; T(N): 2.549. Вот набор точек. N - ось икс, T(N) - ось игрик. Необходимо подобрать такую функцию, которая имела бы вид a*(N^b). Тo есть суть задания - найти a и b. После вычислений получил b = 1.8117258956353854. a = 1.6626989031869018E-7. Подскажите, пожалуйста правильно ли? 0

@oobarbazanoo 7 / 30 / 9 Регистрация: 13.05.2015 Сообщений: 1,835
	15.09.2016, 11:33 [ТС]	6
	А чем Вы строили данную функцию? Это какой-то МатЛаб? Добавлено через 1 минуту aexp(bx) что означает данная запись? а умножить на b в степени x? Добавлено через 6 минут Спасибо ОГРОМНОЕ за помощь. Кстати, я сам тоже решал. Я имею десять точек, я брал все возможные пары из двух точек. Потом строил плоскость, где ось икс - log(N), а ось игрик - log(T(N)). Находил положение каждой из двух взяты точек на данной плоскости, проводил прямую через эти две точки, находил её наклон (как тангенс угла наклона к оси икс, то есть просто вычитал из координаты первой точки по игрику, координаты второ точки по игрику, то есть находил дельта по игрику, потом так же находил дельта по иксу и отношение дельта игрика к дельта иксу). Далее получал разный наклон для каждой взятой пары, сохранял его. Потом складывал все наклоны и делил на количество пар, таким образом находил b. Далее, имея формулу T(N) = a* (N^b) я, поочерёдно подставляя T(N) и N находил разные a, так как точек 10, то имел десять а, складывал данные а и делил результат на 10, таким образом находил а. Правильно ли? 0

@VSI Модератор $Эксперт по математике/физике$ 5240 / 4027 / 1385 Регистрация: 30.07.2012 Сообщений: 12,300
	15.09.2016, 11:39	7
	Сообщение от oobarbazanoo Это какой-то МатЛаб? Программа называется Curve Expert Pro Сообщение от oobarbazanoo aexp(bx) что означает данная запись? Это означает следующее: ae^bx 1

@oobarbazanoo 7 / 30 / 9 Регистрация: 13.05.2015 Сообщений: 1,835
	15.09.2016, 13:45 [ТС]	8
	А как тогда можно перевести в а*(x^b)? 0

@Excalibur921 1471 / 826 / 140 Регистрация: 12.10.2013 Сообщений: 5,456
	28.09.2016, 17:48	9
	Сообщение от oobarbazanoo А как тогда можно перевести в а(x^b)? Никак вообще. Сообщение от oobarbazanoo* а именно в виде a*(x^b). Найти необходимо a и b. Наверно подразумевали что a и b нужны просто числа коэффициенты? А с чего вы взяли что эта задача имеет решение вообще? Ваша функция не может аппроксимировать ваши данные вообще, постройте ее меняя параметры a,b форма кривой вообще другая. Вот вам и выдали целый список решений где a и b это формулы. Построил выборочно, некоторые вышли бред =) но ведь некоторые неплохие. Кстати задача также может решаться делением на 2 и 4-мя уникальными коэффициентами или проще говоря кривой Безье 3 степени. Которую удобно настроить визуально таская точки. Для процессора намного удобней и быстрей делить на 2 чем дикие степени с плавающей, но и построение будет рекурсивной формулой а не обычной… 1

@Excalibur921 1471 / 826 / 140 Регистрация: 12.10.2013 Сообщений: 5,456
	28.09.2016, 18:37	10
	Сообщение было отмечено oobarbazanoo как решение Решение Аппроксимация вручную вышла даже лучше чем в Pro версии сгенереной компом . Кубическая кривая это две квадратичных. Значит можно найти t зная значение B(t) по X вроде так…формулы есть на вики, кривую разбить на 2 участка. Или проще выбрать одно из решений в одну строчку из списка VSI, пусть намного грубей но зато проще. Еще можно помучить полином Лагранжа\Ньютона но они очень не адекватные по Y когда точек больше 4, лучше брать параметрические кривые. Или вообще линейно интерполировать, разбить на 3 участка вашу кривую и все. 1

@Excalibur921 1471 / 826 / 140 Регистрация: 12.10.2013 Сообщений: 5,456
	29.09.2016, 22:00	11
	Вот придумал простое красивое решение. Строим 3 прямые по двум точкам KL,LM,MN. Находим им параметрическую форму типа y=kx+b. Будет линейная аппроксимация ломанной которая очень быстро работает: X(O) это вход X координата точки O. Синтаксис такой: If[ <Condition>, <Then>, <Else> ] Мне кажется, получается проще, быстрей, точней чем любые другие методы и легко настроить вручную. If[ x(O)<x(L), 0.0001x(O)+0.06285, If[ x(O)<x(M), 0.00143x(O)-9.27448, 0.00024*x(O)+0.23545 ]] 1

Как аппроксимировать функцию?

Решение