Неявная разностная схема. Метод прогонки

@MAnton · Регистрация: 21.04.2011

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Решая дифференциальное уравнение через неявную схему получил систему:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-c^j z_1 - z_2=-\alpha ^j {V_1}^{j+1} - \beta ^j {V_1}^{j-1}-z_0$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z_1 -c^j z_2 - z_3=-\alpha ^j {V_2}^{j+1} - \beta ^j {V_2}^{j-1}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z_2 -c^j z_3 - z_4=-\alpha ^j {V_3}^{j+1} - \beta ^j {V_3}^{j-1}$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?............................................................................................$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z_{Nt-2} -c^j z_{Nt-1} - z_{Nt}=-\alpha ^j {V_{Nt-1}}^{j+1} - \beta ^j {V_{Nt-1}}^{j-1}$
j меяется от 1 до Ns-1
И у меня вопрос - как решить эту систему? Её надо решать для каждого j или нет? если для каждого j то для j=1 $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? {V_i}^2$ неизвестны. Значит надо ее решать сразу для всех j и мне непонятно как. Помогите пожалуйста разобраться

@broDiaga_cpp · 11.07.2012, 21:14

Счёт идет как? с нуля до Ns или с 1 до Ns?
Ещё уточни есть ли краевые условия и какого рода они?

Ещё могу посоветовать книгу Косарев "12 лекций по ЧМ"

@MAnton · 12.07.2012, 09:31 **[ТС]**

Счет идет с нуля по Ns для i, и с нуля по Nt для j. Из начальных условий даны $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{v_0}^j$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{v_i}^0$

@broDiaga_cpp · 12.07.2012, 10:15

Что то правые части какие-то дюже интересные) Не утверждаю, что они не правильные, но хорошо было бы видеть саму диффуру и неявную схему, которую ты используешь.
А вообще, подобное решается методом прогонки. Так... А хотя... у тебя заданы граничные условия только на двух границах(угол), тогда здесь это не прокатит и вообще неявная схема не прокатит. Сказали решать именно через неявную? Сформулируй всю задачу, тогда уже понятней будет.

@MAnton · 12.07.2012, 11:15 **[ТС]**

вот такое уравнение:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-{\partial\over\partial t}V+ \frac{1}{2} \sigma ^2 s^2 {*\partial^2\over\partial^2 s}V +r S {\partial\over\partial s}V-rV=0$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V(0,S)=max(E-S,0)$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V(t,S*)=E-S*(t)$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V(t,\infty )=0$
S* находится из условия
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\partial\over\partial s}V=-1$
для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S\leq S*$ выполняется $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\partial\over\partial t}V=0$
частные производные заменяю следующим образом:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\partial\over\partial t}V=\frac{V_{i+1}^j-V_{i-1}^j}{2h}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\partial\over\partial s}V=\frac{V_{i}^{j+1}-V_{i}^{j-1}}{2 \tau}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\partial^2\over\partial s^2}V=\frac{V_{i}^{j+1}-2V_{i}^{j}+V_{i}^{j-1}}{\tau ^2}$

из первого и из второго условия находятся $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V_0^j$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V_i^0$
получается вот такая разностная схема:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V_{i+1}^j=V_{i-1}^j+\alpha ^j V_{i}^{j+1}+\beta ^j V_{i}^{j-1} -c^j V_{i}^j$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha ^j$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\beta ^j$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?c ^j$ известны. E,r, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sigma$ константы
Я пробовал решать явной схемой, но там возникает проблема сходимости, довольно- таки сложное условие устойчивости получается если воспользоваться спектральным методом.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Как дизайн сайта влияет на конверсию: 7 решений, которые реально повышают заявки Neotwalker 08.03.2026 Многие до сих пор воспринимают дизайн сайта как “красивую оболочку”. На практике всё иначе: дизайн напрямую влияет на то, оставит человек заявку или уйдёт через несколько секунд. Даже если у вас. . .	Модульная разработка через nuget packages DevAlt 07.03.2026 Сложившийся в . Net-среде способ разработки чаще всего предполагает монорепозиторий в котором находятся все исходники. При создании нового решения, мы просто добавляем нужные проекты и имеем. . .	Модульный подход на примере F# DevAlt 06.03.2026 В блоге дяди Боба наткнулся на такое определение: В этой книге («Подход, основанный на вариантах использования») Ивар утверждает, что архитектура программного обеспечения — это структуры,. . .	Управление камерой с помощью скрипта OrbitControls.js на Three.js: Вращение, зум и панорамирование 8Observer8 05.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере работает на Desktop и мобильных браузерах. Итоговый код: orbit-controls-threejs-js. zip. Сканируйте QR-код на мобильном. Вращайте камеру одним пальцем,. . .
SDL3 для Web (WebAssembly): Синхронизация спрайтов SDL3 и тел Box2D 8Observer8 04.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере. Итоговый код: finish-sync-physics-sprites-sdl3-c. zip На первой гифке отладочные линии отключены, а на второй включены:. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Идентификация объектов на Box2D v3 - использование userData и событий коллизий 8Observer8 02.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере. Итоговый код: finish-collision-events-sdl3-c. zip Сканируйте QR-код на мобильном и вы увидите, что появится джойстик для управления главным героем. . . .	Реалии Hrethgir 01.03.2026 Нет, я не закончил до сих пор симулятор. Эта задача сложнее. Не получилось уйти в плавсостав, но оно и к лучшему, возможно. Точнее получалось - но сварщиком в палубную команду, а это значит, в моём. . .	Ритм жизни kumehtar 27.02.2026 Иногда приходится жить в ритме, где дел становится всё больше, а вовлечения в происходящее — всё меньше. Плотный график не даёт вниманию закрепиться ни на одном событии. Утро начинается с быстрых,. . .

@MAnton 25 / 25 / 5 Регистрация: 21.04.2011 Сообщений: 141

	Неявная разностная схема. Метод прогонки 10.07.2012, 17:34. Показов 4596. Ответов 4 Метки нет (Все метки) Решая дифференциальное уравнение через неявную схему получил систему: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-c^j z_1 - z_2=-\alpha ^j {V_1}^{j+1} - \beta ^j {V_1}^{j-1}-z_0$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z_1 -c^j z_2 - z_3=-\alpha ^j {V_2}^{j+1} - \beta ^j {V_2}^{j-1}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z_2 -c^j z_3 - z_4=-\alpha ^j {V_3}^{j+1} - \beta ^j {V_3}^{j-1}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?............................................................................................$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z_{Nt-2} -c^j z_{Nt-1} - z_{Nt}=-\alpha ^j {V_{Nt-1}}^{j+1} - \beta ^j {V_{Nt-1}}^{j-1}$ j меяется от 1 до Ns-1 И у меня вопрос - как решить эту систему? Её надо решать для каждого j или нет? если для каждого j то для j=1 $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? {V_i}^2$ неизвестны. Значит надо ее решать сразу для всех j и мне непонятно как. Помогите пожалуйста разобраться 0

@broDiaga_cpp 24 / 14 / 2 Регистрация: 20.02.2010 Сообщений: 181
	11.07.2012, 21:14
	Счёт идет как? с нуля до Ns или с 1 до Ns? Ещё уточни есть ли краевые условия и какого рода они? Ещё могу посоветовать книгу Косарев "12 лекций по ЧМ" 0

@MAnton 25 / 25 / 5 Регистрация: 21.04.2011 Сообщений: 141
	12.07.2012, 09:31 [ТС]
	Счет идет с нуля по Ns для i, и с нуля по Nt для j. Из начальных условий даны $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{v_0}^j$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{v_i}^0$ 0

@broDiaga_cpp 24 / 14 / 2 Регистрация: 20.02.2010 Сообщений: 181
	12.07.2012, 10:15
	Что то правые части какие-то дюже интересные) Не утверждаю, что они не правильные, но хорошо было бы видеть саму диффуру и неявную схему, которую ты используешь. А вообще, подобное решается методом прогонки. Так... А хотя... у тебя заданы граничные условия только на двух границах(угол), тогда здесь это не прокатит и вообще неявная схема не прокатит. Сказали решать именно через неявную? Сформулируй всю задачу, тогда уже понятней будет. 0

@MAnton 25 / 25 / 5 Регистрация: 21.04.2011 Сообщений: 141
	12.07.2012, 11:15 [ТС]
	вот такое уравнение: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-{\partial\over\partial t}V+ \frac{1}{2} \sigma ^2 s^2 {\partial^2\over\partial^2 s}V +r S {\partial\over\partial s}V-rV=0$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V(0,S)=max(E-S,0)$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V(t,S)=E-S(t)$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V(t,\infty )=0$ S находится из условия $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\partial\over\partial s}V=-1$ для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S\leq S*$ выполняется $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\partial\over\partial t}V=0$ частные производные заменяю следующим образом: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\partial\over\partial t}V=\frac{V_{i+1}^j-V_{i-1}^j}{2h}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\partial\over\partial s}V=\frac{V_{i}^{j+1}-V_{i}^{j-1}}{2 \tau}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\partial^2\over\partial s^2}V=\frac{V_{i}^{j+1}-2V_{i}^{j}+V_{i}^{j-1}}{\tau ^2}$ из первого и из второго условия находятся $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V_0^j$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V_i^0$ получается вот такая разностная схема: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V_{i+1}^j=V_{i-1}^j+\alpha ^j V_{i}^{j+1}+\beta ^j V_{i}^{j-1} -c^j V_{i}^j$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha ^j$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\beta ^j$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?c ^j$ известны. E,r, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sigma$ константы Я пробовал решать явной схемой, но там возникает проблема сходимости, довольно- таки сложное условие устойчивости получается если воспользоваться спектральным методом. 0