Погрешность неэлементарной функции?

@wer1 · Регистрация: 05.07.2018

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

ЗАДАЧА
дано функциональное уравнение f(f(x)) = sin(x)
Требуется любым способом представить функцию y = f(x) на интервале (0; 2) многочленом пятой степени желательно с минимальной погрешностью. И самое главное, определить эту погрешность.

Задача не решена. Но было сделано следующее.
1. неизвестная функция периодическая с периодом T = 2*pi
2. неизвестная функция нечётная и, видимо разумно, представить её многочленом с нечётными степенями. То есть, мы положим, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)=x+ax^3+bx^5$
3. итак, находим f(f(x)), все слагаемые выше пятой степени отбрасываем. Получим
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(f(x))=(x+ax^3+bx^5)+a(x+ax^3+bx^5)^3+b(x+ax^3+bx^5)^5=x+2ax^3+(3a^2+2b)x^5$
данный многочлен должен совпадать с разложением синуса в ряд Тейлора.
То есть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? x+2ax^3+(3a^2+2b)x^5=x-\frac16x^3+\frac1{120}x^5$
элементарно находим, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a=-\frac1{12}$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?b=-\frac1{96}$ или

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)=x-\frac1{12}x^3-\frac1{96}x^5$

Для контроля были построены графики
y = sin(x) (чёрный цвет), y = f(x) (синий цвет), y = f(f(x)) (крупные красные точки)
И была вычислена погрешность функции f(f(x)) относительно sin(x) на интервале (0; 2)
Абсолютная погрешность = 0,0091
Относительная погрешность 1%

Вопрос остался. Как вычислить погрешность функции f(x)?
Вроде как эта погрешность не должна превышать погрешность функции f(f(x))?
Но с чего я это взял? Сам не знаю. И верно ли это? Может производная поможет?
А может кто на форуме решал нечто подобное? Или ... ребята, подскажите богу численных методов

@mathmichel · 10.07.2019, 16:20

Эксперимент показывает, что "красная" аппроксимация точнее, что не удивительно - для неё получается уже многочлен 25 степени. Удивительно другое, что во второй половине красная кривая сливается с синей.

@wer1 · 10.07.2019, 17:17 **[ТС]**

mathidiot,
спасибо. Но я тоже удивлён полученным результатом. Нет, не так. Я ошеломлён.
Но кто бы мог это объяснить? К той функции (y = f(x)) никак не подступишься. Она
и получена нестандартно. Теоретически можно было её разложить в ряд Тейлора
вычисляя одну производную за другой. Но это бездна работы. А вот вычислил и...
удивился. И как интерпретировать свой результат?

Добавлено через 4 минуты
mathidiot,
получается, что есть интервал, на котором f(x) = f(f(x))

@wer1 · 11.07.2019, 11:38 **[ТС]**

mathidiot
я нашёл ещё более удивительное решение. Оказывается, что помимо исходной функции y = f(x), нашему решению удовлетворяет также функция y = -f(x). В самом деле -f(-f(x)) = f(f(x)). А чему удивляться? Ведь функция нечётная и два знака минус обратятся в плюс.
То есть, есть два решения y = f(x) и y = -f(x). Сразу и не догадаешься...

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Доступность команды формы по условию Maks 07.04.2026 Алгоритм из решения ниже реализован на примере нетипового документа "СписаниеМатериалов", разработанного в конфигурации КА2. Задача: сделать доступной кнопку (команда формы "ЗавершитьСписание") при. . .	Уведомление о неверно выбранном значении справочника Maks 06.04.2026 Алгоритм из решения ниже реализован на примере нетипового документа "НарядПутевка", разработанного в конфигурации КА2. Задача: уведомлять пользователя, если в документе выбран неверный склад. . .	Установка Qt Creator для C и C++: ставим среду, CMake и MinGW без фреймворка Qt 8Observer8 05.04.2026 Среду разработки Qt Creator можно установить без фреймворка Qt. Есть отдельный репозиторий для этой среды: https:/ / github. com/ qt-creator/ qt-creator, где можно скачать установщик, на вкладке Releases:. . .	AkelPad-скрипты, структуры, и немного лирики.. testuser2 05.04.2026 Такая программа, как AkelPad существует уже давно, и также давно существуют скрипты под нее. Тем не менее, прога живет, периодически что-то не спеша дополняется, улучшается. Что меня в первую очередь. . .
Отображение реквизитов в документе по условию и контроль их заполнения Maks 04.04.2026 Алгоритм из решения ниже реализован на примере нетипового документа "ПланированиеСпецтехники", разработанного в конфигурации КА2. Данный документ берёт данные из другого нетипового документа. . .	Фото всей Земли с борта корабля Orion миссии Artemis II kumehtar 04.04.2026 Это первое подобное фото сделанное человеком за 50 лет. Снимок называют новым вариантом легендарной фотографии «The Blue Marble» 1972 года, сделанной с борта корабля «Аполлон-17». Новое фото. . .	Вывод диалогового окна перед закрытием, если документ не проведён Maks 04.04.2026 Алгоритм из решения ниже реализован на примере нетипового документа "СписаниеМатериалов", разработанного в конфигурации КА2. Задача: реализовать программный контроль на предмет проведения документа. . .	Программный контроль заполнения реквизитов табличной части документа Maks 02.04.2026 Алгоритм из решения ниже реализован на примере нетипового документа "СписаниеМатериалов", разработанного в конфигурации КА2. Задача: 1. Реализовать контроль заполнения реквизита. . .

@wer1 1104 / 480 / 33 Регистрация: 05.07.2018 Сообщений: 1,870 Записей в блоге: 7

	Погрешность неэлементарной функции? 10.07.2019, 16:04. Показов 2149. Ответов 3 Метки нет (Все метки) ЗАДАЧА дано функциональное уравнение f(f(x)) = sin(x) Требуется любым способом представить функцию y = f(x) на интервале (0; 2) многочленом пятой степени желательно с минимальной погрешностью. И самое главное, определить эту погрешность. Задача не решена. Но было сделано следующее. 1. неизвестная функция периодическая с периодом T = 2*pi 2. неизвестная функция нечётная и, видимо разумно, представить её многочленом с нечётными степенями. То есть, мы положим, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)=x+ax^3+bx^5$ 3. итак, находим f(f(x)), все слагаемые выше пятой степени отбрасываем. Получим $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(f(x))=(x+ax^3+bx^5)+a(x+ax^3+bx^5)^3+b(x+ax^3+bx^5)^5=x+2ax^3+(3a^2+2b)x^5$ данный многочлен должен совпадать с разложением синуса в ряд Тейлора. То есть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? x+2ax^3+(3a^2+2b)x^5=x-\frac16x^3+\frac1{120}x^5$ элементарно находим, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a=-\frac1{12}$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?b=-\frac1{96}$ или $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)=x-\frac1{12}x^3-\frac1{96}x^5$ Для контроля были построены графики y = sin(x) (чёрный цвет), y = f(x) (синий цвет), y = f(f(x)) (крупные красные точки) И была вычислена погрешность функции f(f(x)) относительно sin(x) на интервале (0; 2) Абсолютная погрешность = 0,0091 Относительная погрешность 1% Вопрос остался. Как вычислить погрешность функции f(x)? Вроде как эта погрешность не должна превышать погрешность функции f(f(x))? Но с чего я это взял? Сам не знаю. И верно ли это? Может производная поможет? А может кто на форуме решал нечто подобное? Или ... ребята, подскажите богу численных методов Миниатюры 0

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 11079 / 7379 / 3991 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 16,813
	10.07.2019, 16:20
	Сообщение было отмечено нтч как решение Решение Эксперимент показывает, что "красная" аппроксимация точнее, что не удивительно - для неё получается уже многочлен 25 степени. Удивительно другое, что во второй половине красная кривая сливается с синей. 1

@wer1 1104 / 480 / 33 Регистрация: 05.07.2018 Сообщений: 1,870 Записей в блоге: 7
	10.07.2019, 17:17 [ТС]
	mathidiot, спасибо. Но я тоже удивлён полученным результатом. Нет, не так. Я ошеломлён. Но кто бы мог это объяснить? К той функции (y = f(x)) никак не подступишься. Она и получена нестандартно. Теоретически можно было её разложить в ряд Тейлора вычисляя одну производную за другой. Но это бездна работы. А вот вычислил и... удивился. И как интерпретировать свой результат? Добавлено через 4 минуты mathidiot, получается, что есть интервал, на котором f(x) = f(f(x)) 0

@wer1 1104 / 480 / 33 Регистрация: 05.07.2018 Сообщений: 1,870 Записей в блоге: 7
	11.07.2019, 11:38 [ТС]
	mathidiot я нашёл ещё более удивительное решение. Оказывается, что помимо исходной функции y = f(x), нашему решению удовлетворяет также функция y = -f(x). В самом деле -f(-f(x)) = f(f(x)). А чему удивляться? Ведь функция нечётная и два знака минус обратятся в плюс. То есть, есть два решения y = f(x) и y = -f(x). Сразу и не догадаешься... 0

Погрешность неэлементарной функции?

Решение