Метод половинного деления (объясните)

И снова здравствуйте.
Из теории метода половинного деления:

... на каждом шаге очередной отрезок делится пополам, и в качестве следующего отрезка берется та половина, на которой значения функции в концах имеют разные знаки.

Объясните, пожалуйста, что это значит и приведите пример.

Заранее большое спасибо.

0

Пусть функция меняет знак на интервале своей непрерывности. Тогда где то на этом интервале она имеет ноль, а уравнение вида f(x)=0 - корень, тогда пердположение о том, что корень находится точно в середине этого интервала может иметь погрешность не более половины его длины, то есть ноль функции равен середине интервала с точностью до половины его длины. Если же тебя не устравивает эта точность, то надо соратить длину интервала. Если интервал сжать около центара, то ноль функции может уже не попасть в этот интервал, значит придётся бить исходный интервал на части и перебирать их все. Как быстрее всего вырастет точносмть? Делить на два? точность и выростит в двое. Стразу в тысячу? Точность вырастет в тысячу раз, но и пребрать придётся всю тысячу. А если делить на два, то тчность растёт только в двое. Но поделили интервал попалам, проверили его половинки и получаем снова интервал, которому принадлежит ноль функции, есго снова можно делить. Выбирать интервал знакопеременности, снова делить на два и так далее, пока интервал не сожмётся в 1024 раза, то достаточно перебрать всего 20 интервалов (10 пар интервалов). Делить каждый раз на три? Для уточнения решения не менее, чем в тысячу раз, надо семь раз разделить интервал и каждый раз перебрать три подинтервала, итого 21 интервал вместо двадцати. Делить на четыре? За пять раз достигаем тех же 1024-х, но перебрать надо будет пять четвёрок, то есть 20. На пять? За пять раз точность растёт в 3125 раз, но перебрать придётся 25 интервалов. И это не случайности. Наоборот, с каким бы другим способом деления интервала при условии проверки всех подинтервалов нисравнивалось последовательное деление пополам, в большинстве случаев требуемая точность будет достигнута делением интервала на два равных не медленнее. Причём, если делить попалам, то достаточно проверить лишь один интервал и сделать вывод о втором. То есть, при делении пополам 1024 получаем, проверив только 10 интервалов. А при делении на 3 - 14 (семь троек, в каждой проверяем два интервала, тертий остаётся, о нём делаем вывод). При делении на четыре проверке подлежат 15 интервалов, на 5 - 20 (пять пятёрок, в каждой проверяется четрые). И так далее. Если делить на большее число подинтервалов и каждый раз проверять лишь часть подинтервалов, например, сразу тот, которому в дейтствительности принадлежит ноль функции, то можно съэкономить время за счёт более быстрого сокращеняи длины интервала. Только такая экономия уже случайна.

Добавлено через 13 минут
Пример: . Функция .
f(0)=-6, f(10)=94. .
f(0)=-6, f(5)=19, f(10)=94. .
f(0)=-6, f(2,5)=0,25, f(5)=19. .
f(0)=-6, f(1,25)=−4,4375, f(2,5)=0,25. .
f(1,25)=-4,4375, f(1,85)=−2,5775, f(2,5)=0,25. .
f(1,85)=−2,5775, f(2,175)=−1,269375, f(2,5)=0,25. .

2

Ухххх... спасибо огромное!

0