Написать программу, которая определяет коэффициенты производственной функции Кобба-Дугласа

@Lilen · Регистрация: 17.12.2012

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Написать программу, которая определяет коэффициенты производственной функции Кобба-Дугласа Y=A*K^a*L^b
где A, a, b-неизвестные числовые значения, которые нужно отыскать. Y - выпуск, К - капитал, L - труд. Значения коэффициентов Y, K, L приведены в таблице.

Выпуск	Труд	Капитал
100	100	100
101	107	104.8
112	114	110
122	122	117.2
124	131	121.9
122	138	115.6
143	149	125
152	163	134.2
151	176	139.9
126	185	123.2
155	198	142.7
159	208	147
153	216	148.1
177	226	155
184	236	156.2
169	244	152.2
189	266	155.8
225	298	183
227	335	197.5
218	387	195.9
231	407	194.4

@Cyborg Drone · 15.10.2014, 20:35

Описание решения

Нахождение коэффициентов функции Кобба-Дугласа

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Y=AK^\alpha L^\beta$

При постоянной отдаче при изменении масштабов производства сумма коэффициентов эластичности по труду и по капиталу равна единице (α+β=1), функция Кобба-Дугласа будет линейно однородной. Приведённое решение именно для этого случая.

Из α+β=1 ⇒ α=1-β, тогда:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Y=AK^{1-\beta } L^\beta$

Разделим левую и правую части уравнения на K и прологарифмируем:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\ln\left( \frac{Y}{K}\right)=ln(A) + \beta \ln\left( \frac{L}{K}\right)$

Обозначим

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\ln\left( \frac{Y}{K}\right)=y;\ ln(A)=a;\ \beta=b;\ \ln\left( \frac{L}{K}\right)=x,$

получим уравнение прямой линии:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=a+bx.$

Здесь можно применить линейную регрессию с использованием метода наименьших квадратов.

Обозначим для выборок f_i - выпуск, вычисленный по уравнению f_i=a+bx_i; y_i - фактический выпуск, ε_i=y_i-f_i=y_i-a-bx_i - разность между фактическим и вычисленным значением.

В методе наименьших квадратов требуется, чтобы разность ε_i была минимальной. Поэтому находим коэффициенты а и b так, чтобы сумма квадратов отклонений фактических значений от значений на прямой линии регрессии оказалась наименьшей:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S=\sum_{i=1}^{n}\varepsilon ^2_i=\sum_{i=1}^{n}\left( y_i-a-bx_i\right)^2\rightarrow min$

Исследуя эту функцию на экстремум с помощью производных, можно доказать, что функция принимает минимальное значение, если коэффициенты а и b являются решениями системы:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases}a\sum_{i=1}^{n}x_i+b\sum_{i=1}^{n}x_i^2=\sum_{i=1}^{n}x_iy_i\\\\\\ na+b\sum_{i=1}^{n}x_i=\sum_{i=1}^{n}y_i\end{cases}$

Если разделить обе части нормальных уравнений на n

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases}a\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}+b\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i^2}{n}=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_iy_i}{n}\\\\\\ a+b\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}=\frac{\sum_{i=1}^{n}y_i}{n}\end{cases}$

И, так как

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}=\bar{x};\ \frac{\sum_{i=1}^{n}y_i}{n}=\bar{y};\ \frac{\sum_{i=1}^{n}x_i^2}{n}=\bar{x^2};\ \frac{\sum_{i=1}^{n}x_iy_i}{n}=\bar{xy},$

Получим

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases}a\bar{x}+b\bar{x^2}=\bar{xy}\\\\ a+b\bar{x}=\bar{y}\end{cases}$

Тогда исходя из второго уравнения

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a=\bar{y}-b\bar{x}$

Подставляем это дело в первое уравнение, получаем:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?b=\frac{\bar{xy}-\bar{x}\bar{y}}{\bar{x^2}-\bar{x}^2};\ a=\frac{\bar{x^2}\bar{y}-\bar{x}\bar{xy}}{\bar{x^2}-\bar{x}^2},$

и, помня, что

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\ln\left( \frac{Y_i}{K_i}\right)=y_i;\ ln(A)=a;\ \beta=b;\ \ln\left( \frac{L_i}{K_i}\right)=x_i$

находим соответствующие средние арифметические, находим a и b, и

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A=e^a;\ \beta =b;\ \alpha =1-\beta$

Пишем программу.

Пусть Ваша таблица находится в файле c:\series.txt, в котором содержится n строк, в каждой из которых содержатся соответствующие Y, L, K через пробел. Проверки на корректность данных и на корректность размещения данных в файле в программе не предусмотрел.

Файл с Вашими данными: series.txt. Его можно откорректировать под другие данные, естественно. Количество строк с тройками чисел не менее одной. Наибольшее количество строк ограничено переполнением машинного формата чисел с плавающей точкой в результате нахождения какой-либо суммы и целочисленным переполнением, если количество строк превышает максимум машинного формата для целых чисел.

Программа:

Pascal
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
var f: text; //файловая переменная для файла с таблицей
    n: integer; //количество выборок
    Yi, Li, Ki: real; //выпуск, труд и капитал
    x, y, a, b: real; //соответствующие элементы уравнения модели
    xa, x2a, ya, xya: real; //соответствующие средние значения для нормальных уравнений
begin
  assign(f, 'c:\series.txt');
  reset(f);
  n := 0; xa := 0; x2a := 0; ya := 0; xya := 0;
  while not eof(f) do
    begin
      read(f, Yi);
      if Yi = 0 then break; //защита от пустых строк в конце файла
      readln(f, Li, Ki);
      inc(n);
      //writeln(n:4, Yi:6:1, Li:6:1, Ki:6:1); //отладочная печать
      x := ln(Li / Ki);
      y := ln(Yi / Ki);
      xa := xa + x;
      x2a := x2a + x * x;
      ya := ya + y;
      xya := xya + x * y;
    end;
  close(f);
  xa := xa / n; x2a := x2a / n; ya := ya / n; xya := xya / n;
  a := exp((x2a * ya - xa * xya) / (x2a - xa * xa));
  b := (xya - xa * ya) / (x2a - xa * xa);
  writeln('A = ', a:0:3, ', alpha = ', 1 - b:0:3, ', beta = ', b:0:3);
  readln
end.

Всего Вам доброго.

@Lilen · 15.10.2014, 21:24 **[ТС]**

Благодарю, решение было получено при помощи метода наименьших квадратов?

@Cyborg Drone · 15.10.2014, 21:38

Lilen, ну да. Вы не удосужились прочитать описание решения под спойлером?

И ещё. Требуется ли Вам данное решение или решение для непостоянной отдачи при изменении масштабов производства, то есть, если α+β≠1?

@Lilen · 15.10.2014, 22:06 **[ТС]**

Сори, не заметила описание решения, премного благодарна!

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Отчёт о спецтехнике находящейся в ремонте Maks 20.04.2026 Отчёт из решения ниже размещен в конфигурации КА2. Задача: отобразить спецтехнику, которая на данный момент находится в ремонте. Есть нетиповой документ "Заявка на ремонт спецтехники" который. . .	Памятка для бота и "визитка" для читателей "Semantic Universe Layer (Слой семантической вселенной)" Hrethgir 19.04.2026 Сгенерировано для краткого описания по случаю сборки и компиляции скелета серверного приложения. И пусть после этого скажут, что статьи сгенерированные AI - туфта и не интересно. И это не реклама -. . .	Запрет удаления строк ТЧ документа при определенном условии Maks 19.04.2026 Алгоритм из решения ниже реализован на примере нетипового документа "Аккумуляторы", разработанного в конфигурации КА2. У данного документа есть ТЧ, в которой в зависимости от прав доступа. . .	Модель заражения группы наркоманов alhaos 17.04.2026 Условия задачи сформулированы тут Суть: - Группа наркоманов из 10 человек. - Только один инфицирован ВИЧ. - Колются одной иглой. - Колются раз в день. - Колются последовательно через. . .
Мысли в слух. Про "навсегда". kumehtar 16.04.2026 Подумалось тут, что наверное очень глупо использовать во всяких своих установках понятие "навсегда". Это очень сильное понятие, и я только начинаю понимать край его смысла, не смотря на то что давно. . .	My Business CRM MaGz GoLd 16.04.2026 Всем привет, недавно возникла потребность создать CRM, для личных нужд. Собственно программа предоставляет из себя базу данных клиентов, в которой можно фиксировать звонки, стадии сделки, а также. . .	Знаешь почему 90% людей редко бывают счастливыми? kumehtar 14.04.2026 Потому что они ждут. Ждут выходных, ждут отпуска, ждут удачного момента. . . а удачный момент так и не приходит.	Фиксация колонок в отчете СКД Maks 14.04.2026 Фиксация колонок в СКД отчета типа Таблица. Задача: зафиксировать три левых колонки в отчете. Процедура ПриКомпоновкеРезультата(ДокументРезультат, ДанныеРасшифровки, СтандартнаяОбработка) / / . . .

@Lilen 0 / 0 / 0 Регистрация: 17.12.2012 Сообщений: 46
	15.10.2014, 21:24 [ТС]
	Благодарю, решение было получено при помощи метода наименьших квадратов? 0

@Cyborg Drone Модератор 10451 / 5746 / 3409 Регистрация: 17.08.2012 Сообщений: 17,481
	15.10.2014, 21:38
	Lilen, ну да. Вы не удосужились прочитать описание решения под спойлером? И ещё. Требуется ли Вам данное решение или решение для непостоянной отдачи при изменении масштабов производства, то есть, если α+β≠1? 0

@Lilen 0 / 0 / 0 Регистрация: 17.12.2012 Сообщений: 46
	15.10.2014, 22:06 [ТС]
	Сори, не заметила описание решения, премного благодарна! 0

Опции темы

Написать программу, которая определяет коэффициенты производственной функции Кобба-Дугласа

Решение