Как вычислить arccos без калькулятора

Как вычислить arccos без калькулятора? Есть где нибудь формула? Я весь интернет перерыл ничего не нашел.
Есть число 0.6 при arccos будет 53.13 градуса, какие нужно совершить шаги что бы найти это число?

0

Zet_Roy, Можно воспользоваться разложением арккосинуса в ряд
Можно попытаться каким нибудь численным методом решить уравнение cos x = a = 0.6 (деление пополам, хорды, касательные...)
Можно использовать квадратные сплайны...
Все это, естественно, даст только приблизительные значения. Но в данном случае точность зависит только от вас.

0

Сообщение от Байт Можно воспользоваться разложением арккосинуса в ряд Можно попытаться каким нибудь численным методом решить уравнение cos x = a = 0.6 (деление пополам, хорды, касательные...)

Как это все сделать? Есть ли какие нибудь формулы?

0

Если считать грубо и взять формулу Лагранжа в точке 0.5 то получается низкая точность. Вам же нужны сотые доли градуса.
Но даже по этой грубой формуле вы вряд ли возьметесь считать на бумажке без калькулятора. Вам придется с хорошей точностью вычислить корень из трех и число пи, делить и умножать многозначные числа и т. д. А вычисление в адресной строке браузера по этой формуле дает
(pi/3-0.2/sqrt 3)/pi*180=53.384

0

Zet_Roy, в ряд Тейлора с некоторым числом шагов

0

Zet_Roy
Конечно можно вывести приближенную формулу. Но вам придется
считать используя калькулятор. Есть и другие методы.
1. Нарисуйте прямую линию. С одной стороны разметка для икс.
С другой стороны разметка игрек (в градусах)
это гораздо проще, чем рисовать график.
2. Если точность мала, то возьмите четырёхзначные таблицы Брадиса...

0

Сообщение от DobroAlex в ряд Тейлора с некоторым числом шагов

А что, можно попробовать. Добавил к своему разложению в точке 0.5 член с икс квадратом. Уменьшение 0.22. Получена еще одна верная цифра (53.163), но точность не достигнута. Надо брать еще один член с кубом. Выражения для производных получаются все рациональные, содержащие корень из трех. Вполне подъемны для решения столбиком. Муторное деление на большое число один раз (при переводе в градусы).

0

Сообщение от DobroAlex Zet_Roy, в ряд Тейлора с некоторым числом шагов

Я не знаю что это.

Сообщение от palva Если считать грубо и взять формулу Лагранжа в точке 0.5 то получается низкая точность. Вам же нужны сотые доли градуса. Но даже по этой грубой формуле вы вряд ли возьметесь считать на бумажке без калькулятора. Вам придется с хорошей точностью вычислить корень из трех и число пи, делить и умножать многозначные числа и т. д. А вычисление в адресной строке браузера по этой формуле дает (pi/3-0.2/sqrt 3)/pi*180=53.384

Возможно я не точно выразился,я имел виду именно arccos без калькулятора а не все без него, ведь корень и другие операции уже нужно с калькулятором.
Вашу формулу я не могу понять, есть число 0.6 и с ним нужно что то сделать, а в формуле не наблюдается число 0.6.
На вольфраме http://www.wolframalpha.com/input/?i=arccos(x) тоже куча формул и неизвестно какие использовать.
Как то странно что нигде нет пошагового решения.

0

Zet_Roy, Вольфрам вы знаете, а ряд Тейлора найти не можете?

Добавлено через 1 минуту
Zet_Roy, кстати arccos(x) = 1/cos(x)

0

Сообщение от Zet_Roy а в формуле не наблюдается число 0.6.

А это не формула, это то, что я ввел в адресную строку браузера Chrome, чтобы получить результат. Привел эту строку, чтобы можно было без хлопот повторить мои вычисления. А формула называется Формула конечных приращений или формула Лагранжа. Обобщением этой формулы служит формула Тейлора.

Сообщение от Zet_Roy Я не знаю что это.

Здесь вас можно понять двояко: a) вы просите объяснить, что такое формула Тейлора; б) вы просите обойтись без формулы Тейлора. По-моему, вам стоит подробнее рассказать, чем вам позволяется пользоваться. Вернее, какой метод от вас потребуют при решении этой задачи.

Сообщение от Zet_Roy я имел виду именно arccos без калькулятора а не все без него, ведь корень и другие операции уже нужно с калькулятором.

Вот здесь тоже подробнее. Что вам можно, а что нельзя. arccos нельзя, а cos можно? Хорошо, cos нельзя, а sin можно? Можно ли взять значение пи из справочника с приемлемой точностью, или его тоже нужно вычислять? А если можно пользоваться справочником, то можно ли пользоваться таблицами Брадиса или им подобными. И про требуемую точность тоже проясните вопрос. Если с точностью до градуса, то можно и построением на бумаге циркулем и линейкой обойтись. Логарифмическая линейка три знака точности даст. Короче, любое ваше сотрудничество со следствием скостит вам срок.

А может быть вам разрешается на калькуляторе пользоваться вычислением arcsin, и задача дана чтобы вы могли показать знание связи между arccos и arcsin. А мы здесь соревнуемся в эрудиции и мечем бисер...

0

Сообщение от DobroAlex Zet_Roy, Вольфрам вы знаете, а ряд Тейлора найти не можете?

Я в такие дебри не влезал.

Сообщение от DobroAlex Zet_Roy, кстати arccos(x) = 1/cos(x)

cos(0.6) = 0,9999
1/0,9999 = 1.0001
Неправильно, должно быть 53 градуса а не 1.0001.

Добавлено через 9 минут

Сообщение от palva Вот здесь тоже подробнее. Что вам можно, а что нельзя. arccos нельзя, а cos можно? Хорошо, cos нельзя, а sin можно? Можно ли взять значение пи из справочника с приемлемой точностью, или его тоже нужно вычислять? А если можно пользоваться справочником, то можно ли пользоваться таблицами Брадиса или им подобными. И про требуемую точность тоже проясните вопрос. Если с точностью до градуса, то можно и построением на бумаге циркулем и линейкой обойтись. Логарифмическая линейка три знака точности даст. Короче, любое ваше сотрудничество со следствием скостит вам срок. А может быть вам разрешается на калькуляторе пользоваться вычислением arcsin, и задача дана чтобы вы могли показать знание связи между arccos и arcsin. А мы здесь соревнуемся в эрудиции и мечем бисер...

Можно пользоваться всем кроме калькуляторной функции arccos.
Точность 53.13 градуса.
Мне не нужны таблицы брадиса или еще что нибудь, мне нужна чистая формула которая все это вычисляет.
Например:
1) x * 8 = 16
2) x = 16 \ 8
3) x = 2
Вот это чистая формула, я искал подобную формулу arccos в гугле и ничего не находил а я пытался. Тут тоже предоставляют неработающие формулы.

И задачу мне никто ничего не давал, я только хочу понять суть синусов косинусов и другой ереси, синусы косинусы я немного понял, но вычисления arccos я нигде не нашел внятной формулы, а мне нужно в глаза видеть какие там происходят вычисления что бы дойти до сути вопроса.

0

Понятно. Ну тогда пользуйтесь калькуляторной функцией arcsin. При этом

Сообщение от Zet_Roy я нигде не нашел внятной формулы

Ну а формула Тейлора разве не внятная формула? Напишите разложение в точке 0.5 и три ее члена дадут нужную вам точность для значения 0.6. Для других значений, возможно, потребуется больше членов или будет экономнее вывести разложение в другой точке. Другое дело, что так и осталось неясным, нужна вам эта формула или нет.

0

Zet_Roy, насчёт 1/cos неправ, действительно.
Ряд Тейлора -- первый курс матфака.

0

Сообщение от DobroAlex кстати arccos(x) = 1/cos(x)

Надеюсь, это шутка?
Можно так сказать: arccos(x) = cos^-1(x), но это уже совсем другой компот...

0

Байт, да, уж исправился выше

0

Сообщение от palva Ну а формула Тейлора разве не внятная формула?

Ну как тогда оно решается формулой Тейлора?

0

Чем дальше x отстоит от точки 0.5, тем хуже точность. Для x=0.6 достаточно взять три члена. Здесь приведено четыре члена, но можно по данному образцу написать еще несколько. При |x-0.5|>0.5 формула теряет смысл.

Добавлено через 1 час 55 минут
Забыл написать, что формула дает значение в радианах. Если нужны градусы, то результат нужно переводить.

0

palva
Вы своей формулой напугаете ТС. Ему надо попроще.
что-то такое...
1. если x < 0, то arccos(-x) = 180° - arccos(x)
2. если , то
Абсолютная погрешность приведенной формулы равна 0,5°
ТС просил формулу... пусть считает...

1

Квадратный корень, конечно хорош, чтобы точность на краях не падала, где производная близка к бесконечности. А в середине области определения проще считать многочленом. Вот, например, из одной книжицы



Точность десять в минус восьмой-девятой. На сканах нечетко пропечатано.

Добавлено через 3 минуты
Когда плавающих сопроцессоров не было, а компьютеры были большими и назывались ЭВМ, именно по таким формулам строились стандартные подпрограммы вычислений трансцендентных функций.

1

palva, слишком сложная формула

Сообщение от Ли2 Вы своей формулой напугаете ТС. Ему надо попроще. что-то такое... 1. если x < 0, то arccos(-x) = 180° - arccos(x) 2. если , то Абсолютная погрешность приведенной формулы равна 0,5° ТС просил формулу... пусть считает...

Огромное спасибо это то что мне нужно.
90 * sqrt(1-0.5)*(1-0.5/10)
90 * 0,7071 * 0.95
60,45705 градусов

0