Найти кубическое уравнение по условию

ЗАДАЧА
Найти кубическое уравнение , корнями которого являются числа a, b, c
условие 2. Ни одно из этих чисел не равно 0.

РЕШЕНИЕ
по существу мы должны решить уравнение
или эквивалентную ей систему уравнений
a + b + c = -a
ab + bc + ac = b
abc = -c

Вот тут возникает Первый ВОПРОС: Сколько подобных систем 6 или 1? Ведь симметрия нарушена?

Исходную систему можно упростить. Имеем

2a + b + c = 0
ab + bc + ac = b
ab = -1 (сокращение возможно потому, что неизвестные не равны 0)

Третье уравнение позволяет упростить второе. Имеем
2a + b + c = 0
bc + ac = b + 1
ab = -1

Решение этого уравнения численными методами дало следующий результат
a = 0,565197
b = -1,769293
c = 0

Невероятно! (вычисления проверены не единожды)
но если даже предположить, что он верны, то получим уравнение

и сокращая на икс

мы получим, что это квадратное уравнение имеет корни равные его коэффициентам
Однако я могу сказать (и доказать), что среди квадратных уравнений есть только одно уравнение обладающее таким свойством. Вот оно (его свойство очевидно)

Значит я где-то сделал ЛОГИЧЕСКУЮ ошибку. Где?
Может действительно надо решать все шесть систем уравнений?
Мне кажется, что ошибка настолько очевидна, что я её просто не замечаю.
ВОПРОС
Взгляд со стороны помогает увидеть больше. Вот где я прокололся?

Добавлено через 1 час 26 минут
Приношу свои извинения. Я нашёл свою ошибку и готов понести любое наказание.
Вот ответ:
Существует 6 решений (6 уравнений) с числами
a = 0,565197
b = -1,769293
c = 0,638897

и пример уравнения, которое "само показывает свои корни"

0

Сообщение от нтч сокращение возможно потому, что неизвестные не равны 0

А зачем нам это? Просто уберите условие

Сообщение от нтч Ни одно из этих чисел не равно 0.

И получите, что одно из ветвей решения
c = 0
2a + b = 0
ab = 0
Отсюда еще ветка a = b = 0 и тривиальное уравнение x³ = 0
и
a = 1, b = -2 что и дает ваше x³ + x² - 2x = 0
Теперь остается решить систему после сокращения на c и прочей простой арифметики.
2a + b + c = 0
bc + ac = b + 1
ab = -1
А вот вы не пытались решить эту систему не численно, а в общем виде, с буквами?
Видимо, должно получится кубическое или бикубическое уравнение, относительно одной из переменных. Интересно, какое?

Добавлено через 4 минуты
Еще одно направление движения, решать похожее уравнение x³ + ax² + b²x + c³ = 0 с корнями a, b, c.
Его прелесть в том, что уравнения получаются однородными...

1

Байт,
спасибо! отвечу на все ваши вопросы по-порядку
1. условие не равенства нулю всех чисел важно. Тривиальные решения слишком просты и их можно получить в уме (естественно при его наличии - шутка)
2. я решал систему аналитически и ... получил кубическое уравнение, решение которого не проще решения исходной системы. Поэтому даже не стал рассматривать это в своей теме. Численно получалось гораздо проще (вот только невнимательность меня подвела - была опечатка в программе)
3. Но это моя ошибка. А я не имею права на неё. Пусть другие ошибаются, но не я.
...
примечание
а задача интересная: получить уравнение, которое не надо решать, ибо коэффициенты этого уравнения и есть корни этого же уравнения!

0

Сообщение от нтч получил кубическое уравнение,

Вот интересно было бы на него посмотреть... Вдруг чего-то поймается... Просто мне выкладки делать неохота, тем более, что они уже сделаны вами.

1

Сообщение от нтч Вот тут возникает Первый ВОПРОС: Сколько подобных систем 6 или 1? Ведь симметрия нарушена?

Одна система. Выделенные мною слова не понятны.

Сообщение от нтч Третье уравнение позволяет упростить второе. Имеем 2a + b + c = 0 bc + ac = b + 1 ab = -1

Да. Можно было во 2-м уравнении не просто поменять аb на -1, а поменять переменную b=-1/a. В конечном счёте вся система сводится к решению уравнения по а.

Сообщение от нтч Существует 6 решений (6 уравнений) с числами a = 0,565197 b = -1,769293 c = 0,638897

Эта тройка чисел - одно решение. Есть ещё другое ненулевое решение вашей системы, которое вы пропустили: (a;b;c)=(1;-1;-1)

1

jogano,
спасибо! Насчёт симметрии я был не прав. А вот то, что пропустил ещё одно решение, которое вы мне подарили, это подумать надо, как же я его пропустил. Если бы я решал задачу аналитически, то да, нашёл бы это решение. В вашем решении уравнение имеет кратный корень. Вот об этом я не подумал...

0

нтч, систему я решал вручную. Когда добрался до итогового уравнения с единственным корнем 0,56520 , пришлось уже подключить Геогебру, чтобы его найти.

1