Как определить погрешность обратной функции?

@ili1 · 12.04.2018, 09:23. **Показов** 1892. **Ответов** 2

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Дана функция y = x + 0,1* sin(x)
Для этой функции находится (приближенно конечно) обратная функция
y = x - 0,1 * sin(x)
Требуется найти относительную погрешность этой функции
решение
1. так как функции взаимно-обратные, то взятие одной от другой должно
быть равно просто икс. Вычисляем
2. первая функция x + 0,1 * sin(x) (заменим x на z, чтобы не запутаться)
итак z + 0,1 * sin(z)
3. и вторая функция z = x - 0,1 * sin(x). Подставляем эту функцию в первую.
имеем
x - 0,1 * sin(x) + 0,1 * sin(x - 0,1 * sin(x)) (и всё это должно быть равно икс)
далее
(мы будем использовать приближенную формулу sin(z + x) = sin(z) + cos(z) * x)
и (временно) введем обозначение u = 0,1 * sin(x)
имеем
x - u + 0,1 * sin(x - u) = x - u + 0,1 * (sin(x) - cos(x) * u) =
= x - u + 0,1 * sin(x) - 0,1 * cos(x) * u = x - u + u - 0,1 * cos(x) * u =
= x - 0,1 * cos(x) * u = x - 0,1 * cos(x) * 0,1 * sin(x) = x - 0,01 * sin(x)cos(x) =
= x - 0,005 * sin(2x)
4. итак мы получили абсолютную погрешность в виде числа 0,005 * sin(2x) < 0,005

Вопрос
я тут что-то на решал, что появились сомнения: а в том ли направлении надо
двигаться? Может это всё неверно? Есть тут люди (или боги), которые подскажут?

@Mysterious Light · 12.04.2018, 22:12

Я не слежу за Вашими темами на этом форуме и плохо понимаю намерения; всё усугубляется тем, что не могу в ЛС постучать; тем не менее, отвечу на вопросы, основываясь на своих представлениях.

Даны две функции:
f(z) = z + 0.1 sin(z);
g(x) = x - 0.1 sin(x);
Необходимо определить погрешность, с которой g можно считать обратной к f.
Напомним, что функция g называется обратной к f, если f(g(x)) = x (для любого x) и g(f(z)) = z (для любого z).

Первый вопрос: что такое погрешность? Как определяется это понятие?
Допустим, погрешность связана с невязкой |f(g(x)) - x|.
f(g(x)) - x = 0.1 (sin(x - 0.1 sin(x)) - sin(x)) = -0.2 sin(0.05 sin(x)) cos(x - 0.05 sin(x))

Хотите оценки? Будет:
d = x - f(g(x)) = 0.2 sin(0.05 sin(x)) cos(x - 0.05 sin(x)) ~~ (0.2*0.05) sin(x) (cos(x) - 0.05 sin(x)^2) = 0.01 sin(x) (cos(x) - 0.05 sin(x)^2)

Здесь сделаны линейные оценки
1. sin(a) ~~ a, где a = 0.05 sin(x) < 0.05, а значит, при малых x и a погрешность оценки оценивается следующим, кубическим членом, а при больших x оценивается константой sin(0.05)
2. cos(x-a) ~~ cos(x) - a sin(x), где a = 0.05 sin(x), погрешность оценки можно оценить следующим, квадратичным членом a^2 cos(x)/2 и кубическим a^3 sin(x)/6.

d = 0.01 sin(x) (cos(x) - 0.05 sin(x)^2) = 0.005 (sin(2x) - 0.01 sin(x)^3)
Как мы видим, невязка |d| описывается Вашей формулой при |cos(x)| >> 0.05 sin(x)^2, то есть в окрестностях $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x = m\pi$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?m\in\mathbb{Z}$
В окретностях будет d = 0.0005 sin(x)^3.

Остаётся открытым вопрос, что мы называем погрешностью. То ли это max |d| по всем x, то ли что-то другое.

@ili1 · 13.04.2018, 08:39 **[ТС]**

Mysterious Light,
спасибо. Вы так хорошо разъяснили мою задачу, что я стал лучше
понимать что я хочу. Действительно, главным вопросом является:
Что является погрешностью при обращении функции?

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Уведомление о неверно выбранном значении справочника Maks 06.04.2026 Алгоритм из решения ниже реализован на примере нетипового документа "НарядПутевка", разработанного в конфигурации КА2. Задача: уведомлять пользователя, если в документе выбран неверный склад. . .	Установка Qt Creator для C и C++: ставим среду, CMake и MinGW без фреймворка Qt 8Observer8 05.04.2026 Среду разработки Qt Creator можно установить без фреймворка Qt. Есть отдельный репозиторий для этой среды: https:/ / github. com/ qt-creator/ qt-creator, где можно скачать установщик, на вкладке Releases:. . .	AkelPad-скрипты, структуры, и немного лирики.. testuser2 05.04.2026 Такая программа, как AkelPad существует уже давно, и также давно существуют скрипты под нее. Тем не менее, прога живет, периодически что-то не спеша дополняется, улучшается. Что меня в первую очередь. . .	Отображение реквизитов в документе по условию и контроль их заполнения Maks 04.04.2026 Алгоритм из решения ниже реализован на примере нетипового документа "ПланированиеСпецтехники", разработанного в конфигурации КА2. Данный документ берёт данные из другого нетипового документа. . .
Фото всей Земли с борта корабля Orion миссии Artemis II kumehtar 04.04.2026 Это первое подобное фото сделанное человеком за 50 лет. Снимок называют новым вариантом легендарной фотографии «The Blue Marble» 1972 года, сделанной с борта корабля «Аполлон-17». Новое фото. . .	Вывод диалогового окна перед закрытием, если документ не проведён Maks 04.04.2026 Алгоритм из решения ниже реализован на примере нетипового документа "СписаниеМатериалов", разработанного в конфигурации КА2. Задача: реализовать программный контроль на предмет проведения документа. . .	Программный контроль заполнения реквизитов табличной части документа Maks 02.04.2026 Алгоритм из решения ниже реализован на примере нетипового документа "СписаниеМатериалов", разработанного в конфигурации КА2. Задача: 1. Реализовать контроль заполнения реквизита. . .	wmic не является внутренней или внешней командой Maks 02.04.2026 Решение: DISM / Online / Add-Capability / CapabilityName:WMIC~~~~ Отсюда: https:/ / winitpro. ru/ index. php/ 2025/ 02/ 14/ komanda-wmic-ne-naydena/

@ili1 Заблокирован

	Как определить погрешность обратной функции? 12.04.2018, 09:23. Показов 1892. Ответов 2 Метки нет (Все метки) Дана функция y = x + 0,1* sin(x) Для этой функции находится (приближенно конечно) обратная функция y = x - 0,1 * sin(x) Требуется найти относительную погрешность этой функции решение 1. так как функции взаимно-обратные, то взятие одной от другой должно быть равно просто икс. Вычисляем 2. первая функция x + 0,1 * sin(x) (заменим x на z, чтобы не запутаться) итак z + 0,1 * sin(z) 3. и вторая функция z = x - 0,1 * sin(x). Подставляем эту функцию в первую. имеем x - 0,1 * sin(x) + 0,1 * sin(x - 0,1 * sin(x)) (и всё это должно быть равно икс) далее (мы будем использовать приближенную формулу sin(z + x) = sin(z) + cos(z) * x) и (временно) введем обозначение u = 0,1 * sin(x) имеем x - u + 0,1 * sin(x - u) = x - u + 0,1 * (sin(x) - cos(x) * u) = = x - u + 0,1 * sin(x) - 0,1 * cos(x) * u = x - u + u - 0,1 * cos(x) * u = = x - 0,1 * cos(x) * u = x - 0,1 * cos(x) * 0,1 * sin(x) = x - 0,01 * sin(x)cos(x) = = x - 0,005 * sin(2x) 4. итак мы получили абсолютную погрешность в виде числа 0,005 * sin(2x) < 0,005 Вопрос я тут что-то на решал, что появились сомнения: а в том ли направлении надо двигаться? Может это всё неверно? Есть тут люди (или боги), которые подскажут? 0

@Mysterious Light $Эксперт по математике/физике$ 4313 / 2105 / 431 Регистрация: 19.07.2009 Сообщений: 3,205 Записей в блоге: 24
	12.04.2018, 22:12
	Сообщение было отмечено ili1 как решение Решение Я не слежу за Вашими темами на этом форуме и плохо понимаю намерения; всё усугубляется тем, что не могу в ЛС постучать; тем не менее, отвечу на вопросы, основываясь на своих представлениях. Даны две функции: f(z) = z + 0.1 sin(z); g(x) = x - 0.1 sin(x); Необходимо определить погрешность, с которой g можно считать обратной к f. Напомним, что функция g называется обратной к f, если f(g(x)) = x (для любого x) и g(f(z)) = z (для любого z). Первый вопрос: что такое погрешность? Как определяется это понятие? Допустим, погрешность связана с невязкой \|f(g(x)) - x\|. f(g(x)) - x = 0.1 (sin(x - 0.1 sin(x)) - sin(x)) = -0.2 sin(0.05 sin(x)) cos(x - 0.05 sin(x)) Хотите оценки? Будет: d = x - f(g(x)) = 0.2 sin(0.05 sin(x)) cos(x - 0.05 sin(x)) ~~ (0.2*0.05) sin(x) (cos(x) - 0.05 sin(x)^2) = 0.01 sin(x) (cos(x) - 0.05 sin(x)^2) Здесь сделаны линейные оценки 1. sin(a) ~~ a, где a = 0.05 sin(x) < 0.05, а значит, при малых x и a погрешность оценки оценивается следующим, кубическим членом, а при больших x оценивается константой sin(0.05) 2. cos(x-a) ~~ cos(x) - a sin(x), где a = 0.05 sin(x), погрешность оценки можно оценить следующим, квадратичным членом a^2 cos(x)/2 и кубическим a^3 sin(x)/6. d = 0.01 sin(x) (cos(x) - 0.05 sin(x)^2) = 0.005 (sin(2x) - 0.01 sin(x)^3) Как мы видим, невязка \|d\| описывается Вашей формулой при \|cos(x)\| >> 0.05 sin(x)^2, то есть в окрестностях $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x = m\pi$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?m\in\mathbb{Z}$ В окретностях будет d = 0.0005 sin(x)^3. Остаётся открытым вопрос, что мы называем погрешностью. То ли это max \|d\| по всем x, то ли что-то другое. 1

@ili1 Заблокирован
	13.04.2018, 08:39 [ТС]
	Mysterious Light, спасибо. Вы так хорошо разъяснили мою задачу, что я стал лучше понимать что я хочу. Действительно, главным вопросом является: Что является погрешностью при обращении функции? 0

Как определить погрешность обратной функции?

Решение