Написать программу, которая определяет коэффициенты производственной функции Кобба-Дугласа

@Lilen · Регистрация: 17.12.2012

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Написать программу, которая определяет коэффициенты производственной функции Кобба-Дугласа Y=A*K^a*L^b
где A, a, b-неизвестные числовые значения, которые нужно отыскать. Y - выпуск, К - капитал, L - труд. Значения коэффициентов Y, K, L приведены в таблице.

Выпуск	Труд	Капитал
100	100	100
101	107	104.8
112	114	110
122	122	117.2
124	131	121.9
122	138	115.6
143	149	125
152	163	134.2
151	176	139.9
126	185	123.2
155	198	142.7
159	208	147
153	216	148.1
177	226	155
184	236	156.2
169	244	152.2
189	266	155.8
225	298	183
227	335	197.5
218	387	195.9
231	407	194.4

@Cyborg Drone · 15.10.2014, 20:35

Описание решения

Нахождение коэффициентов функции Кобба-Дугласа

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Y=AK^\alpha L^\beta$

При постоянной отдаче при изменении масштабов производства сумма коэффициентов эластичности по труду и по капиталу равна единице (α+β=1), функция Кобба-Дугласа будет линейно однородной. Приведённое решение именно для этого случая.

Из α+β=1 ⇒ α=1-β, тогда:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Y=AK^{1-\beta } L^\beta$

Разделим левую и правую части уравнения на K и прологарифмируем:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\ln\left( \frac{Y}{K}\right)=ln(A) + \beta \ln\left( \frac{L}{K}\right)$

Обозначим

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\ln\left( \frac{Y}{K}\right)=y;\ ln(A)=a;\ \beta=b;\ \ln\left( \frac{L}{K}\right)=x,$

получим уравнение прямой линии:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=a+bx.$

Здесь можно применить линейную регрессию с использованием метода наименьших квадратов.

Обозначим для выборок f_i - выпуск, вычисленный по уравнению f_i=a+bx_i; y_i - фактический выпуск, ε_i=y_i-f_i=y_i-a-bx_i - разность между фактическим и вычисленным значением.

В методе наименьших квадратов требуется, чтобы разность ε_i была минимальной. Поэтому находим коэффициенты а и b так, чтобы сумма квадратов отклонений фактических значений от значений на прямой линии регрессии оказалась наименьшей:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S=\sum_{i=1}^{n}\varepsilon ^2_i=\sum_{i=1}^{n}\left( y_i-a-bx_i\right)^2\rightarrow min$

Исследуя эту функцию на экстремум с помощью производных, можно доказать, что функция принимает минимальное значение, если коэффициенты а и b являются решениями системы:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases}a\sum_{i=1}^{n}x_i+b\sum_{i=1}^{n}x_i^2=\sum_{i=1}^{n}x_iy_i\\\\\\ na+b\sum_{i=1}^{n}x_i=\sum_{i=1}^{n}y_i\end{cases}$

Если разделить обе части нормальных уравнений на n

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases}a\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}+b\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i^2}{n}=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_iy_i}{n}\\\\\\ a+b\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}=\frac{\sum_{i=1}^{n}y_i}{n}\end{cases}$

И, так как

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}=\bar{x};\ \frac{\sum_{i=1}^{n}y_i}{n}=\bar{y};\ \frac{\sum_{i=1}^{n}x_i^2}{n}=\bar{x^2};\ \frac{\sum_{i=1}^{n}x_iy_i}{n}=\bar{xy},$

Получим

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases}a\bar{x}+b\bar{x^2}=\bar{xy}\\\\ a+b\bar{x}=\bar{y}\end{cases}$

Тогда исходя из второго уравнения

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a=\bar{y}-b\bar{x}$

Подставляем это дело в первое уравнение, получаем:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?b=\frac{\bar{xy}-\bar{x}\bar{y}}{\bar{x^2}-\bar{x}^2};\ a=\frac{\bar{x^2}\bar{y}-\bar{x}\bar{xy}}{\bar{x^2}-\bar{x}^2},$

и, помня, что

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\ln\left( \frac{Y_i}{K_i}\right)=y_i;\ ln(A)=a;\ \beta=b;\ \ln\left( \frac{L_i}{K_i}\right)=x_i$

находим соответствующие средние арифметические, находим a и b, и

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A=e^a;\ \beta =b;\ \alpha =1-\beta$

Пишем программу.

Пусть Ваша таблица находится в файле c:\series.txt, в котором содержится n строк, в каждой из которых содержатся соответствующие Y, L, K через пробел. Проверки на корректность данных и на корректность размещения данных в файле в программе не предусмотрел.

Файл с Вашими данными: series.txt. Его можно откорректировать под другие данные, естественно. Количество строк с тройками чисел не менее одной. Наибольшее количество строк ограничено переполнением машинного формата чисел с плавающей точкой в результате нахождения какой-либо суммы и целочисленным переполнением, если количество строк превышает максимум машинного формата для целых чисел.

Программа:

Pascal
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
var f: text; //файловая переменная для файла с таблицей
    n: integer; //количество выборок
    Yi, Li, Ki: real; //выпуск, труд и капитал
    x, y, a, b: real; //соответствующие элементы уравнения модели
    xa, x2a, ya, xya: real; //соответствующие средние значения для нормальных уравнений
begin
  assign(f, 'c:\series.txt');
  reset(f);
  n := 0; xa := 0; x2a := 0; ya := 0; xya := 0;
  while not eof(f) do
    begin
      read(f, Yi);
      if Yi = 0 then break; //защита от пустых строк в конце файла
      readln(f, Li, Ki);
      inc(n);
      //writeln(n:4, Yi:6:1, Li:6:1, Ki:6:1); //отладочная печать
      x := ln(Li / Ki);
      y := ln(Yi / Ki);
      xa := xa + x;
      x2a := x2a + x * x;
      ya := ya + y;
      xya := xya + x * y;
    end;
  close(f);
  xa := xa / n; x2a := x2a / n; ya := ya / n; xya := xya / n;
  a := exp((x2a * ya - xa * xya) / (x2a - xa * xa));
  b := (xya - xa * ya) / (x2a - xa * xa);
  writeln('A = ', a:0:3, ', alpha = ', 1 - b:0:3, ', beta = ', b:0:3);
  readln
end.

Всего Вам доброго.

@Lilen · 15.10.2014, 21:24 **[ТС]**

Благодарю, решение было получено при помощи метода наименьших квадратов?

@Cyborg Drone · 15.10.2014, 21:38

Lilen, ну да. Вы не удосужились прочитать описание решения под спойлером?

И ещё. Требуется ли Вам данное решение или решение для непостоянной отдачи при изменении масштабов производства, то есть, если α+β≠1?

@Lilen · 15.10.2014, 22:06 **[ТС]**

Сори, не заметила описание решения, премного благодарна!

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Реалии Hrethgir 01.03.2026 Нет, я не закончил до сих пор симулятор. Эта задача сложнее. Не получилось уйти в плавсостав, но оно и к лучшему, возможно. Точнее получалось - но сварщиком в палубную команду, а это значит, в моём. . .	Ритм жизни kumehtar 27.02.2026 Иногда приходится жить в ритме, где дел становится всё больше, а вовлечения в происходящее — всё меньше. Плотный график не даёт вниманию закрепиться ни на одном событии. Утро начинается с быстрых,. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Сборка библиотек: SDL3, Box2D, FreeType, SDL3_ttf, SDL3_mixer и SDL3_image из исходников с помощью CMake и Emscripten 8Observer8 27.02.2026 Недавно вышла версия 3. 4. 2 библиотеки SDL3. На странице официальной релиза доступны исходники, готовые DLL (для x86, x64, arm64), а также библиотеки для разработки под Android, MinGW и Visual Studio. . . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Реализация движения на Box2D v3 - трение и коллизии с повёрнутыми стенами 8Observer8 20.02.2026 Содержание блога Box2D позволяет легко создать главного героя, который не проходит сквозь стены и перемещается с заданным трением о препятствия, которые можно располагать под углом, как верхнее. . .
Конвертировать закладки radiotray-ng в m3u-плейлист damix 19.02.2026 Это можно сделать скриптом для PowerShell. Использование . \СonvertRadiotrayToM3U. ps1 <path_to_bookmarks. json> Рядом с файлом bookmarks. json появится файл bookmarks. m3u с результатом. # Check if. . .	Семь CDC на одном интерфейсе: 5 U[S]ARTов, 1 CAN и 1 SSI Eddy_Em 18.02.2026 Постепенно допиливаю свою "многоинтерфейсную плату". Выглядит вот так: https:/ / www. cyberforum. ru/ blog_attachment. php?attachmentid=11617&stc=1&d=1771445347 Основана на STM32F303RBT6. На борту пять. . .	Камера Toupcam IUA500KMA Eddy_Em 12.02.2026 Т. к. у всяких "хикроботов" слишком уж мелкий пиксель, для подсмотра в ESPriF они вообще плохо годятся: уже 14 величину можно рассмотреть еле-еле лишь на экспозициях под 3 секунды (а то и больше),. . .	И ясному Солнцу zbw 12.02.2026 И ясному Солнцу, и светлой Луне. В мире покоя нет и люди не могут жить в тишине. А жить им немного лет.

@Lilen 0 / 0 / 0 Регистрация: 17.12.2012 Сообщений: 46
	15.10.2014, 21:24 [ТС]
	Благодарю, решение было получено при помощи метода наименьших квадратов? 0

@Cyborg Drone Модератор 10434 / 5722 / 3405 Регистрация: 17.08.2012 Сообщений: 17,411
	15.10.2014, 21:38
	Lilen, ну да. Вы не удосужились прочитать описание решения под спойлером? И ещё. Требуется ли Вам данное решение или решение для непостоянной отдачи при изменении масштабов производства, то есть, если α+β≠1? 0

@Lilen 0 / 0 / 0 Регистрация: 17.12.2012 Сообщений: 46
	15.10.2014, 22:06 [ТС]
	Сори, не заметила описание решения, премного благодарна! 0

Написать программу, которая определяет коэффициенты производственной функции Кобба-Дугласа

Решение