Метод оптимизации геометрической задачи

@SergeyLi · Регистрация: 12.09.2017

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Доброго времени суток, уважаемые. Помогите решить задачу по методам оптимизации.

Докажите, что из всех равнобедренных треугольников вписанных в данный круг, наибольшую площадь имеет равносторонний треугольник.

@Excalibur921 · 12.09.2017, 22:11

Зафиксировать одну вершину треугольника на окружности например вверху(max Y окружности). Перебрать координаты остальных вершин с шагом в N радиан спуская их вниз до min Y окружности через параметрическое уравнение окружности.
Строить график:
По X соотношение сторон катета к гипотенузе.
По Y площадь треугольника.
Экстремум и покажет.

@splen · 13.09.2017, 16:45

Если в круг радиуса R вписан равнобедренный треугольник с основанием 2х, то его высота h определяется из равенства

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?h(2R-h)=x^2,$

которое выражает свойство хорд окружности делиться точкой пересечения на части, произведение длин которых одинаково. Отсюда

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?h=R \pm \sqrt{R^2-x^2},$

причём заранее ясно, что достаточно рассматривать только случай $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?h=R + \sqrt{R^2-x^2}.$
Тогда удвоенная площадь будет выражаться функцией

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2S=f(x)=x(R + \sqrt{R^2-x^2}),$

и достаточно будет показать, что её максимум достигается при

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=\frac{R \sqrt{3}}{2}.$

Байт · 14.09.2017, 09:37

А можно без всяких вычислений. Пусть вписанный в окружность треугольник не равносторонний. AC не равно AB.
На дуге ВС, содержащей точку А возьмем точку D - середину дуги. Очевидно, что у треугольника DBC высота, опущенная на сторону ВС больше аналогичной высоты треугольника ABC. А основания одинаковые...

@splen · 14.09.2017, 21:11

Это только доказывает, что неравносторонний не может иметь наибольшую площадь,
но ничего не утверждает о равностороннем и не доказывает, что треугольник с
наибольшей площадью вообще существует.

Байт · 14.09.2017, 22:31

Сообщение от splen

но ничего не утверждает о равностороннем и не доказывает

Хмм.. Рассмотрим множество всех треугольников, вписанных в данную окружность. Их можно разбить на 2 класса - равносторонние(R) и неравносторонние(N)
Все треугольники класса R имеют одинаковую площадь. Все треугольники класса N имеют меньшую площадь.
Где несостыковка?

Добавлено через 5 минут
Пытаюсь-таки понять, в чем дефект моих рассуждений. Я показал, что для каждого из множества N существует треугольник с большей площадью. Так?
Построим функцию N+R -> S ...
Или все-таки чего-то не хватает для полной строгости?

@splen · 14.09.2017, 22:49

Сообщение от Байт

Я показал, что для каждого из множества N существует треугольник с большей площадью. Так?

.. в том же классе N, но это не доказывает, что площадь равностороннего треугольника больше.
Было бы достаточно сравнения площади неравностороннего и равностороннего треугольников.
Или хотя бы доказательства того, что треугольник с наибольшей площадью существует - тогда,
имея доказательство того, что таковым не может быть неравносторонний треугольник, можно
было бы методом исключения заключить, что этот треугольник - равносторонний.

Сообщение от Байт

Построим функцию N+R -> S ...

не доказано, что она непрерывна.

Байт · 14.09.2017, 22:54

Сообщение от splen

не доказано, что она непрерывна.

Ну, для этого надо вводить топологию на множестве треугольников, которая вовсе не очевидна... И это далеко заведет мое такое простое и симпатичное "доказательство"
Ладно, утро вечера мудрёнее...

@splen · 14.09.2017, 22:57

Сообщение от Байт

Ну, для этого надо вводить топологию на множестве треугольников, которая вовсе не очевидна... И это далеко заведет мое такое простое и симпатичное "доказательство"

Совершенно согласен и не предлагал этим заниматься.

Байт · 15.09.2017, 09:57

splen, Да, вы правы. Я доказал только, что неравносторонний не может быть максимальным.
И вот пришла в голову такая конструкция. Построим функцию на множестве треугольников, вписанных в окружность.
F(T) = S почти для всех
А для прямоугольников с разными катетами (они опираются на диаметр) F(T) = S + Sкруга
Легко показать, что любой неравносторонний можно "улучшить" Но максимального просто нет
Отсюда понятно, что непрерывность - важна.

@salam · 20.09.2017, 18:07

довольно очевидно, что все три точки должны лежать на окружности. (всегда можно повернуть, чтобы две лежали, а потом понять по рисунку, что если и третью положить, то всегда будет не хуже). вспомнив формулу герона задача сводится к следующей:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases}<br /> & \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \rightarrow \max \\ <br /> & a + b + c = 2p, \quad p = const<br /> \end{cases}$
доказать, что максимум функционала $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(p-a)(p-b)(p-c) \rightarrow \max$ достигается при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a = b = c$ вроде совсем легко.

@jogano · 20.09.2017, 18:24

salam, в задаче константой является не р, а R.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Расчёт переходных процессов в цепи постоянного тока igorrr37 16.01.2026 / * Дана цепь постоянного тока с R, L, C, k(ключ), U, E, J. Программа составляет систему уравнений по 1 и 2 законам Кирхгофа, решает её и находит токи на L и напряжения на C в установ. режимах до и. . .	Восстановить юзерскрипты Greasemonkey из бэкапа браузера damix 15.01.2026 Если восстановить из бэкапа профиль Firefox после переустановки винды, то список юзерскриптов в Greasemonkey будет пустым. Но восстановить их можно так. Для этого понадобится консольная утилита. . .	Изучаю kubernetes lagorue 13.01.2026 А пригодятся-ли мне знания kubernetes в России?	Сукцессия микоризы: основная теория в виде двух уравнений. anaschu 11.01.2026 https:/ / rutube. ru/ video/ 7a537f578d808e67a3c6fd818a44a5c4/
WordPad для Windows 11 Jel 10.01.2026 WordPad для Windows 11 — это приложение, которое восстанавливает классический текстовый редактор WordPad в операционной системе Windows 11. После того как Microsoft исключила WordPad из. . .	Classic Notepad for Windows 11 Jel 10.01.2026 Old Classic Notepad for Windows 11 Приложение для Windows 11, позволяющее пользователям вернуть классическую версию текстового редактора «Блокнот» из Windows 10. Программа предоставляет более. . .	Почему дизайн решает? Neotwalker 09.01.2026 В современном мире, где конкуренция за внимание потребителя достигла пика, дизайн становится мощным инструментом для успеха бренда. Это не просто красивый внешний вид продукта или сайта — это. . .	Модель микоризы: классовый агентный подход 3 anaschu 06.01.2026 aa0a7f55b50dd51c5ec569d2d10c54f6/ O1rJuneU_ls https:/ / vkvideo. ru/ video-115721503_456239114

@SergeyLi 0 / 0 / 0 Регистрация: 12.09.2017 Сообщений: 1

	Метод оптимизации геометрической задачи 12.09.2017, 21:35. Показов 1458. Ответов 11 Метки нет (Все метки) Доброго времени суток, уважаемые. Помогите решить задачу по методам оптимизации. Докажите, что из всех равнобедренных треугольников вписанных в данный круг, наибольшую площадь имеет равносторонний треугольник. 0

@Excalibur921 1472 / 827 / 140 Регистрация: 12.10.2013 Сообщений: 5,456
	12.09.2017, 22:11
	Зафиксировать одну вершину треугольника на окружности например вверху(max Y окружности). Перебрать координаты остальных вершин с шагом в N радиан спуская их вниз до min Y окружности через параметрическое уравнение окружности. Строить график: По X соотношение сторон катета к гипотенузе. По Y площадь треугольника. Экстремум и покажет. 0

@splen 1728 / 1020 / 181 Регистрация: 03.06.2012 Сообщений: 1,220
	13.09.2017, 16:45
	Если в круг радиуса R вписан равнобедренный треугольник с основанием 2х, то его высота h определяется из равенства $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?h(2R-h)=x^2,$ которое выражает свойство хорд окружности делиться точкой пересечения на части, произведение длин которых одинаково. Отсюда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?h=R \pm \sqrt{R^2-x^2},$ причём заранее ясно, что достаточно рассматривать только случай $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?h=R + \sqrt{R^2-x^2}.$ Тогда удвоенная площадь будет выражаться функцией $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2S=f(x)=x(R + \sqrt{R^2-x^2}),$ и достаточно будет показать, что её максимум достигается при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=\frac{R \sqrt{3}}{2}.$ 0

Байт Диссидент 27714 / 17332 / 3810 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,978
	14.09.2017, 09:37
	А можно без всяких вычислений. Пусть вписанный в окружность треугольник не равносторонний. AC не равно AB. На дуге ВС, содержащей точку А возьмем точку D - середину дуги. Очевидно, что у треугольника DBC высота, опущенная на сторону ВС больше аналогичной высоты треугольника ABC. А основания одинаковые... 0

@splen 1728 / 1020 / 181 Регистрация: 03.06.2012 Сообщений: 1,220
	14.09.2017, 21:11
	Это только доказывает, что неравносторонний не может иметь наибольшую площадь, но ничего не утверждает о равностороннем и не доказывает, что треугольник с наибольшей площадью вообще существует. 1

Байт Диссидент 27714 / 17332 / 3810 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,978
	15.09.2017, 09:57
	splen, Да, вы правы. Я доказал только, что неравносторонний не может быть максимальным. И вот пришла в голову такая конструкция. Построим функцию на множестве треугольников, вписанных в окружность. F(T) = S почти для всех А для прямоугольников с разными катетами (они опираются на диаметр) F(T) = S + Sкруга Легко показать, что любой неравносторонний можно "улучшить" Но максимального просто нет Отсюда понятно, что непрерывность - важна. 0

@salam 194 / 174 / 30 Регистрация: 10.07.2012 Сообщений: 800
	20.09.2017, 18:07
	довольно очевидно, что все три точки должны лежать на окружности. (всегда можно повернуть, чтобы две лежали, а потом понять по рисунку, что если и третью положить, то всегда будет не хуже). вспомнив формулу герона задача сводится к следующей: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases}<br /> & \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \rightarrow \max \\ <br /> & a + b + c = 2p, \quad p = const<br /> \end{cases}$ доказать, что максимум функционала $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(p-a)(p-b)(p-c) \rightarrow \max$ достигается при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a = b = c$ вроде совсем легко. 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	20.09.2017, 18:24
	salam, в задаче константой является не р, а R. 0